La fonction constante : \( (\lambda )' \)
Une fonction constante est définie de la manière suivante :
$$ \forall x \in \mathbb{R}, \enspace f(x) = \lambda, \enspace (avec \enspace \lambda \in \mathbb{R}) $$
Elle admet pour dérivée :
$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$
$$ (\lambda)' = 0 $$
La fonction affine : \( (ax + b )' \)
Une fonction affine est définie de la manière suivante :
$$ \forall x \in \mathbb{R}, \enspace \forall (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \enspace f(x) = ax + b $$
Elle admet pour dérivée :
$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$
$$ (ax+ b)' = a $$
La fonction valeur absolue : \( |x|' \)
Une fonction valeur absolue est définie de la manière suivante :
$$ \forall x \in \mathbb{R}, \enspace f(x) = |x| = \sqrt{x^2}$$
Elle admet pour dérivée :
$$ \forall x \in \Bigl[ \mathbb{R} \backslash \left \{ 0 \right \} \Bigr], $$
$$ |x|' = \frac{x}{|x|}$$
La fonction carrée : \( (x^2 )' \)
La fonction carrée est définie de la manière suivante :
$$ \forall x \in \mathbb{R}, \enspace f(x) = x^2 $$
Elle admet pour dérivée :
$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$
$$ (x^2)' = 2x $$
Les fonctions puissances de x : \( (x^n)' \)
Dans cette partie, il existera beaucoup de cas où \(x\) se trouvera au dénominateur, alors par simplicité on retirera le cas où \(x = 0\) car dans le cas où la fonction serait définie, alors \(f(0) = 0\) et par conséquent \(f'(0) = 0\).
Alors, on définit spécifiquement la fonction puissance de \(x\) de la manière suivante :
$$ $$
$$\forall x \in \mathcal{D}(x^n), \enspace f(x) = x^n, $$
Elle admet pour dérivée :
$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \Bigl[ \mathbb{R}^* \land \ \mathcal{D}(x^n) \Bigr] $$
$$ (x^n)' = nx^{n - 1} $$
Les fonctions puissances de n : \( (n^x)'\)
Dans cette partie, par simplicité on retirera le cas où \(n = 0\) car dans le cas où la fonction serait définie, alors \(f(0) = 0\) et par conséquent \(f'(0) = 0\).
Alors, on définit spécifiquement la fonction puissance de \(n\) de la manière suivante :
$$ \forall x \in \mathbb{R}, \enspace \forall n \in \mathbb{R^*_+}, \enspace f(x) = n^x $$
Elle admet pour dérivée :
$$ \forall x \in \mathbb{R}, \enspace \forall n \in \mathbb{R_+^*}, $$
$$ (n^x)' = ln(n).n^x $$
La fonction racine carrée : \( (\sqrt{x})' \)
La fonction racine carrée est définie de la manière suivante :
$$ \forall x \in \mathbb{R^+}, \enspace f(x) = \sqrt{x} $$
Elle admet pour dérivée :
$$ \forall x \in \mathbb{R_+^*}, $$
$$ \left(\sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$
La fonction inverse \( : \hspace{0.03em} \left(\frac{1}{x}\right)' \)
La fonction inverse est définie de la manière suivante :
$$ \forall x \in \mathbb{R^*}, \enspace f(x) = \frac{1}{x} $$
Elle admet pour dérivée :
$$ \forall x \in \mathbb{R^*}, $$
$$ \left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2} $$
La fonction logarithme népérien : \(\Bigl[ ln(x) \Bigr]'\)
La la fonction logarithme népérien est définie comme étantfonction réciproque de fonction exponentielle \((e^x)\) :
$$ \forall x \in \mathbb{R_+^*}, \enspace f(x) = ln(x) = (e^x)^{-1}$$
Elle est aussi définie par une intégrale :
$$ \forall x \in \mathbb{R_+^*}, \enspace ln(x) = \int^x_1 \frac{dt}{t}$$
Elle admet pour dérivée :
$$ \forall x \in \mathbb{R_+^*}, $$
$$ \Bigl[ ln(x) \Bigr]' = \frac{1}{x} $$
La la fonction logarithme népérien en valeur absolue est définie de la manière suivante :
$$ \forall x \in \mathbb{R^*}, \enspace f(x) = ln|x| = \Biggl \{ \begin{align*} \forall x \in \mathbb{R_-^*}, \ f(x) = ln(-x) \\ \forall x \in \mathbb{R_+^*}, \ f(x) = ln(x) \end{align*} $$
