La formule de Taylor-Young avec reste intégral

Soit une fonction \( f : x \longmapsto f(x) \) de classe \( \mathcal{C}^n \) et \( f^{(n)} \) sa dérivée \( n \)-ième.

Formule de Taylor-Young

La formule de Taylor-Young nous dit qu'une fonction \( f_{n,a} \), centrée en \( x = a \), peut s'écrire sous la forme de somme d'un développement limité \( (DL_n(a)) \) et d'un reste \(R_n\), tel que :

$$ f_{n,a}(x) = T_{n,a}(x) + R_{n,a}(x) \qquad (1) $$

En voici la forme décomposée :

$$ \forall n \in \mathbb{N}, \enspace \forall f \in \hspace{0.05em} \mathcal{C}^n[D_f, \mathbb{R}], \enspace \forall (x, a) \in D_f^2, $$

$$ f_{n,a}(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + \int_a^x \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n \hspace{0.2em} dt $$

Soit,

$$ f_{n,a}(x) = \hspace{0.2em} \underbrace{ \sum_{k=0}^n \hspace{0.2em} \Biggl[ \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k \Biggr] } _\text{partie régulière} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \underbrace{ \int_a^x \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n \hspace{0.2em} dt } _\text{reste } $$

Par ailleurs, en posant \( (x = a + h) \), on a la formule sous cette nouvelle forme :

$$ f_{n,a}(a + h) = f(a) + f'(a)h + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}h^2 \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}h^n + \int_a^{a+h} \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(a + h - t)^n \hspace{0.2em} dt $$

Soit,

$$ f_{n,a}(a + h) = \hspace{0.2em} \underbrace{ \sum_{k=0}^n \hspace{0.2em} \Biggl[ \frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^k \Biggr] } _\text{partie régulière} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \underbrace{ \int_a^{a+h} \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(a + h - t)^n \hspace{0.2em} dt } _\text{reste } $$

Récapitulatif des principaux développements limités

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Démonstration

Formule de Taylor-Young

En démarrant avec l'équation du théorème fondamental de l'analyse :

$$ f(x) = f(a) + \int_a^x f'(t)dt $$

Soit,

$$ f(x) = f(a) - \int_a^x -f'(t)dt $$

En faisant une intégration par parties avec un choix judicieux pour \( u \) et \( v' \), on a :

$$ f(x) = f(a) - \Biggl( \Bigl[f'(t)(x-t)\Bigr]_a^x - \int_a^x f^{(2)}(t)(x-t) \hspace{0.2em} dt \Biggr) $$

$$ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \int_a^x f^{(2)}(t)(x-t)dt $$

Puis on recommence avec :

$$ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \Biggl[ -\frac{f^{(2)}(t)}{2} (x-t)^2 \Biggr]_a^x + \int_a^x \frac{f^{(3)}(t)}{2}(x-t)^2dt $$

$$ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2} (x-a)^2 + \int_a^x \frac{f^{(3)}(t)}{2}(x-t)^2dt$$

Et ainsi de suite...

$$ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2} (x-a)^2 + \Biggl[ \frac{f^{(3)}(t)}{6} (x-t)^3 \Biggr]_a^x - \int_a^x \frac{f^{(4)}(t)}{6}(x-t)^3dt $$

$$ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f^{(2)}(x)}{2} (x-a)^2 + \frac{f^{(3)}(a)}{6} (x-a)^3 + \int_a^x \frac{f^{(4)}(t)}{6}(x-t)^3dt $$

Alors, la fonction \( f \) admet un \( DL_n(a) \) avec un reste intégral \( R_{n,a}(x) \) et cette fonction équivaut à :

$$ \forall n \in \mathbb{N}, \enspace \forall f \in \hspace{0.05em} \mathcal{C}^n[D_f, \mathbb{R}], \enspace \forall (x, a) \in D_f^2, $$

$$ f_{n,a}(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + \int_a^x \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n \hspace{0.2em} dt $$

