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L'équation de la tangente en un point \( a \)

Nous avons vu dans la définition de la dérivée que le nombre dérivé correspondait à la pente de la tangente à la courbe d'une fonction.

Cette droite admet pour équation au point d'abscisse \(a\) :

$$ T_{a}(x) = f'(a)(x - a) + f(a) $$

De plus, dans le cas d'une fonction convexe, cette tangente se situe toujours au-dessous de la courbe.

$$ f \enspace convexe \enspace sur \enspace [a,b] \Longleftrightarrow f(x) \geqslant f'(a)(x - a) + f(a) $$


Démonstration

Représentons un schéma d'une fonction et de la tangente, issu du nombre dérivé au point d'abscisse \(a\).

Équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse a

Le point \(a\) a alors pour image \( f(a)\) ou \( T_a(a)\) puisque par définition, une tangente est un point d'intersection.

On a de même placé un point théorique \( M(x, T_a(x))\) sur la tangente à la courbe.


En appliquant le calcul de la pente pour les points \( A \) et \( B \), on a :

$$ m = \frac{ \Delta y}{\Delta x}$$

$$ m = \frac{ T_a(x) - T_a(a)}{x - a} \qquad (1) $$

Or on sait que la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse \( a \) est la même chose que le nombre dérivée en \( a \):

$$ m = f'(a)$$

Soit, en remplaçant dans \( (1) \),

$$ f'(a) = \frac{ T_a(x) - T_a(a)}{x - a}$$

$$ f'(a)(x - a) = T_a(x) - T_a(a) $$

Et comme \( T_a(a) = f(a) \),

$$ f'(a)(x - a) = T_a(x) - f(a) $$

La tangente à la courbe au point d'abscisse \(a\) admet pour équation :

$$ T_{a}(x) = f'(a)(x - a) + f(a) $$


Par ailleurs, dans le cas d'une fonction convexe, au sein d'un intervalle \(I = [a, b]\), toute corde allant de part et d'autre de ces deux points se situe au-dessus de la courbe.

Sa tangente ne peut alors qu'être au-dessous :

$$ f(x) \geqslant T_{a}(x) $$

$$ f \enspace convexe \enspace sur \enspace [a,b] \Longleftrightarrow f(x) \geqslant f'(a)(x - a) + f(a) $$

Et l'inégalité sera inversé dans le cas d'une fonction concave.

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