Elle admet pour dérivée :
$$ \forall x \in \mathbb{R^*}, $$
$$ \Bigl[ \ ln|x| \ \Bigr]' = \frac{1}{x} $$
La fonction logarithme en base n \( : \Bigl[ log_n(x) \Bigr] '\)
La fonction logarithme en base \(n\) \((n \in \mathbb{R})\) est définie de la manière suivante :
$$ \forall x \in \mathbb{R_+^*}, \enspace \forall n \in \mathbb{R^*_+}, \enspace f(x) = log_n(x) $$
Elle admet pour dérivée :
$$ \forall x \in \mathbb{R_+^*}, \enspace \forall n \in \mathbb{R^+}, $$
$$ \Bigl[ log_n(x) \Bigr] ' = \frac{1}{x.ln(n)} $$
La fonction exponentielle : \((e^x)'\)
La fonction exponentielle est définie comme étantfonction réciproque de la fonction logarithme népérien \((ln(x))\) :
$$ \forall x \in \mathbb{R}, \enspace f(x) = e^x = ln^{-1}(x)$$
Elle admet pour dérivée elle-même :
$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$
$$ (e^x)' = e^x$$
Récapitulatif des dérivées des fonctions usuelles
Une fonction constante est définie de la manière suivante :
$$ \forall x \in \mathbb{R}, \enspace f(x) = \lambda, \enspace (avec \enspace \lambda \in \mathbb{R}) $$
Avec la définition de la dérivée, on a :
$$ (\lambda)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{\lambda - \lambda}{h} $$
$$ (\lambda)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{0}{h} $$
Soit,
$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$
$$ (\lambda)' = 0 $$
Ici, il n'y a pas de forme indéterminée "\( \frac{0}{0} \)" car seul le dénominateur a son terme qui tend vers \(0 \), le numérateur lui reste \(0 \) comme constante.
On a bien \( 0 \) qui est divisé par un nombre qui conceptuellement s'approche de \(0 \), ce qui reste bien égal à \(0 \).
Une fonction affine est définie de la manière suivante :
$$ \forall x \in \mathbb{R}, \enspace \forall (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \enspace f(x) = ax + b $$
Avec la définition de la dérivée, on a :
$$ (ax+ b)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{a(x + h) + b - (ax + b)}{h} $$
$$ (ax+ b)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ax +ah +b -ax -b}{h} $$
$$ (ax+ b)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ah}{h} $$
Soit,
$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$
$$ (ax + b)' = a $$
Une fonction valeur absolue est définie de la manière suivante :
$$ \forall x \in \mathbb{R}, \enspace f(x) = |x| = \sqrt{x^2}$$
En passant par les dérivées de fonctions composées, on a :
$$ |x|' = \left( \sqrt{x^2} \right)' $$
$$ \forall x \neq 0, \ |x|' = \frac{2x}{2 \sqrt{x^2}} = \frac{x}{|x|}$$
Soit,
$$ \forall x \in \Bigl[ \mathbb{R} \backslash \left \{ 0 \right \} \Bigr], $$
$$ |x|' = \frac{x}{|x|}$$
La fonction carrée est définie de la manière suivante :
$$ \forall x \in \mathbb{R}, \enspace f(x) = x^2 $$
Avec la définition de la dérivée, on a :
$$ (x^2)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{(x + h)^2 - x^2}{h} $$
$$ (x^2)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} $$
$$ (x^2)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{2xh + h^2}{h} $$
$$ (x^2)' = lim_{h \to 0 } \enspace 2x + h $$
Soit,
$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$
$$ (x^2)' = 2x $$
Dans cette partie, il existera beaucoup de cas où \(x\) se trouvera au dénominateur, alors par simplicité on retirera le cas où \(x = 0\) car dans le cas où la fonction serait définie, alors \(f(0) = 0\) et par conséquent \(f'(0) = 0\).
Alors, on définit la fonction puissance de \(x\) de la manière suivante :
$$ $$
$$\forall x \in \mathcal{D}(x^n), \enspace f(x) = x^n, $$
Nous allons faire la démonstration de la formule générale, ensemble après ensemble.