Soit,

$$ f_{n,a}(x) = \hspace{0.2em} \underbrace{ \sum_{k=0}^n \hspace{0.2em} \Biggl[ \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k \Biggr] } _\text{partie régulière} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \underbrace{ \int_a^x \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n \hspace{0.2em} dt } _\text{reste } $$

Par ailleurs, en posant \( (x = a + h) \), on a la formule sous cette nouvelle forme :

$$ f_{n,a}(a + h) = f(a) + f'(a)h + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}h^2 \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}h^n + \int_a^{a+h} \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(a + h - t)^n \hspace{0.2em} dt $$

Soit,

$$ f_{n,a}(a + h) = \hspace{0.2em} \underbrace{ \sum_{k=0}^n \hspace{0.2em} \Biggl[ \frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^k \Biggr] } _\text{partie régulière} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \underbrace{ \int_a^{a+h} \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(a + h - t)^n \hspace{0.2em} dt } _\text{reste } $$

Récapitulatif des principaux développements limités

Une autre notation utilisée pour caractériser le reste d'un développement limité est la notation de Landau \(o(x^n)\).

Dans notre cas spécifique, on étudie des développements limités au voisinage de \(( a = 0 ) \), donc :

$$ \exists \varepsilon (x), \enspace f(x) \underset{x \to 0}{=} \varepsilon (x) g(x) \qquad (avec \enspace lim_{x \to 0} \enspace \varepsilon (x) = 0)$$

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Exemple de développement limité

1. La fonction sinus \( : f(x) = sin(x) \)

1. Développement limité d'ordre 3 en zéro \( : DL_3(0) \)

Nous allons utiliser la méthode montrée précédemment afin de calculer un \( DL_3(0) \) de la fonction \( sin(x) \).

On vérifie d'abord que la fonction \( sin(x) \) est bien trois fois dérivable. Ces dérivées successives étant bien connues, nous savons alors que c'est bien le cas.

Ensuite, on calcule ses dérivées successives jusqu'à l'ordre \(3 \), et on récupère les images pour \( a = 0 \).

$$f(x) = sin(x) \Longrightarrow sin(0) = 0 $$

$$f'(x) = cos(x) \Longrightarrow cos(0) = 1$$

$$f^{(2)}(x) = -sin(x) \Longrightarrow -sin(0) = 0$$

$$f^{(3)}(x) = -cos(x) \Longrightarrow -cos(0) = -1 $$




Ensuite, on applique la formule de Taylor-Young des développements limités.

$$ f_{n,a}(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + R_{n, a}(x) $$

Dans notre cas, ce sera :

$$ sin_{3,0}(x) = sin(0) + cos(0)(x - 0) - \frac{sin(0)}{2!}(x - 0)^2 - \frac{cos(0)}{3!}(x - 0)^3 + R_{3, 0}(x) $$

$$ sin_{3,0}(x) = x -\frac{1}{6}x^3 +R_{3, 0}(x) $$




2. Encadrement avec reste intégral

$$ sin_{3,0}(x) = x -\frac{1}{6}x^3 +R_{3, 0}(x) $$




Nous avons vu plus haut que ce reste vaut :

$$ R_{3, 0}(x) = \int_0^x \frac{sin^{(4)}(t)}{3!}(x-t)^3 \hspace{0.2em} dt $$

Or, \(sin^{(4)}(t) = sin(t)\). Soit une nouvelle expression pour \( R_{3, 0}(x)\) :

$$ R_{3, 0}(x) = \int_0^x \frac{sin(t)}{6}(x-t)^3 \hspace{0.2em} dt $$




Nous allons encadrer ce reste dans l'intervalle \( [-\pi, \pi]\).

$$ -\pi \leqslant x \leqslant \pi$$

$$ -1 \leqslant sin(x) \leqslant 1$$

$$ \frac{-(x-t)^3}{6} \hspace{0.2em} \leqslant \hspace{0.2em} \frac{sin(x)}{6}(x-t)^3 \hspace{0.2em} \leqslant \hspace{0.2em} \frac{-(x-t)^3}{6} $$

