Soient \( n\in \mathbb{N}\) un entier naturel et \( x \in \mathbb{R}\) un réel.
On appelle \(x^n\) un nombre \(x\) multiplié \(n\) fois par lui-même :
$$ x^n = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(n\) facteurs } $$
De manière générale, on définit :
$$\forall (x, n) \in \mathcal{D}(x^n), \ f(x) = x^n $$
$$ avec \enspace \mathcal{D}(x^n) = \Biggl[ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, \enspace \forall n \in \mathbb{N} \Biggr] \lor \Biggl[ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, \enspace \forall n \in \mathbb{Z} \Biggr] \lor \underbrace{ \Biggl[ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, \enspace \forall n \in \frac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{N} + 1 } \Biggr]\lor \Biggl[ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+, \enspace \forall n \in \frac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{N}^*} \Biggr] } _\text{\(n\) étant sous forme irréductible} \lor \Biggl[ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+, \enspace \forall n \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \mathbb{Q} \Bigr] \Biggr]$$
Les démonstrations sont pour l'instant écrites pour tout \( n\in \mathbb{N}\), mais il est possible de démontrer que c'est vrai aussi jusque \( n\in \mathbb{R}\). Cependant, ces démonstrations ne sont pas encore rédigées.
$$ \forall (x^a, x^b) \in \mathcal{D}(x^n)^2, $$
$$ x^a x^b = x^{a+b} $$
$$ \forall (x^a, x^b) \in \mathcal{D}(x^n)^2, \ x \neq 0, $$
$$ \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} $$
$$ \forall x^a \in \mathcal{D}(x^n), \ \forall b \in \mathbb{R}, $$
$$ (x^a)^b = x^{ab} $$
Nombre élevé à la puissance zéro
$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, $$
$$ x^0 = 1 $$
$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, $$
$$ \frac{1}{x} = x^{-1}$$
$$ \forall x^b \in \mathcal{D}(x^n), $$
$$\frac{1}{x^b} = x^{-b}$$
$$ \forall (x^a,y^a) \in \hspace{0.05em} \mathcal{D}(x^n)^2, $$
$$ x^a y ^a = (xy)^a $$
$$ \forall (x^a,y^a) \in \hspace{0.05em} \mathcal{D}(x^n)^2, \ y \neq 0, $$
$$ \frac{x^a}{y^a} = \left( \frac{x}{y} \right)^a $$
Récapitulatif des puissances de x
Soient \( x\in \hspace{0.05em} \mathbb{R} \) un réel et \( (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2 \) deux entiers naturels.
Si l'on effectue le produit \(x^a x^b \), on a :
$$ x^a x^b = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } \ \times \ \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(b\) facteurs }$$
$$ x^a x^b = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \((a + b)\) facteurs } $$
En considérant la définition fondamentale d'une puissance de x :
$$ x^n = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(n\) facteurs } $$
On obtient finalement,
$$ \forall (x^a, x^b) \in \mathcal{D}(x^n)^2, $$
$$ x^a x^b = x^{a+b} $$
Soient \( x\in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^* \) un réel non nul et \( (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2 \) deux entiers naturels.
Si l'on effectue le quotient \(x^a \over x^b \), on a :
$$ \frac{x^a}{x^b} = \frac{\overbrace {x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x ...} ^\text{ \(a\) facteurs }}{ \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(b\) facteurs }} $$
Il restera après simplification :
$$ \frac{x^a}{x^b} = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x ...} _\text{ \((a - b)\) facteurs } $$
Soit finalement,
$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, \enspace \forall (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2, \enspace a > b, $$
$$ \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} $$
$$ \frac{x^a}{x^b} = \frac{\hspace{0.2em} \overbrace {x \times x ...} ^\text{ \(a\) facteurs }}{ \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(b\) facteurs }} $$
Il restera après simplification :
$$ \frac{x^a}{x^b} = \frac{1}{\hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x ...} _\text{ \((b-a)\) facteurs }} $$
$$ \frac{x^a}{x^b} = \frac{1}{x^{b-a}} $$
Or, avec la formule de l'inverse d'une puissance :
$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, $$
$$ \frac{1}{x} = x^{-1}$$
Soit,
$$ \frac{x^a}{x^b} = \frac{1}{x^{b-a}} = x^{-(b-a)} $$
Et finalement, on obtient le même résultat que précédemment,
$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, \enspace \forall (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2, \enspace a < b, $$
$$ \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} $$
$$ \frac{x^a}{x^b} = \frac{\overbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} ^\text{ \(a\) facteurs }}{\underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(b =a\) facteurs }} $$
On retrouve bien la formule de la puissance zero :
$$ x^0 = 1 $$
Toutefois, on obtient le même résultat général que les deux fois précédentes :
$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, \enspace \forall (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2, \enspace a = b, $$
$$ \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} $$
Dans tous les cas, on a bien :
$$ \forall (x^a, x^b) \in \mathcal{D}(x^n)^2, \ x \neq 0, $$
$$ \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} $$
Soient \( x\in \hspace{0.05em} \mathbb{R} \) un réel et \( (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2 \) deux entiers naturels.