Avec la définition de la dérivée, on a :
$$ (x^n)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{(x + h)^n - x^n}{h} \qquad (1)$$
Mais on sait par la formule du binôme de Newton que :
$$\forall n \in \mathbb{N}, \enspace \forall (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2,$$
$$ (a + b)^n = \sum_{p = 0}^n \binom{n}{p} a^{n-p}b^k $$
Remplaçons \( (a + b) \) par \( (x + h) \) pour adapter à la formule \( (1) \) :
$$ (x + h)^n = \sum_{p = 0}^n \binom{n}{p} a^{n-p}b^p$$
$$ (x + h)^n = x^n + \binom{n}{1}x^{n - 1}h + \binom{n}{2}x^{n - 2}h^2 \enspace + ... + \enspace \binom{n}{n- 1}xh^{n - 1 } + h^{n} \qquad (2) $$
En injectant \( (2) \) dans \( (1) \), on a :
$$ (x^n)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{x^n + \binom{n}{1}x^{n - 1}h + \binom{n}{2}x^{n - 2}h^2 \enspace + ... + \enspace \binom{n}{n- 1}xh^{n - 1 } + h^{n} - x^n}{h} $$
Les termes \( x^n \) s'annulent au numérateur :
$$ (x^n)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{\binom{n}{1}x^{n - 1}h + \binom{n}{2}x^{n - 2}h^2 \enspace + ... + \enspace \binom{n}{n- 1}xh^{n - 1 } + h^{n}}{h} $$
À présent, on peut simplifier par \( h \) :
$$ (x^n)' = lim_{h \to 0 } \enspace \binom{n}{1}x^{n - 1} + \binom{n}{2}x^{n - 2}h \enspace + ... + \enspace \binom{n}{n- 1}xh^{n - 2 } + h^{n - 1} $$
Lorsque l'on passe à la limite quand \( h \to 0 \), tous les termes avec \( h \) disparaissent :
$$ (x^n)' = \binom{n}{1}x^{n - 1} $$
Et finalement,
$$ \forall x \in \mathbb{R^*}, \enspace \forall n \in \mathbb{N}, $$
$$ (x^n)' = nx^{n - 1} $$
On a vu plus haut le cas d'un un exposant entier \( n \) positif, voyons maintenant l'autre partie l'ensemble \( \mathbb{Z}\), les entiers négatifs.
On considère alors l'ensemble des entiers négatifs \( \mathbb{Z} \hspace{0.2em} \backslash \bigl\{ \mathbb{N} \bigr\} \), et un nombre \( n \) appartenant à cet ensemble tel que :
$$ \forall m \in \mathbb{N}, \ n = -m $$
En reprenant la même méthode que plus haut à partir de la la définition de la dérivée :
$$ (x^n)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{(x + h)^n - x^n}{h} $$
$$ (x^n)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{(x + h)^{-m} - x^{-m}}{h} $$
$$ (x^n)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{\frac{1}{(x + h)^{m}} - \frac{1}{x^{m}} }{h} $$
On met le grand numérateur sous le même dénominateur.