Par la propriété de croissance de l'intégrale, on a :

$$ -\int_a^x \frac{(x-t)^3}{6} \hspace{0.1em}dt \hspace{0.2em} \leqslant \hspace{0.2em} \int_a^x \frac{sin(x)}{6}(x-t)^3 \hspace{0.1em}dt \hspace{0.2em} \leqslant \hspace{0.2em} \int_a^x \frac{(x-t)^3}{6} \hspace{0.1em}dt$$

$$ -\Biggl[ \frac{(x-t)^4}{24} \Biggr]_0^x \hspace{0.2em} \leqslant \hspace{0.2em} R_{3, 0}(x) \hspace{0.2em} \leqslant \hspace{0.2em} \Biggl[ \frac{(x-t)^4}{24} \Biggr]_0^x $$

$$ -\frac{x^4}{24} \hspace{0.2em} \leqslant \hspace{0.2em} R_{3, 0}(x) \hspace{0.2em} \leqslant \hspace{0.2em} \frac{x^4}{24} $$

Or, on sait grâce à \((1)\) que :

$$ sin_{3, 0}(x) = \enspace T_{3,0}(x) + R_{3,0}(x) $$

Ce qui nous amène à un encadrement pour \( sin_{3, 0}(x)\) :

$$ T_{3, 0}(x) -\frac{x^4}{24} \hspace{0.2em} \leqslant \hspace{0.2em} T_{3, 0}(x) + R_{3, 0}(x) \hspace{0.2em} \leqslant \hspace{0.2em} T_{3, 0}(x) + \frac{x^4}{24} $$

$$ x -\frac{1}{6}x^3 -\frac{x^4}{24} \hspace{0.2em} \leqslant \hspace{0.2em} sin_{3, 0}(x) \hspace{0.2em} \leqslant \hspace{0.2em} x -\frac{1}{6}x^3 + \frac{x^4}{24} $$




3. Développement limité d'ordre n en a \( : DL_n(0) \)

En effectuant un développement limité d'ordre \(n\) en \((x=0)\) pour la fonction \(sin(x)\), on obtiendra :

$$ sin_{n,0}(x) = x -\frac{x^3 }{3!}+ \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} (-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + R_{n, 0}(x) $$

De plus, le reste de ce \(DL_n(0)\) vaut :

$$ R_{n, 0}(x) = \int_0^x \frac{sin^{(n+1)}(t)}{(2n+1)!}(x-0)^{2n+1} \hspace{0.2em} dt $$

$$ R_{n, 0}(x) = \int_0^x \frac{cos(t)}{(2n+1)!}x^{2n+1} \hspace{0.2em} dt $$

Avec l'inégalité de Taylor-Lagrange, on peut encadrer ce reste :

$$ \Bigl|R_{n, 0}(x) \Bigr| \leqslant M \Biggl | \frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!} \Biggr|$$ $$ avec \enspace M = max \Bigl\{cos(0) ; \hspace{0.2em}cos(x) \Bigr\} = 1 $$

$$ lim_{n \to +\infty} \enspace \Bigl |R_{n, 0}(x) \Bigr| \hspace{0.2em} \leqslant \hspace{0.2em} lim_{n \to +\infty} \enspace \Biggl | \frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!} \Biggr| $$

Par croissances comparées des limites, la factorielle l'emporte sur la puissance de x :

$$ lim_{n \to +\infty} \enspace \Bigl |R_{n, 0}(x) \Bigr| \hspace{0.2em} \leqslant 0 $$

Enfin, avec le théorème des gendarmes :

$$ lim_{n \to +\infty} \enspace R_{n, 0}(x) = 0 $$




Soit finalement un \(DL_n(0) \) de la fonction \(sin(x) \) :

$$ sin(x) = x -\frac{x^3 }{3!}+ \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} (-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + R_{n, 0}(x) \qquad (avec \enspace lim_{n \to +\infty} \enspace R_{n, 0}(x) = 0) $$