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Les dérivées d'opérations sur les fonctions

Soient par défaut deux fonctions \( f, g \), dépendantes de la variable \( x \) telles que :

$$ \Biggl \{ \begin{align*} \forall x \in D_f, \enspace f: x \longmapsto f(x) \\ \forall x \in D_g, \enspace g: x \longmapsto g(x) \end{align*} $$


Fonction multipliée par une constante : \( (\lambda f )' \)

Lorsqu'on dérive une fonction multipliée par une constante \( \lambda \in \mathbb{R} \), on peut sortir celle-ci et dériver la fonction à part.

$$ \forall f \in F(\mathbb{R}, \mathbb{R}), \ \forall \lambda \in \mathbb{R},$$

$$ (\lambda f)' = \lambda f' $$


Somme de deux fonctions : \( (f+g )' \)

$$ \forall (f,g) \in F(\mathbb{R}, \mathbb{R})^2,$$

$$ \bigl( f + g \bigr)' = f' + g' $$

La dérivée d'une somme de fonctions est la somme des dérivées.


De la même manière, une différence étant la somme d'un élément négatif, il s'en suit que :

$$ \bigl( f \textcolor{#A65757}{-} g \bigr)' = f' \textcolor{#A65757}{-} g' $$


Combinaison linéaire de deux fonctions : \( (\lambda f+ \mu g )' \)

$$ \forall (f,g) \in F(\mathbb{R}, \mathbb{R})^2, \ \forall (\lambda, \mu) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2 $$

$$ (\lambda f+ \mu g )' = \lambda f'+ \mu g' $$

La dérivée d'une combinaison linéaire de fonctions est la combinaison linéaire de chaque fonction dérivée.


  1. Généralisation
  2. $$ \forall n \in \mathbb{N}, \enspace \forall (f,g) \in F(\mathbb{R}, \mathbb{R})^2, \enspace \forall k \in [\![ 1, n ]\!], \enspace \forall \lambda_k \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^n,$$

    $$ \Biggl( \sum_{k=0}^n \lambda_k f_k \Biggl)' = \sum_{k=0}^n \lambda_k f'_k $$


Produit de deux fonctions : \( (fg )' \)

$$ \forall (f,g) \in F(\mathbb{R}, \mathbb{R})^2,$$

$$ \left ( f g \right)' = f'g + g'f $$


Inverse de fonction : \( (1 / g )' \)

$$ \forall g \in F\Bigl( \mathbb{R} , \ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \bigl\{ 0 \bigr\} \Bigr), $$

$$ \left ( 1 \over g \right)' = \frac{g'}{g^2} $$


Quotient de deux fonctions : \( (f / g )' \)

$$ \forall f \in F(\mathbb{R}, \mathbb{R}), \ \forall g \in F\Bigl( \mathbb{R} , \ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \bigl\{ 0 \bigr\} \Bigr), $$

$$ \left ( f \over g \right)' = \frac{f'g - g'f}{g^2} $$


Composée de deux fonctions : \( (f \circ g )' \)

Soit deux fonctions \( f, g \).

$$ g : I \longmapsto J , \enspace x \longmapsto g(x) $$

$$ f : J \longmapsto K, \enspace y = g(x) \longmapsto f(y) = f \left(g(x)\right) $$

On définit une fonction composée \( (f \circ g) \) comme :

$$ (f \circ g)(x) = f \left(g(x)\right) $$


Elle admet comme dérivée :

$$ \forall (f,g) \in F(\mathbb{R}, \mathbb{R})^2,$$

$$ (f \circ g)' = g'(f' \circ g) $$

Soit :

$$ (f \circ g)' = g'.f' \left(g\right) $$

On appelle cela aussi une dérivation en chaîne.


Fonction réciproque : \( (f^{-1} )' \)

Soit une fonction \( f \) telle que :

$$ f : I \longmapsto f(I) = J , \enspace x \longmapsto f(x) $$

On définit sa fonction réciproque par :

$$ f^{-1} : J \longmapsto I , \enspace f(x) \longmapsto x $$


La fonction réciproque admet comme dérivée \( (f^{-1})' \) :

$$ \forall (f,f^{-1}) \in F(\mathbb{R}, \mathbb{R})^2, \enspace f(f^{-1}) \neq 0 $$

$$ ( f^{-1} )' = \frac{1}{ (f' \circ f^{-1})} $$


Récapitulatif des dérivées d'opérations de fonctions

Cliquez sur le titre ci-dessus pour accéder aux tableau récapitulatif.