$$ (x^n)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{\frac{x^m}{(x + h)^{m}x^{m}} - \frac{(x + h)^{m}}{x^{m}(x + h)^{m}} }{h} $$
$$ (x^n)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{\frac{x^m - (x + h)^{m}}{(x + h)^{m}x^{m}} }{h} $$
$$ (x^n)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{1}{h} \Biggl[ \frac{x^m - (x + h)^{m}}{(x + h)^{m}x^{m}} \Biggr] $$
Mais on a déjà effectué ce calcul plus haut, et après simplification, on avait :
$$ \frac{ (x + h)^n - x^n }{h} = \binom{n}{1}x^{n - 1} + \binom{n}{2}x^{n - 2}h \enspace + ... + \enspace \binom{n}{n- 1}xh^{n - 2 } + h^{n - 1} $$
Alors dans notre cas :
$$ \frac{ x^m - (x + h)^m }{h} = - \left( \binom{m}{1}x^{m - 1} + \binom{m}{2}x^{m - 2}h \enspace + ... + \enspace \binom{m}{m- 1}xh^{m - 2 } + h^{m - 1} \right) $$
Alors, notre expression devient :
$$ (x^n)' = lim_{h \to 0 } \enspace - \frac{\binom{m}{1}x^{m - 1} + \binom{m}{2}x^{m - 2}h \enspace + ... + \enspace \binom{m}{m- 1}xh^{m - 2 } + h^{m - 1} }{(x + h)^{m}x^{m}} $$
Lorsque l'on passe maintenant à la limite quand \( h \to 0 \) :
$$ (x^n)' = - \frac{mx^{m - 1} }{x^{2m}} $$
$$ (x^n)' = - mx^{-m - 1} $$
Or, comme par hypothèse \(n = -m \),
$$ \forall x \in \mathbb{R^*}, \enspace \forall n \in \Bigl[\mathbb{Z} \hspace{0.2em} \backslash \bigl\{ \mathbb{N} \bigr\}\Bigr], $$
$$ (x^n)' = nx^{n - 1} $$
Un nombre rationnel \( n \) s'écrit sous la forme :
$$ n = \frac{p}{q} \hspace{3em} (p \in \mathbb{Z}, \ q \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^*) $$
Alors, le nombre \( x^n \) s'écrit :
$$ x^n = x^{\frac{p}{q}} $$
Comme nous allons dans les démonstrations qui vont suivre, considérer \( X \) comme \( e^{ln\left(X\right)} \), on va devoir prendre en compte le signe de l'intérieur du logarithme. Et comme une fonction logarithme n'accepte pas de valeur négative, il faut s'assurer que le nombre sous ce dernier soit toujours positif.
Dans les différents cas que nous allons étudier, cela va dépendre de la forme simplifiée de la puissance \( \frac{p}{q} \).
Alors, le nombre \( p \) peut s'écrire :
$$ \forall a \in \mathbb{N}, \ p = 2a $$
Alors,
$$ x^{\frac{p}{q}} = \left( x^{\frac{1}{q}} \right)^p $$
$$ x^{\frac{p}{q}} = \left( x^{\frac{1}{q}} \right)^{2a} $$
$$ x^{\frac{p}{q}} = \left( x^{\frac{a}{q}} \right)^{2} $$
Le nombre \( x^{\frac{p}{q}} \) sera positif car c'est un carré. Il pourra alors être placé dans un logarithme.
Alors, le nombre \( q \) peut s'écrire :
$$ \forall a \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^*, \ q = 2a $$
Alors,
$$ x^{\frac{p}{q}} = \left( x^{p} \right)^{\frac{1}{q} }$$
$$ x^{\frac{p}{q}} = \left( x^{p} \right)^{\frac{1}{2a} }$$
$$ x^{\frac{p}{q}} = \left( x^{\frac{p}{a}} \right)^{\frac{1}{2} } $$
Le nombre \( x^{\frac{p}{q}} \) sera positif et uniquement défini pour \( x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^+ \) car c'est une racine carrée. Il pourra alors être placé dans un logarithme.
Le signe de \(x\) sera conservé après passage à la puissance.
Il va falloir gérer ce cas à part, ca dans le cas d'un nombre \( x < 0 \), le nombre \( x^{\frac{p}{q}} \) ne pourra pas être placé dans un logarithme.
Comme on a vu plus haut que dans ces deux cas, peu importe le signe de \(x\) le nombre \( x^{\frac{p}{q}} \) sera toujours positif, on va pouvoir le placer sous un logarithme.
Alors, en considérant tout nombre \( X \neq 0 \) comme \( e^{ln\left(X\right)} \), on a :
$$ \begin{align*} \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, \enspace \forall p \in \hspace{0.05em} \Bigl \{ 2a \ | \ a \in \mathbb{Z} \Bigr \}, \ \forall q \in \mathbb{N}, \\ \hspace{8em} \underline{ou} \\ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+, \enspace \forall p \in \mathbb{Z}, \ \forall q \in \hspace{0.05em} \Bigl \{ 2a \ | \ a \in \mathbb{N} \Bigr \}, \end{align*} \Biggr \} \hspace{1em} x^n = x^{\frac{p}{q}} = e^{ln\left(x^{\frac{p}{q}}\right)}$$
On démarre alors de,
$$ (x^n)' = \left(e^{ln\left(x^{\frac{p}{q}}\right)} \right)' $$
Et par suite,
Avec la propriété \( (2) \) du logarithme népérien, on sait que :
$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R^*}, \ \forall n \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, $$
$$ln(x^n) = n . ln(x) \qquad (2) $$
Soit,
$$ (x^n)' = \left(e^{\frac{p}{q}.ln(x)} \right)' $$
Dans l'expression ci-dessus, il a été important de passer en valeur absolue car sinon l'étude se restreint à \(x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+\).
