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La dérivabilité d'une fonction

La dérivée est une notion clef dans l’analyse de fonctions, car elle sous-tend toute la science physique.


Notion de dérivabilité

La notion de dérivée d'une fonction \( f \) s'exprime ainsi :

$$ f'(x) = lim_{h \to 0} \enspace \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$

C'est la limite du taux de variation quand \( h \to 0 \).

On pourra aussi la retrouver sous cette forme :

$$ f'(x) = lim_{x \to a} \enspace \frac{f(x) - f(a)}{x - a} $$

À ce moment-là, ce sera la limite du taux de variation quand \( x \to a \).

On dit alors que \( f \) est dérivable en un point \( (x = a) \) si et seulement si \( f'(a) \), le nombre dérivé de \( f \) au point \( a \) est un nombre réel, soit :

$$ f \ dérivable \ en \ a \Longleftrightarrow lim_{h \to 0} \enspace \frac{f(x+h) - f(x)}{h}= f'(a) \in \mathbb{R} $$


La dérivabilité implique la continuité

$$ f \ dérivable \ en \ a \Longrightarrow f \ continue \ en \ a $$


Le signe de la dérivée indique le sens de variation

$$ \forall x \in [a,b], \ f'(x) \geqslant 0 \ \Longleftrightarrow f \ croissante \ sur \ [a,b] $$

$$ \forall x \in [a,b], \ f'(x) \leqslant 0 \ \Longleftrightarrow f \ décroissante \ sur \ [a,b] $$


Démonstrations


Notion de dérivabilité

Soit une fonction \( f :x \longmapsto f(x) \), continue sur un intervalle \( [x_0, \ x_0 +h] \) telle que la figure suivante :

Première approximation de la dérivée

Nous y situons deux points sur l’axe des abscisses, \( x_0 \) et \( x_0 +h \) (\( h \) étant une distance relativement petite).

Leur image étant respectivement \( f(x_0) \) et \( f(x_0 + h) \), on obtient deux points : \( A(x_0; f(x_0)) \) et \( B(x_0 + h; f(x_0 + h)) \).

En traçant la droite qui relie, on peut calculer la pente moyenne de la variation de cette fonction entre \( A \) et \( B \).


  1. Calcul de la pente

  2. Cette pente, nous pouvons la calculer avec la formule suivante :

    $$ m = \frac{ \Delta _y}{\Delta _x}$$

    $$ m = \frac{ y_B- y_A}{x_B- x_A}$$

    Calcul de la pente entre A et B

    Dans notre cas, cela donne :

    $$ m = \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{ x_0 + h -x_0} $$

    Soit :

    $$ m = \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \qquad (1) $$


  3. Deuxième approximation de la dérivée

  4. Nous allons alors réduire petit à petit cette distance \( h \) qui sépare nos deux points sur l’axe des abscisses, tel que sur la figure suivante.

    Deuxième approximation de la dérivée

    Nous voyons que les valeurs de \( x_0 \) et \( x_0 + h \) commencent à se rapprocher, et la droite qui relie les points \( A \) et \( B \) commencent à dessiner une tangente à la courbe.


  5. Meilleure approximation de la dérivée

  6. De la même manière, nous allons encore réduire la distance \( h \), celle-ci commence à tendre vers \( 0 \).

    Meilleure approximation de la dérivée

    On voit à présent que les deux points \( A \) et \( B \) sont quasiment confondus, et que nous obtenons alors une tangente quasi-parfaite à la courbe au point d'abscisse \( x_0 \).


  7. Nombre dérivé d'une fonction en un point

  8. En imaginant que \( h \) devient de plus en plus petit et s’approche de \( 0 \), notre formule \( (1) \) peut s'exprimer sous forme de limite :

    $$ m = lim_{h \to 0} \enspace \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} $$

    Ce nombre \( m\) obtenu, pour un \( x_0 \) choisi arbitrairement, sera appelé le nombre dérivé de la fonction \( f \) au point \( x_0 \). Il sera noté \( f'(x_0) \).

    Si ce nombre n'est pas calculable, la dérivée n'est pas définie en ce point \( x_0 \).


    On dit alors que \( f \) est dérivable en un point \( (x = a) \) si et seulement si \( f'(a) \), le nombre dérivé de \( f \) au point \( a \) est un nombre réel, soit :

    $$ f \ dérivable \ en \ a \Longleftrightarrow lim_{h \to 0} \enspace \frac{f(x+h) - f(x)}{h}= f'(a) \in \mathbb{R} $$


  9. Fonction dérivée

  10. Et par généralisation, c'est-à-dire pour tout \( x \), on appelle \( f' \) la fonction dérivée de la fonction \( f \).

    $$ f'(x) = lim_{h \to 0} \enspace \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$

    L'ensemble de définition de \( f' \) dépendra alors de son expression, et sera restreint au maximum l'ensemble de définition de la fonction \( \textcolor{#A65757}f \).

    For example, la fonction \( arccosh(x) \) n'est définie que sur l'intervalle \( I= [1, \hspace{0.1em} +\infty]\).