Si l'on effectue le calcul \( (x^a)^b \), on a :
$$ (x^a)^b = \hspace{0.2em} \underbrace { x^a \times x^a \times x^a } _\text{ \(b\) facteurs } $$
$$ (x^a)^b = \hspace{0.2em} \underbrace { \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } \ \times \ \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } \ \times \ \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } } _\text{ \(b \times a \) facteurs } $$
$$ (x^a)^b = \hspace{0.2em} \underbrace { x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x... } _\text{ \(b \times a \) facteurs } $$
En considérant la définition fondamentale d'une puissance de x :
$$ x^n = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(n\) facteurs } $$
On obtient finalement,
$$ \forall x^a \in \mathcal{D}(x^n), \ \forall b \in \mathbb{R}, $$
$$ (x^a)^b = x^{ab} $$
Soient \( (x, a) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2 \) deux nombres réels.
Avec la formule de multiplication des puissances :
$$ x^a x^0 = x^{a+0} $$
$$ x^a x^0 = x^{a} $$
Il paraît tout de suite évident que,
$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, $$
$$ x^0 = 1 $$
Soit \( x\in \hspace{0.05em} \mathbb{R^*} \) un réel non nul.
Si l'on effectue le produit \(x \times x^{-1} \), on a avec la formule de multiplication des puissances :
$$ x \times x^{-1} = x^{1 - 1} $$
$$ x \times x^{-1} = x^{0} $$
Or, on a vu que \( x^{0} = 1 \), soit :
$$ x \times x^{-1} = 1 $$
Comme \( x \) est non nul par hypothèse, on peut diviser les deux côtés par ce nombre :
$$ x^{-1} = \frac{1}{x }$$
Soit finalement,
$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, $$
$$ \frac{1}{x} = x^{-1}$$
Soit \( x\in \hspace{0.05em} \mathbb{R^*} \) un réel non nul, et \( b\in \hspace{0.05em} \mathbb{R} \) un nombre réel.
Posons une nouvelle variable \(X\) qui soit telle que :
$$ X = x^b $$
Grâce à la formule de l'inverse d'une puissance, on sait que :
$$ \forall X \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, $$
$$ \frac{1}{X} = X^{-1}$$
Soit avec notre changement de variable,
$$ \frac{1}{x^b} = (x^b)^{-1}$$
Mais, avec la formule d'une puissance de puissance:
$$ \forall x^a \in \mathcal{D}(x^n), \ \forall b \in \mathbb{R}, $$
$$ (x^a)^b = x^{ab} $$
Donc l'équation devient à présent :
$$ \frac{1}{x^b} =x^{b \times (-1) } = x^{-b} $$
Et finalement, on obtient comme résultat que,
$$ \forall x^b \in \mathcal{D}(x^n), $$
$$\frac{1}{x^b} = x^{-b}$$
Soient \( (x, y) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2 \) deux réels et \( a\in \hspace{0.05em} \mathbb{N} \) un entier naturel.
$$ (xy)^a = \hspace{0.2em} \underbrace {xy \times xy \times xy \times xy \times xy ...} _\text{ \(a\) facteurs } $$
$$ (xy)^a = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x\times x \times x...} _\text{ \(a\) facteurs } \ \times \ \underbrace {y \times y \times y \times y \times y ...} _\text{ \(a\) facteurs } $$
En considérant la définition fondamentale d'une puissance de x :
$$ x^n = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(n\) facteurs } $$
On a à présent,
$$ (xy)^a = x^a \times y^a $$
Soit finalement,
$$ \forall (x^a,y^a) \in \hspace{0.05em} \mathcal{D}(x^n)^2, $$
$$ x^a y ^a = (xy)^a $$
Soient \( x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R} \) un réel, \( y \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^* \) un réel non nul et \( a\in \hspace{0.05em} \mathbb{N} \) un entier naturel.
$$ \left( \frac{x}{y} \right)^a = \hspace{0.2em} \underbrace {\left( \frac{x}{y} \right) \times \left( \frac{x}{y} \right) \times \left( \frac{x}{y} \right) \times \left( \frac{x}{y} \right) \times \left( \frac{x}{y} \right) ...} _\text{ \(a\) facteurs } $$
En séparant le haut du bas, on a :
$$ \left(\frac{x}{y}\right)^a = \frac{\hspace{0.2em} \overbrace {x \times x \times x \times x \times x...} ^\text{ \(a\) facteurs }}{ \hspace{0.2em} \underbrace {y \times y \times y\times y \times y ...} _\text{ \(a\) facteurs }} $$
En considérant la définition fondamentale d'une puissance de x :
$$ x^n = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(n\) facteurs } $$
L'équation devient maintenant :
$$ \left(\frac{x}{y}\right)^a = \frac{x^a}{y^a} $$
Et finalement,
$$ \forall (x^a,y^a) \in \hspace{0.05em} \mathcal{D}(x^n)^2, \ y \neq 0, $$
$$ \frac{x^a}{y^a} = \left( \frac{x}{y} \right)^a $$
$$ avec \enspace \mathcal{D}(x^n) = \Biggl[ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, \enspace \forall n \in \mathbb{N} \Biggr] \lor \Biggl[ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, \enspace \forall n \in \mathbb{Z} \Biggr] \lor \underbrace{ \Biggl[ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, \enspace \forall n \in \frac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{N} + 1 } \Biggr]\lor \Biggl[ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+, \enspace \forall n \in \frac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{N}^*} \Biggr] } _\text{\(n\) étant sous forme irréductible} \lor \Biggl[ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+, \enspace \forall n \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \mathbb{Q} \Bigr] \Biggr]$$
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