On peut alors calculer cette dérivée par une dérivation en chaîne :
On sait que :
$$ \left(e^y \right)' = y'e^y $$
Soit ici :
$$ (x^n)' = \Bigl(\frac{p}{q}.ln|x|\Bigr)' e^{\frac{p}{q} .ln|x|} $$
$$ (x^n)' = \frac{p}{qx} e^{\frac{p}{q} .ln|x|} $$
En réutilisant la propriété \( (2) \) précédente dans le sens inverse :
$$ (x^n)' = \frac{p}{qx} e^{ln\left(x^{\frac{p}{q}}\right)} $$
$$ (x^n)' = \frac{p}{q} x^{-1} x^{\frac{p}{q}} $$
Finalement, en réaffectant à la fraction \( \frac{p}{q} \) sa valeur initale \(n\) :
$$ \begin{align*} \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, \enspace \forall p \in \hspace{0.05em} \Bigl \{ 2a \ | \ a \in \mathbb{Z} \Bigr \}, \ \forall q \in \mathbb{N}, \\ \hspace{8em} \underline{ou} \\ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+, \enspace \forall p \in \mathbb{Z}, \ \forall q \in \hspace{0.05em} \Bigl \{ 2a \ | \ a \in \mathbb{N} \Bigr \}, \end{align*}$$
$$ (x^n)' = nx^{n - 1} $$
Dans ce cas-ci, le signe du nombre \( x \) est toujours conservé après passage à la puissance.
Pour conserver un éventuel signe \( (-) \) après passage à la puissance tout en utilisant une valeur absolue sous le logarithme, on utilisera un générateur de signe devant pour compenser :
$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, \enspace \forall p \in \hspace{0.05em} \Bigl \{ 2a + 1 \ | \ a \in \mathbb{Z} \Bigr \}, \ \forall q \in \hspace{0.05em} \Bigl \{ 2a + 1 \ | \ a \in \mathbb{N} \Bigr \}, $$
$$ x^n = x^{\frac{p}{q}} = \frac{x}{|x|} e^{ \left( ln\left|x \right|^{\frac{p}{q}}\right)} $$
Et on reprend alors le même cheminement que plus haut :
$$ (x^n)' = \left( \frac{x}{|x|} e^{ \left( ln\left|x \right|^{\frac{p}{q}}\right)} \right)' $$
$$ (x^n)' = \left( \frac{x}{|x|} e^{\frac{p}{q}ln\left|x\right|} \right)' $$
$$ (x^n)' = \frac{x}{|x|} \Bigl(\frac{p}{q}.ln|x|\Bigr)' e^{\frac{p}{q} .ln|x|} $$
$$ (x^n)' = \frac{x}{|x|} \frac{p}{qx} e^{\frac{p}{q} .ln|x|} $$
$$ (x^n)' = \frac{x}{|x|} \frac{p}{q} x^{-1} |x|^{\frac{p}{q}} $$
$$ (x^n)' = \frac{p}{q} |x|^{\frac{p}{q}-1} \qquad (3) $$
Le résultat de l'exposant \( \left ( \frac{p}{q} -1 \right)\) aura un nombre pair au numérateur, car en mettant au même dénominateur, on a :
$$ \frac{p}{q} -1 = \frac{p - q}{q} $$
Et comme \( p \) et \( q \) sont deux nombres impairs, la différence deux sera nécessairement un nombre pair.
Or, si \( \left ( \frac{p}{q} -1 \right)\) est pair, il s'écrit :
$$ \forall a \in \mathbb{N}, \ \left ( \frac{p}{q} -1 \right) = 2a $$
Et par conséquent, on peut réécrire \( (3)\) sous la forme :
$$ (x^n)' = \frac{p}{q} |x|^{2a} $$
$$ (x^n)' = \frac{p}{q} \left( |x|^{a} \right)^2 $$
Comme c'est un carré, on pourra retirer la valeur absolue.