    Alors, sa dérivée :

    $$ arccosh(x)' = \frac{1}{\sqrt{x^2 -1}} $$

    est elle aussi restreinte à cet intervalle de départ,tandis que la fonction \( f: x \longmapsto \frac{1}{\sqrt{x^2 -1}} \) est normalement définie sur une intervalle plus grand : \( J= [-\infty , \hspace{0.1em} -1] \cup [1, \hspace{0.1em} +\infty]\).

    On dit que la dérivée est la limite du taux de variation quand \( h \) tend vers \( 0 \).


    On pourra aussi la retrouver sous cette forme :

    $$ f'(x) = lim_{x \to a} \enspace \frac{f(x) - f(a)}{x - a} $$

    À ce moment-là, ce sera la limite du taux de variation quand \( x \to a \).


En physique, on pourra aussi utiliser la notation différentielle de Leibniz \( \frac{df}{dx} \), ou celle de Newton \( \overset{.}{f} \).

Particulièrement pour le calcul intégral, il est pratique d'utiliser celle de Leibniz.


La dérivabilité implique la continuité

On a vu que si une fonction est dérivable en un point \( a\), alors :

$$ lim_{h \to 0} \enspace \frac{f(a+h) - f(a)}{h}= f'(a) \in \mathbb{R} $$

Par suite,

$$ lim_{h \to 0} \ f(a+h) = hf'(a) + f(a) $$

$$ lim_{h \to 0} \ f(a+h) = f(a)$$

Ce qui implique la continuité de la fonction \( f \) au point \( x = a\).

$$ f \ dérivable \ en \ a \Longrightarrow f \ continue \ en \ a $$

Le signe de la dérivée indique le sens de variation

Soit une fonction \(f\) continue et positive sur \([a,b]\), et dérivable sur \( \hspace{0.1em} ]a,b[\).

De même, soient \( (x_1, x_2) \in \hspace{0.1em} ]a,b[ \), deux points intérieurs à \( \hspace{0.1em} ]a,b[\) dans cet ordre.


D'après le théorème des accroissements finis :

$$ f \ continue \ sur \ [a,b] \ et \ dérivable \ sur \ ]a,b[ \ \Longrightarrow \ \exists c \in ]a, b[, \ f'(c) = \frac{ f(b) - f(a)}{b-a}$$

Dans notre cas,

$$ \forall (x_1, x_2) \in \hspace{0.1em} ]a,b[ ,$$

$$ \exists x_3 \in \hspace{0.05em} ]x_1, x_2[, \ f'(x_3) = \frac{ f(x_2) - f(x_1)}{x_2-x_1}$$

Dérivabilité - sens de variations

L'intervalle \((x_2-x_1)\) étant toujours positif, si la fonction \(f\) est croissante sur \([a,b]\), elle l'est donc aussi sur \(]x_1, x_2[\), et dans ce cas :

$$ f(x_2) - f(x_1) \geqslant 0 \Longleftrightarrow f'(x_3) \geqslant 0 $$

La dérivée \(f'\) de la fonction \(f\) sera alors positive pour tout \( x \in [a,b]\).

Le même raisonnement s'applique pour une fonction décroissante.

$$ \forall x \in [a,b], \ f'(x) \geqslant 0 \ \Longleftrightarrow f \ croissante \ sur \ [a,b] $$

$$ \forall x \in [a,b], \ f'(x) \leqslant 0 \ \Longleftrightarrow f \ décroissante \ sur \ [a,b] $$


Exemple

Le signe de la dérivée indique le sens de variation

Étudions les variations de la fonction \(f\) suivante :

$$f(x) = \frac{1}{x} - 2\sqrt{x} $$

Cette fonction est uniquement définie sur : \( D_f = \ ] 0, +\infty]\).

On calcule sa dérivée \(f'\).

$$f(x) = \hspace{0.1em} \underbrace{-\frac{1}{x^2}} _\text{ \( < \hspace{0.2em} 0\)} - \hspace{0.1em} \underbrace{\frac{1}{\sqrt{x}} } _\text{ \( < \hspace{0.2em} 0\)} $$

\(f'(x)\) est toujours négative sur \(D_f\).

Alors, \(f(x)\) sera décroissante dans cette intervalle.


$$ x $$

$$ 0 $$

$$ \dots $$

$$ +\infty $$

$$ signe \ de \ f' $$

$$ \bigl [-\infty \bigr] $$

$$- $$

$$ \bigl [ 0^- \bigr] $$

$$ variations \ de \ f $$

$$ \bigl [+\infty\bigr] $$

$$ \searrow $$

$$ \bigl [-\infty \bigr] $$

Par ailleurs on a :

$$ \Biggl \{ \begin{align*} lim_{x \to 0} \ f(x) = +\infty \\ lim_{x \to +\infty} \ f(x) = -\infty \end{align*} $$

$$ \Biggl \{ \begin{align*} lim_{x \to 0} \ f'(x) = -\infty \\ lim_{x \to +\infty} \ f'(x) = 0^- \end{align*} $$

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