Démonstrations mathématiques

Ce site est consacré aux mathématiques, et notamment à des démonstrations.

Il est conçu pour présenter certaines notions, notamment de niveau collège/lycée et pour encourager l'apprentissage de la matière.

Par ailleurs, il sert de référentiel pour mes élèves de cours particuliers, mais il est ouvert de même à tout ceux qui le souhaitent.

Géométrie du triangle

Le théorème de Pythagore et sa réciproque \( : a \perp b \Longleftrightarrow a^2 + b^2 = c^2 \)
La théorème d'Al-Kashi \( :a^2 = b^2 + c^2 - 2bc.cos(\alpha) \)
Le théorème de Thalès et sa réciproque \( : BC \parallel DE \Longleftrightarrow \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \)
La loi des sinus \( : \frac{sin(\alpha)}{a} = \frac{sin(\beta)}{b} = \frac{sin(\gamma)}{c} \)
Les similités des triangles

Géométrie du cercle

Calcul des aires et des volumes

Trigonométrie

Nombres complexes

Géométrie dans l'espace

Polynômes

Limites et continuités

La règle de L'Hôpital \( : \enspace lim_{x \to \alpha} \enspace \frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x \to \alpha} \enspace \frac{f'(x)}{g'(x)} \)

Dérivées

Primitives/intégrales

Équations différentielles

Analyse asymptotique

La formule de Taylor-Young avec reste intégral \( : f_{n,a}(x) = \hspace{0.2em} f(a) + f'(a)(x - a) \hspace{0.2em} + ...\hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \int \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n \hspace{0.2em} dt \)

Démonstrations mathématiques

Calcul élémentaire \( (a + b)^n = \sum \binom{n}{p} a^{n-p}b^p \)

Les propriétés des fractions \( : \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow ad = bc \)

Les propriétés des puissances de x \( : x^a x^b = x^{a+b}\)

Le binôme de Newton \( : (a + b)^n = \sum \binom{n}{p} a^{n-p}b^p \)

L'identité géométrique \( : a^n - b^n = (a-b) \sum a^{n-p-1}b^p \)

Les propriétés du binôme \( : \binom{n}{p} = \binom{n -1}{p -1 } + \binom{n - 1}{p} \)

Géométrie \( a \perp b \Longleftrightarrow a^2 + b^2 = c^2 \)

Le théorème de Pythagore et sa réciproque \( : a \perp b \Longleftrightarrow a^2 + b^2 = c^2 \)

La théorème d'Al-Kashi \( :a^2 = b^2 + c^2 - 2bc.cos(\alpha) \)

Le théorème de Thalès et sa réciproque \( : BC \parallel DE \Longleftrightarrow \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \)

La loi des sinus \( : \frac{sin(\alpha)}{a} = \frac{sin(\beta)}{b} = \frac{sin(\gamma)}{c} \)

Les similités des triangles

Le triangle rectangle inscrit dans le cercle

Calcul de pi \( (\pi)\) par méthode géométrique

La puissance d'un point par rapport à un cercle \( : OA \times OB = OC \times OD \)

Calcul de la surface du cercle \(: S_{cercle} = \pi R^2\)

Calcul de la surface de la sphère \(: S_{sphere} = 4\pi R^2\)

Calcul du volume de la sphère \(: V_{sphere} = \frac{4}{3}\pi R^3 \)

Calcul de la surface du cône \(: S_{cône} = \pi r^2 + 2 \pi r \sqrt{r^2 + h^2} \)

Calcul du volume du cône \(: V_{cône} = \frac{\pi r^3h}{3} \)

Les formules de duplications/additions trigonométriques \( : sin(2\alpha), \ sin(\alpha + \beta)... \)

Les formules trigonométriques d'Euler \( : e^{ix} = cos(x) + i.sin(x) \)

Les propriétés de nombres complexes \(: |z|, \ arg(z), \ \bar{z} \)

La formule de Moivre \( : \Bigl[cos(\theta) + isin(\theta)\Bigr]^n = cos(n\theta) + isin(n\theta) \)