Démonstrations


Fonction multipliée par une constante \( : (\lambda f )' \)

Soit \( \lambda \in \mathbb{R} \) un réel quelconque.


Avec la définition de la dérivée, on a :

$$ (\lambda f)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{\lambda f(x+h) - \lambda f(x)}{h} $$

On peut factoriser par \( \lambda \):

$$ (\lambda f)' = lim_{h \to 0 } \enspace \lambda\frac{ f(x+h) - f(x)}{h} $$

Or, on sait grâce aux formules des limites que :

$$ lim \enspace \lambda f = \lambda \enspace lim \enspace f$$

Soit :

$$ \forall f \in F(\mathbb{R}, \mathbb{R}), \ \forall \lambda \in \mathbb{R},$$

$$ (\lambda f)' = \lambda f'$$


Somme de deux fonctions \( : (f+g )' \)

  1. En passant par la limite du taux de variations

  2. Avec la définition de la dérivée, on a :

    $$ ( f+ g)'(x) = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ f(x+h) + g(x+h) - (f(x) + g(x))}{h} $$

    $$ ( f+ g)'(x) = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ f(x+h) + g(x+h) - f(x) - g(x)}{h} $$

    $$ ( f+ g)'(x) = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ f(x+h) - f(x)}{h} + lim_{h \to 0 } \enspace \frac{g(x+h) - g(x)}{h} $$


    $$ \forall (f,g) \in F(\mathbb{R}, \mathbb{R})^2,$$

    $$ \bigl( f + g \bigr)' = f' + g'$$


    De la même manière, une différence étant la somme d'un élément négatif, il s'en suit que :

    $$ \bigl( f \textcolor{#A65757}{-} g \bigr)' = f' \textcolor{#A65757}{-} g' $$


  3. En passant par les dérivées partielles

  4. En considérant la fonction \( y \) comme une fonction dépendante de deux variables indépendantes \(f \) et \( g \) :

    $$y = f + g$$

    On a alors une dérivée partielle :

    $$ dy = \frac{\partial y}{\partial f} df + \frac{\partial y}{\partial g}dg $$

    $$ dy = df + dg $$

    Soit en dérivant maintenant par rapport à \(x \) :

    $$ \frac{dy}{dx} = \frac{df}{dx} + \frac{df}{dx} $$


    Soit finalement,

    $$ \forall (f,g) \in F(\mathbb{R}, \mathbb{R})^2,$$

    $$ \left ( f \over g \right)' = \frac{f'g - g'f}{g^2} $$


Combinaison linéaire de deux fonctions \( : (\lambda f+ \mu g )' \)

Avec la dérivée d'une fonction somme,

$$ (\lambda f+ \mu g )' = (\lambda f)'+ (\mu g)' $$

Enfin, avec la dérivée d'une fonction multipliée par une constante \( \lambda \), on peut directement conclure que:

$$ \forall (f,g) \in F(\mathbb{R}, \mathbb{R})^2, \ \forall (\lambda, \mu) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, $$

$$ (\lambda f+ \mu g )' = \lambda f'+ \mu g' $$


  1. Généralisation
  2. De même, en répétant cette opération plusieurs fois, on peut établir que :

    $$ \forall n \in \mathbb{N}, \enspace \forall (f,g) \in F(\mathbb{R}, \mathbb{R})^2, \enspace \forall k \in [\![ 1, n ]\!], \enspace \forall \lambda_k \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^n,$$

    $$ \Biggl( \sum_{k=0}^n \lambda_k f_k \Biggl)' = \sum_{k=0}^n \lambda_k f'_k $$


Produit de deux fonctions \( : (fg )' \)

  1. En passant par la limite du taux de variations

  2. Avec la définition de la dérivée, on a :

    $$ \left ( fg \right)'(x) = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ f(x+h)g(x+h) - fg}{h} $$

    Ajoutons le terme \( f(x + h)g(x) \), puis retirons le aussitôt, afin de conserver l'intégrité de notre expression initiale :

    $$ \left ( fg \right)'(x) = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ f(x+h)g(x+h) + f(x + h)g(x) - f(x + h)g(x) - fg}{h} $$

