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Les propriétés des puissances de x

Soient \( n\in \mathbb{N}\) un entier naturel et \( x \in \mathbb{R}\) un réel.

On appelle \(x^n\) un nombre \(x\) multiplié \(n\) fois par lui-même :

$$ x^n = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(n\) facteurs } $$

Soit de manière générale :

$$ x^n = \prod_{k = 1}^n x $$

Il est possible de montrer que cela fonctionne aussi pour tout \( n\in \mathbb{R}\), mais ces démonstrations ne sont pas encore rédigées.


Multiplication de puissances

$$ \forall (x, a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^3, $$

$$ x^a x^b = x^{a+b} $$


Quotient de puissances

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, \enspace \forall (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, $$

$$ \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} $$


Puissance d'une puissance

$$ \forall (x, a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^3, $$

$$ (x^a)^b = x^{ab} $$


Nombre élevé à la puissance zéro

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, $$

$$ x^0 = 1 $$


Inverse d'une puissance

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, $$

$$ \frac{1}{x} = x^{-1}$$


Inverse d'une puissance (bis)

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, \enspace \forall b \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, $$

$$\frac{1}{x^b} = x^{-b}$$


Puissance d'un produit

$$ \forall (x, y, a) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^3, $$

$$ (xy) ^a = x^a y ^a $$


Puissance d'un quotient

$$ \forall (x, a) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \enspace \forall y \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, $$

$$ \left( \frac{x}{y} \right)^a = \frac{x^a}{y^a} $$


Récapitulatif des puissances de x

Cliquez sur le titre ci-dessus pour accéder aux tableau récapitulatif.


Démonstrations


Multiplication de puissances

  1. Pour des exposants dans l'ensemble des entiers naturels \( : \mathbb{N} \)

  2. Soient \( x\in \hspace{0.05em} \mathbb{R} \) un réel et \( (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2 \) deux entiers naturels.

    Si l'on effectue le produit \(x^a x^b \), on a :

    $$ x^a x^b = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } \ \times \ \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(b\) facteurs }$$

    $$ x^a x^b = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \((a + b)\) facteurs } $$

    En considérant la définition fondamentale d'une puissance de x :

    $$ x^n = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(n\) facteurs } $$

    On obtient finalement,

    $$ \forall x \in \mathbb{R}, \enspace \forall ( a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2, $$

    $$ x^a x^b = x^{a+b} $$


Quotient de puissances

  1. Pour des exposants dans l'ensemble des entiers naturels \( : \mathbb{N} \)

  2. Soient \( x\in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^* \) un réel non nul et \( (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2 \) deux entiers naturels.

    Si l'on effectue le quotient \(x^a \over x^b \), on a :

    1. Si \( a > b \)
    2. $$ \frac{x^a}{x^b} = \frac{\overbrace {x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x ...} ^\text{ \(a\) facteurs }}{ \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(b\) facteurs }} $$

      Il restera après simplification :

      $$ \frac{x^a}{x^b} = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x ...} _\text{ \((a - b)\) facteurs } $$


      Soit finalement,

      $$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, \enspace \forall (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2, \enspace a > b, $$

      $$ \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} $$


    3. Si \( a < b \)
    4. $$ \frac{x^a}{x^b} = \frac{\hspace{0.2em} \overbrace {x \times x ...} ^\text{ \(a\) facteurs }}{ \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(b\) facteurs }} $$

      Il restera après simplification :

      $$ \frac{x^a}{x^b} = \frac{1}{\hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x ...} _\text{ \((b-a)\) facteurs }} $$

      $$ \frac{x^a}{x^b} = \frac{1}{x^{b-a}} $$

      Or, avec la formule de l'inverse d'une puissance :

      $$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, $$

      $$ \frac{1}{x} = x^{-1}$$

      Soit,

      $$ \frac{x^a}{x^b} = \frac{1}{x^{b-a}} = x^{-(b-a)} $$


      Et finalement, on obtient le même résultat que précédemment,

      $$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, \enspace \forall (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2, \enspace a < b, $$

      $$ \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} $$


    5. Si \( a = b \)
    6. $$ \frac{x^a}{x^b} = \frac{\overbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} ^\text{ \(a\) facteurs }}{\underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(b =a\) facteurs }} $$

      On retrouve bien la formule de la puissance zero :

      $$ x^0 = 1 $$

      Toutefois, on obtient le même résultat général que les deux fois précédentes :

      $$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, \enspace \forall (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2, \enspace a = b, $$

      $$ \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} $$


    7. Conclusion
    8. Dans tous les cas, on a bien :

      $$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, \enspace \forall (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2, $$

      $$ \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} $$



Puissance d'une puissance

  1. Pour des exposants dans l'ensemble des entiers naturels \( : \mathbb{N} \)

  2. Soient \( x\in \hspace{0.05em} \mathbb{R} \) un réel et \( (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2 \) deux entiers naturels.

