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Le théorème des accroissements finis

Ce théorème est une conséquence directe du Le théorème de Rolle.


Soit une fonction \(f(x)\) continue sur un intervalle \([a,b]\) et dérivable sur \(]a,b[\).

$$ f \ continue \ sur \ [a,b] \ et \ dérivable \ sur \ ]a,b[ \ \Longrightarrow \ \exists c \in ]a, b[, \ f'(c) = \frac{ f(b) - f(a)}{b-a}$$


Démonstration


Soit une fonction \(f(x)\) continue sur un intervalle \([a,b]\) et dérivable sur \(]a,b[\)

Soient de même un réel \( c \in [a,b] \), la tangente \(T_c(x)\) de la courbe de \(f\) au point \(c\) , ainsi qu'une fonction affine \(g(x)\) joignant les points \(A\) et \(B\).

Théorème des accroissement finis - demo

Les points \(A, B, C\) sont les points de la courbe de \(f\) correspondants aux abscisses \(a, b, c\).


Considérons une fonction \(\Phi\) définie sur \([a,b]\) telle que :

$$\Phi(x) = f(x) - g(x) $$

Étant donné que la pente entre \(a\) et un point dans \(x \in [a, b]\) :

$$ \forall x \in [a,b], \ \frac{g(x) - g(a)}{x-a} = \frac{ g(b) - g(a)}{b-a} $$

Or,

$$ \Biggl \{ \begin{align*} f(a) = g(a) \\ f(b) = g(b) \end{align*} $$

Soit :

$$ \frac{g(x) - f(a)}{x-a} = \frac{ f(b) - f(a)}{b-a} $$

$$ g(x) = f(a) + \frac{ f(b) - f(a)}{b-a}(x-a) \qquad (1) $$

Alors :

$$\Phi(x) = f(x) - f(a) - \frac{ f(b) - f(a)}{b-a}(x-a) $$

Les fonctions \( f, g \) étant dérivables sur \( ]a, b[ \), elle sont dérivables sur ce même intervalle, il en sera de même pour \(\Phi\).

Et comme :

$$\Phi(a) = \Phi(b) = 0 $$

Le théorème de Rolle peut s'appliquer.

Le théorème de Rolle nous dit que :

Soit une fonction \( f \) continue \( [a, b] \) et dérivable sur \(]a, b[\) :

$$ f(a) = f(b) \Longleftrightarrow, \ \exists c \in ]a, b[, \ f'(c) = 0 $$

Théorème de Rolle

Dans notre cas,

$$ \Phi(a) = \Phi(b) \ \Longrightarrow \ \exists c \in ]a, b[, \ \Phi'(c) = 0 $$

Et,

$$ \Phi'(c) = 0 \Longrightarrow f'(c) - \frac{ f(b) - f(a)}{b-a} = 0 $$

Alors,

$$\exists c \in ]a, b[, \ f'(c) = \frac{ f(b) - f(a)}{b-a} $$

Soit finalement,

$$ f \ continue \ sur \ [a,b] \ et \ dérivable \ sur \ ]a,b[ \ \Longrightarrow \ \exists c \in ]a, b[, \ f'(c) = \frac{ f(b) - f(a)}{b-a}$$

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