    On factorise par \( f(x + h) \) et \( g(x) \) :

    $$ \left ( fg \right)'(x) = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ g(x)(f(x + h) - f(x))}{h} \ + \ lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ f(x+h)(g(x+h) - g(x))}{h} $$

    La limite d'un produit étant le produit des limites :

    $$ \left ( fg \right)'(x) = lim_{h \to 0 } \enspace g(x) . \left( lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ f(x+h) - f(x)}{h} \right) \ + \ lim_{h \to 0 } \enspace f(x+h) \left( lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ g(x+h) - g(x)}{h} \right) $$


    Et finalement,

    $$ \forall (f,g) \in F(\mathbb{R}, \mathbb{R})^2,$$

    $$ \left ( f g\right)' = f'g + g'f $$


  3. En passant par les dérivées partielles

  4. En considérant la fonction \( y\) comme une fonction dépendante de deux variables indépendantes \(f \) et \( g \) :

    $$y = fg$$

    On a alors une dérivée partielle :

    $$ dy = \frac{\partial y}{\partial f} df + \frac{\partial y}{\partial g}dg $$

    $$ dy = g \ df + f \ dg $$

    Soit en dérivant maintenant par rapport à \(x \) :

    $$ \frac{dy}{dx} = g \ \frac{df}{dx} + f \frac{dg}{dx} $$

    Soit finalement,

    $$ \forall (f,g) \in F(\mathbb{R}, \mathbb{R})^2,$$

    $$ \left ( f g\right)' = f'g + g'f $$


Inverse de fonction \( : (1 /g )' \)

Soit \(g \neq 0\) une fonction non nulle.

  1. En passant par la limite du taux de variations

  2. Avec la définition de la dérivée, on a :

    $$ \left ( 1 \over g \right)'(x) = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ \frac{1}{g(x+h)} - \frac{1}{g(x)} }{h} $$

    Mettons le numérateur au même dénominateur.

    $$ \left ( 1 \over g \right)'(x) = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{1}{h} . \frac{ g(x) - g(x +h) }{g(x +h)g(x)} $$

    $$ \left ( 1 \over g \right)'(x) = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{g(x) - g(x +h)}{h} . \frac{ 1 }{g(x +h)g(x)} $$

    On reconnaît la définition de la dérivée de \(g \) :

    $$ \left ( 1 \over g \right)'(x) = lim_{h \to 0 } \enspace - \frac{g(x +h)- g(x) }{h} . \frac{ 1 }{g(x +h)g(x)} $$

    $$ \left ( 1 \over g \right)'(x) = g'(x) . \frac{ 1 }{g(x)^2} $$


    Et finalement,

    $$ \forall g \in F\Bigl( \mathbb{R} , \ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \bigl\{ 0 \bigr\} \Bigr), $$

    $$ \left ( 1 \over g \right)' = -\frac{ g' }{g^2}$$


  3. En passant par la notation de Leibniz

  4. En considérant la fonction \( y\) comme une fonction dépendante de la variable \(g \) :

    $$y = \frac{1}{g}$$

    $$ dy = -\frac{1}{g^2} dg $$

    Soit en dérivant maintenant par rapport à \(x \) :

    $$ \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{g^2} \Biggl[ \frac{dg}{dx} \Biggr]$$


    Soit finalement,

    $$ \forall g \in F\Bigl( \mathbb{R} , \ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \bigl\{ 0 \bigr\} \Bigr), $$

    $$ \left ( 1 \over g \right)' = -\frac{ g' }{g^2}$$


Quotient de deux fonctions \( : (f / g )' \)

Soient \(f\) une fonction et \(g \neq 0\) une fonction non nulle.

  1. En passant par la limite du taux de variations

  2. Avec la définition de la dérivée, on a :

    $$ \left ( f \over g \right)'(x) = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ \frac{f(x+h)}{g(x+h)} - \frac{f(x)}{g(x)} }{h} $$

    On met le numérateur sous le même dénominateur :

    $$ \left ( f \over g \right)'(x) = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ f(x+h)g(x) - f(x)g(x+h) }{h.g(x).g(x+h)} $$


    Ajoutons le terme \( f(x)g(x) \), puis retirons le aussitôt, afin de conserver l'intégrité de notre expression.

    $$ \left ( f \over g \right)'(x) = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ f(x+h)g(x) - f(x)g(x+h) + f(x)g(x) - f(x)g(x)}{h.g(x).g(x+h)} $$