    Si l'on effectue le calcul \( (x^a)^b \), on a :

    $$ (x^a)^b = \hspace{0.2em} \underbrace { x^a \times x^a \times x^a } _\text{ \(b\) facteurs } $$

    $$ (x^a)^b = \hspace{0.2em} \underbrace { \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } \ \times \ \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } \ \times \ \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } } _\text{ \(b \times a \) facteurs } $$

    $$ (x^a)^b = \hspace{0.2em} \underbrace { x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x... } _\text{ \(b \times a \) facteurs } $$


    En considérant la définition fondamentale d'une puissance de x :

    $$ x^n = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(n\) facteurs } $$


    On obtient finalement,

    $$ \forall x \in \mathbb{R}, \enspace \forall ( a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2, $$

    $$ (x^a)^b = x^{ab} $$



Nombre élevé à la puissance zéro

Soient \( (x, a) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2 \) deux nombres réels.

Avec la formule de multiplication des puissances :

$$ x^a x^0 = x^{a+0} $$

$$ x^a x^0 = x^{a} $$

Il paraît tout de suite évident que,

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, $$

$$ x^0 = 1 $$


Inverse d'une puissance

Soit \( x\in \hspace{0.05em} \mathbb{R^*} \) un réel non nul.

Si l'on effectue le produit \(x \times x^{-1} \), on a avec la formule de multiplication des puissances :

$$ x \times x^{-1} = x^{1 - 1} $$

$$ x \times x^{-1} = x^{0} $$

Or, on a vu que \( x^{0} = 1 \), soit :

$$ x \times x^{-1} = 1 $$

Comme \( x \) est non nul par hypothèse, on peut diviser les deux côtés par ce nombre :

$$ x^{-1} = \frac{1}{x }$$


Soit finalement,

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, $$

$$ \frac{1}{x} = x^{-1}$$


Inverse d'une puissance (bis)

Soit \( x\in \hspace{0.05em} \mathbb{R^*} \) un réel non nul, et \( b\in \hspace{0.05em} \mathbb{R} \) un nombre réel.

Posons une nouvelle variable \(X\) qui soit telle que :

$$ X = x^b $$

Grâce à la formule de l'inverse d'une puissance, on sait que :

$$ \forall X \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, $$

$$ \frac{1}{X} = X^{-1}$$

Soit avec notre changement de variable,

$$ \frac{1}{x^b} = (x^b)^{-1}$$


But, with the formula of the power of a power, we know that:

$$ \forall (x,a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^3, $$

$$ (x^a)^b = x^{ab} $$

Donc l'équation devient à présent :

$$ \frac{1}{x^b} =x^{b \times (-1) } = x^{-b} $$


Et finalement, on obtient comme résultat que,

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, \enspace \forall b \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, $$

$$\frac{1}{x^b} = x^{-b}$$


Puissance d'un produit

  1. Pour un exposant dans l'ensemble des entiers naturels \( : \mathbb{N} \)

  2. Soient \( (x, y) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2 \) deux réels et \( a\in \hspace{0.05em} \mathbb{N} \) un entier naturel.

    $$ (xy)^a = \hspace{0.2em} \underbrace {xy \times xy \times xy \times xy \times xy ...} _\text{ \(a\) facteurs } $$

    $$ (xy)^a = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x\times x \times x...} _\text{ \(a\) facteurs } \ \times \ \underbrace {y \times y \times y \times y \times y ...} _\text{ \(a\) facteurs } $$


    En considérant la définition fondamentale d'une puissance de x :

    $$ x^n = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(n\) facteurs } $$

    On a à présent,

    $$ (xy)^a = x^a \times y^a $$


    Soit finalement,

    $$ \forall (x, y) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \enspace \forall a\in \hspace{0.05em} \mathbb{N}, $$

    $$ (xy)^a = x^a y^a $$


Puissance d'un quotient

  1. Dans l'ensemble des entiers naturels \( : \mathbb{N} \)

  2. Soient \( x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R} \) un réel, \( y \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^* \) un réel non nul et \( a\in \hspace{0.05em} \mathbb{N} \) un entier naturel.

    $$ \left( \frac{x}{y} \right)^a = \hspace{0.2em} \underbrace {\left( \frac{x}{y} \right) \times \left( \frac{x}{y} \right) \times \left( \frac{x}{y} \right) \times \left( \frac{x}{y} \right) \times \left( \frac{x}{y} \right) ...} _\text{ \(a\) facteurs } $$

    En séparant le haut du bas, on a :

    $$ \left(\frac{x}{y}\right)^a = \frac{\hspace{0.2em} \overbrace {x \times x \times x \times x \times x...} ^\text{ \(a\) facteurs }}{ \hspace{0.2em} \underbrace {y \times y \times y\times y \times y ...} _\text{ \(a\) facteurs }} $$


    En considérant la définition fondamentale d'une puissance de x :

    $$ x^n = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(n\) facteurs } $$

    L'équation devient maintenant :

    $$ \left(\frac{x}{y}\right)^a = \frac{x^a}{y^a} $$


    Et finalement,

    $$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, \enspace \forall y \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, \enspace \forall a \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}, $$

    $$ \left( \frac{x}{y} \right)^a = \frac{x^a}{y^a} $$


Récapitulatif des puissances de x

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