Alors dans notre cas de figure seulement,
$$ (x^n)' = \frac{p}{q} |x|^{\frac{p}{q}-1} = \frac{p}{q} x^{\frac{p}{q}-1} $$
Finalement, en réaffectant à la fraction \( \frac{p}{q} \) sa valeur initiale \(n\) :
$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, \enspace \forall p \in \hspace{0.05em} \Bigl \{ 2a + 1 \ | \ a \in \mathbb{Z} \Bigr \}, \ \forall q \in \hspace{0.05em} \Bigl \{ 2a + 1 \ | \ a \in \mathbb{N} \Bigr \}, $$
$$ (x^n)' = nx^{n - 1} $$
Pour un exposant irrationnel, cette fonction est uniquement déifinie pour des nombres positifs \( (x \geqslant 0)\).
Alors, en considérant tout nombre \( X \neq 0 \) comme \( e^{ln\left(X\right)} \), on a :
$$ \forall x \in \mathbb{R^*}, \enspace \forall n \in \bigl[\mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \mathbb{Q} \bigr],$$
$$ x^n = e^{ln(x^n)} $$
Et par suite,
$$ (x^n)' = \left(e^{ln(x^n)}\right)' $$
Avec la propriété \( (2) \) du logarithme népérien, on sait que :
$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R^*}, \ \forall n \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, $$
$$ln(x^n) = n . ln(x) \qquad (2) $$
Soit,
$$ (x^n)' = \left(e^{n.ln(x)} \right)' $$
On peut alors calculer cette dérivée par une dérivation en chaîne.
On sait que :
$$ \left(e^y \right)' = y'e^y $$
Soit ici :
$$ (x^n)' = \bigl(n.ln(x)\bigr)' e^{n .ln(x)} $$
$$ (x^n)' = \frac{n}{x} e^{n .ln(x)} $$
En réutilisant la propriété \( (2) \) précédente dans le sens inverse :
$$ (x^n)' = \frac{n}{x} e^{ln(x^n)} $$
$$ (x^n)' = nx^{-1} x^{n} $$
$$ (x^n)' = nx^{n-1} $$
Et finalement :
$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+, \enspace \forall n \in \bigl[\mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \mathbb{Q} \bigr], $$
$$ (x^n)' = nx^{n - 1} $$
$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \Bigl[ \mathbb{R}^* \land \ \mathcal{D}(x^n) \Bigr] $$
$$ (x^n)' = nx^{n - 1} $$
Dans cette partie, par simplicité on retirera le cas où \(n = 0\) car dans le cas où la fonction serait définie, alors \(f(0) = 0\) et par conséquent \(f'(0) = 0\).
Alors, on définit spécifiquement la fonction puissance de \(n\) de la manière suivante :
$$ \forall x \in \mathbb{R}, \enspace \forall n \in \mathbb{R^*_+}, \enspace f(x) = n^x $$
Avec la définition de la dérivée, on a :
$$ (n^x)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{n^{x + h} - n^x}{h} \qquad (4) $$
Nous nous retrouvons ici bloqué car nous ne pouvons pas directement éliminer \( h\).
Réécrivons alors l'expression \( (4) \) sous une autre forme.
On sait que \( n^x \) peut s'écrire :
$$ n^x = e^{ln(n^x)} $$
Il s'en suit que :
$$ (n^x)' = \left(e^{ln(n^x)}\right)' $$
On peut alors calculer cette dérivée par une dérivation en chaîne.