    On factorise par \( f(x) \) et \( g(x) \) :

    $$ \left ( f \over g \right)'(x) = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ g(x).\Bigl[f(x+h) - f(x)\Bigr] - f(x)\Bigl[g(x + h) - g(x)\Bigr]}{h.g(x).g(x+h)} $$


    À présent, séparons notre équation en deux parties distinctes :

    $$ \left ( f \over g \right)'(x) = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{1}{g(x).g(x+h)} \enspace . \biggl[ lim_{h \to 0 } \enspace \biggl( \frac{ g(x).\left(f(x+h) - f(x)\right)}{h} - \frac{ f(x)\left(g(x + h) - g(x)\right)}{h} \biggr) \Biggr] $$

    La limite d'une différence étant la différence des limites, on a :

    $$ \left ( f \over g \right)'(x) = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{1}{g(x).g(x+h)} \enspace . \biggl[ \biggl( lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ g(x).\left(f(x+h) - f(x)\right)}{h}\biggr) - \biggl( lim_{h \to 0 } \enspace \frac{f(x)\left(g(x + h) - g(x)\right)}{h} \biggr) \Biggr] $$

    $$ \left ( f \over g \right)'(x) = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{1}{g(x).g(x+h)} \enspace . \biggl[ g(x). lim_{h \to 0 } \enspace \Biggl( \frac{ \left(f(x+h) - f(x)\right)}{h}\Biggr) - f(x).lim_{h \to 0 } \enspace \Biggl( \frac{\left(g(x + h) - g(x)\right)}{h} \biggr) \Biggr] $$

    $$ \left ( f \over g \right)'(x) = \frac{1}{g(x)^2} \enspace . \biggl( g(x).f'(x) - f(x).g'(x) \biggr) $$


    Soit finalement,

    $$ \forall f \in F(\mathbb{R}, \mathbb{R}), \ \forall g \in F\Bigl( \mathbb{R} , \ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \bigl\{ 0 \bigr\} \Bigr), $$

    $$ \left ( f \over g \right)' = \frac{f'g - g'f}{g^2} $$

  3. En passant par les dérivées partielles

  4. En considérant la fonction \( y\) comme une fonction dépendante de deux variables indépendantes \(f \) et \( g \) :

    $$y = \frac{f}{g}$$

    On a alors une dérivée partielle :

    $$ dy = \frac{\partial y}{\partial f} df + \frac{\partial y}{\partial g}dg $$

    $$ dy = \frac{1}{g} df - \frac{f}{g^2}dg $$

    En mettant les deux termes sous le même dénominateur, on a :

    $$ dy = \frac{g}{g^2} df - \frac{f}{g^2}dg $$

    $$ dy = \frac{g.df - f.dg}{g^2} $$

    Soit en dérivant maintenant par rapport à \(x \) :

    $$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{g^2} \left( g \frac{df}{dx} - f \frac{dg}{dx} \right ) $$


    Soit finalement,

    $$ \forall f \in F(\mathbb{R}, \mathbb{R}), \ \forall g \in F\Bigl( \mathbb{R} , \ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \bigl\{ 0 \bigr\} \Bigr), $$

    $$ \left ( f \over g \right)' = \frac{f'g - g'f}{g^2} $$


Composée de deux fonctions \( : (f \circ g )' \)

Soit deux fonctions \( f, g \).

$$ g : I \longmapsto J , \enspace x \longmapsto g(x) $$

$$ f : J \longmapsto K, \enspace y = g(x) \longmapsto f(y) = f \left(g(x)\right) $$

On définit une fonction composée \( (f \circ g) \) comme :

$$ (f \circ g)(x) = f \left(g(x)\right) $$

Avec la définition de la dérivée, on a :

$$ (f \circ g)'(x) = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{(f \circ g)(x + h) - (f \circ g)(x)}{h} $$

$$ (f \circ g)'(x) = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{(f(g(x + h)))- f(g(x))}{h} $$

On multiplie maintenant par un quotient égal à \(1\), ce qui ne change rien :

$$ (f \circ g)'(x) = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{(f(g(x + h)))- f(g(x))}{h} . \frac{g(x+ h) - g(x)}{g(x+ h) - g(x)} $$

$$ (f \circ g)'(x) = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{(f(g(x + h)))- f(g(x))}{g(x+ h) - g(x)} . \frac{g(x+ h) - g(x)}{h} $$

La limite d'un produit étant égal au produit des limites, on peut écrire :

$$ (f \circ g)'(x) = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{(f(g(x + h)))- f(g(x))}{g(x+ h) - g(x)} . lim_{h \to 0 } \enspace \frac{g(x+ h) - g(x)}{h} $$

En utilisant le changement de variable :

$$ g(x + h) - g(x) = H $$

Lorsque \( h \to 0 \), alors \( H \to 0 \).