Les propriétés du produit scalaire \( : \vec{u}. \vec{v} = xx' + yy' +zz'\)

Géométrie analytique dans l'espace \( : M \in \mathcal{P}(A, \vec{n}) \hspace{0.1em} \Longleftrightarrow \hspace{0.1em} ax + by + cz + d = 0 \)

Analyse \( F(x) = F(a) + \int_a^x f(t) \ dt \)

La résolution d'équations du second degré \( : P_2(X) = aX^2 + bX +c\)

Interpolation polynomiale Langrangienne \( : L(X) = y_0 L_0(X) + y_1 L_1(X) \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} y_n L_n(X) \)

La règle de L'Hôpital \( : \enspace lim_{x \to \alpha} \enspace \frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x \to \alpha} \enspace \frac{f'(x)}{g'(x)} \)

La dérivabilité \(: f'(x) = \frac{df}{dx} \)

L'équation de la tangente en un point \( a \) \(: T_{a}(x) = f'(a)(x - a) + f(a) \)

La méthode de Newton

Les dérivées des fonctions usuelles \(: x^2 , ln(x) , \frac{1}{x}... \)

Les dérivées des fonctions trigonométriques \( : sin(x), cos(x) , \tan(x)... \)

Les dérivées d'opérations sur les fonctions \( : (f \circ g)' = g'(f' \circ g) \)

La formule de Leibniz sur la dérivation d'un produit \(: (fg)^{(n)} = \sum \binom{n}{p} f^{(n-p)} \hspace{0.1em} g^{(p)} \)

La convexité \( : f \enspace convexe \enspace sur \enspace I \Longleftrightarrow f(x) \geqslant f'(a)(x - a) + f(a) \)

Le théorème de accroissements finis \( : \exists c \in ]a, b[, \ f'(c) = \frac{ f(b) - f(a)}{b-a} \)

Les propriétés de l'intégrale \(: \int \bigl(\lambda f + \mu g \bigr) dt = \lambda \int f dt + \mu \int g dt \)

Le lien entre intégrales et primitives \( : F(x) = F(a) + \int_a^x f(t) \ dt \)

Le théorème de la moyenne \( : \frac{1}{(b-a)}\int f \)

La résolution d'équations différentielles linéaires d'ordre 1 à coefficient continu \( : y' + a(x)y = f(x) \)

La résolution d'équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants \( : y'' + ay' + by= f(x) \)

Le principe de superposition

La formule de Taylor-Young avec reste intégral \( : f_{n,a}(x) = \hspace{0.2em} f(a) + f'(a)(x - a) \hspace{0.2em} + ...\hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \int \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n \hspace{0.2em} dt \)

Suites et séries \( \sum \bigl [a_{k+1} - a_k \bigr] = a_{n+1} - a_{0} \)

Le téléscopage de termes d'une série numérique récurrente \( : \sum \bigl [a_{k+1} - a_k \bigr] = a_{n+1} - a_{0} \)

Les sommes usuelles \( : \sum k, \ \sum k^2, \ \sum k^3, \ \sum (2k+1)... \)

Arithmétique \( b \nmid a \Longrightarrow a = bq + R \)

Les propriétés de la divisibilité \( : ka/kb \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a/b \)

L'algorithme d'Euclide \( : b \nmid a \Longleftrightarrow a = bq + R \)

Les propriétés du PGCD de deux entiers naturels \( : a = bq + R \Longrightarrow PGCD(a, b) = PGCD(b, R) \)

Les propriétés des nombres premiers \( : p \nmid a \hspace{0.2em} \Longleftrightarrow \hspace{0.2em} a \wedge p = 1 \)

Les propriétés des congruences \( : a \equiv b \hspace{0.2em} [n] \Longleftrightarrow n/(a -b) \)

Le théorème de Bézout et son corollaire \( : a \wedge b = 1 \Longleftrightarrow au + bv = 1 \)

Le théorème de Gauss et son corollaire \( : a / bc \enspace et \enspace a \wedge b = 1 \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a/c \)

Le petit théorème de Fermat et son corollaire \( : a^p \equiv a \hspace{0.2em} [p] \)

Glossaire des symboles

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