De même, on a considéré plus haut que :

$$ g(x) = y $$

Alors,

$$ (f \circ g)'(x) = lim_{H \to 0 } \enspace \frac{f(y + H) - f(y)}{H} . lim_{h \to 0 } \enspace \frac{g(x+ h) - g(x)}{h} $$

$$ (f \circ g)'(x) = f' \left(y\right) . g'(x) $$

$$ (f \circ g)'(x) = f' \left(g(x)\right) . g'(x) $$


Soit finalement,

$$ \forall (f,g) \in F(\mathbb{R}, \mathbb{R})^2,$$

$$ (f \circ g)' = g'(f' \circ g) $$

On appelle cela aussi une dérivation en chaîne.


  1. Exemples


    1. Calcul de \( cos(2x)' \)
    2. Pour calculer la dérivée de \( cos(2x) \), on pose :

      $$ \Biggl \{ \begin{align*} g(x) = 2x \\ f(x) = cos(x) \end{align*} $$

      Ensuite, on calcule leur dérivée respective :

      $$ \Biggl \{ \begin{align*} g'(x) = 2 \\ f'(x) = -sin(x) \end{align*} $$

      On applique alors la formule:

      $$ (f \circ g)' = g'(f' \circ g) $$

      Et,

      $$ cos(2x)'= -2.sin(2x) $$

    3. Calcul de \( \Bigl( \sqrt{e^{x^2}} \Bigr)' \)
    4. On a ici une triple dérivation en chaîne :

      $$ \left \{ \begin{align*} h(x) = x^2 \\ g(x) = e^x \\ f(x) = \sqrt{x} \end{align*} \right \} $$

      On calcule leur dérivée respective :

      $$ \left \{ \begin{align*} h'(x) = 2x\\ g'(x) = e^x \\ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \end{align*} \right \} $$

      Et on applique la formule deux fois de suite :

      $$ (f \circ g \circ h)' = h' (g' \circ h) (f' \circ (g \circ h) ) $$

      Soit :

      $$ \Bigl( \sqrt{e^{x^2}} \Bigr)' = 2x e^{x^2} \frac{1}{2\sqrt{e^{x^2}}} $$

      $$ \Bigl( \sqrt{e^{x^2}} \Bigr)' = \frac{ x e^{x^2}}{\sqrt{e^{x^2}}} $$

      $$ \Bigl( \sqrt{e^{x^2}} \Bigr)' = x \sqrt{e^{x^2}} $$


Fonction réciproque \( : (f^{-1} )' \)

Soit une fonction \( f \) telle que :

$$ f : I \longmapsto f(I) = J , \enspace x \longmapsto f(x) $$

On définit sa fonction réciproque par :

$$ f^{-1} : J \longmapsto I , \enspace f(x) \longmapsto x $$


Nous allons repartir du résultat de la dérivée d'une fonction composée :

Ici, nous allons composer avec \( f \) et sa réciproque \( f^{-1} \) :

$$ (f \circ f^{-1 })(x) = (f^{-1})'(x) .(f' \circ f^{-1})(x) \qquad (1) $$

Or, on sait que par la définition d'une fonction réciproque que :

$$(f \circ f^{-1 })(x) = x$$

Soit :

$$ (f \circ f^{-1 })'(x) = (x)' $$

$$ (f \circ f^{-1 })'(x) = 1 \qquad (2) $$

On injecte le membre de droite de \( (1) \) dans celui de gauche de \( (2) \), on a :

$$ (f^{-1})'(x) .(f' \circ f^{-1})(x) = 1 $$


Et finalement,

$$ \forall (f,f^{-1}) \in F(\mathbb{R}, \mathbb{R})^2, \enspace f(f^{-1}) \neq 0 $$

$$ ( f^{-1} )'= \frac{1}{ (f' \circ f^{-1})} $$


Récapitulatif des dérivées d'opérations de fonctions

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