$$ (n^x)' = (ln(n^x))'. \left(e^{ln(n^x)} \right) $$
$$ (n^x)' = (x.ln(n))'. n^x $$
$$ (n^x)' = ln(n) . (x)' . n^x $$
Et finalement,
$$ \forall x \in \mathbb{R}, \enspace \forall n \in \mathbb{R_+^*}, $$
$$ (n^x)' = ln(n). n^x $$
La fonction racine carrée est définie de la manière suivante :
$$ \forall x \in \mathbb{R^+}, \enspace f(x) = \sqrt{x} $$
Avec la définition de la dérivée, on a :
$$ \left(\sqrt{x} \right)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h} $$
Pour arranger cette différence de racines, on multiplie par le numérateur :
$$ \left(\sqrt{x} \right)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{(\sqrt{x + h} - \sqrt{x})(\sqrt{x + h} - \sqrt{x})}{h(\sqrt{x + h} - \sqrt{x})} $$
$$ \left(\sqrt{x} \right)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{x + h - x}{h(\sqrt{x + h} - \sqrt{x})} $$
$$ \left(\sqrt{x} \right)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{h}{h(\sqrt{x + h} - \sqrt{x})} $$
On simplifie par \( h \) :
$$ \left(\sqrt{x} \right)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{1}{1(\sqrt{x + h} - \sqrt{x})} $$
Soit finalement,
$$ \forall x \in \mathbb{R_+^*}, $$
$$ \left(\sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$
En considérant \( \sqrt{x} \) comme une puissance de \( x \), on a :
$$ \sqrt{x} = x^{1 \over 2}$$
À partir de celà, on utilise la dérivée de \( x^n\), on a :
$$ \left(\sqrt{x} \right)' = (x^{1 \over 2})'$$
$$ \left(\sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$$
$$ \left(\sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}$$
$$ \left(\sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2} \left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{-1} = \frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}$$
Soit finalement,
$$ \forall x \in \mathbb{R_+^*}, $$
$$ \left(\sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$
De même, on pourra calculer la dérivée de toute racine de \(n\), avec \(n \in \mathbb{Q}\).
$$ \left(\sqrt[3]{x} \right)' = \left(x^{\frac{1}{3}} \right)' $$
$$ \left(\sqrt[3]{x} \right)' =\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} $$
$$ \left(\sqrt[3]{x} \right)' =\frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} $$
$$ \left(\sqrt[3]{x} \right)' = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2 }}$$
$$ \left( x^{ \frac{5}{2} } \right)' =\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1} $$
$$ \left( x^{ \frac{5}{2} } \right)' =\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2} } $$
$$ \left( x^{ \frac{5}{2} } \right)' =\frac{5}{2} \sqrt{x^{3} } $$
La fonction inverse est définie de la manière suivante :
$$ \forall x \in \mathbb{R^*}, \enspace f(x) = \frac{1}{x} $$
En considérant \( \frac{1}{x} \) comme une puissance de \( x \), on peut utiliser la dérivée de \( x^n\), et on a :
$$ \left(\frac{1}{x}\right)' = \left (x^{-1 }\right)' $$
$$ \left(\frac{1}{x}\right)' = -1.x^{-1 -1 } $$
$$ \left(\frac{1}{x}\right)' = -x^{-2 } $$
Soit finalement,
$$ \forall x \in \mathbb{R^*}, $$
$$ \left(\frac{1}{x}\right)' = - \frac{1}{x^2} $$
La la fonction logarithme népérien \((ln(x))\) est définie comme étantfonction réciproque de fonction exponentielle \((e^x)\) :
$$ \forall x \in \mathbb{R_+^*}, \enspace f(x) = ln(x) = (e^x)^{-1}$$
Elle est aussi définie par une intégrale :
$$ \forall x \in \mathbb{R_+^*}, \enspace ln(x) = \int^x_1 \frac{dt}{t}$$
Soit,
$$ \forall x \in \mathbb{R_+^*}, $$
$$ \Bigl[ ln(x) \Bigr]' = \frac{1}{x} $$
La la fonction logarithme népérien en valeur absolue est définie de la manière suivante :
$$ \forall x \in \mathbb{R^*}, \enspace f(x) = ln|x| = \Biggl \{ \begin{align*} \forall x \in \mathbb{R_-^*}, \ f(x) = ln(-x) \\ \forall x \in \mathbb{R_+^*}, \ f(x) = ln(x) \end{align*} $$
On a déjà calculé plus haut la partie positive, reste à calculer pour la partie négative de la même manière.
Utilisons la dérivée d'une fonction composée :
$$ ln(-x)' = (-x)' \times ln(-x)' $$
$$ ln(-x)' = - \frac{1}{-x} = \frac{1}{x}$$
Soit finalement,
$$ \forall x \in \mathbb{R^*}, $$
$$ \Bigl[ \ ln|x| \ \Bigr]' = \frac{1}{x} $$
La fonction logarithme en base \(n\) \((n \in \mathbb{R})\) est définie de la manière suivante :
$$ \forall x \in \mathbb{R_+^*}, \enspace \forall n \in \mathbb{R^*_+}, \enspace f(x) = log_n(x) $$
Nous allons procéder comme pour le logarithme népérien car c'est la même logique.
Soit la fonction \( g(x) = n^x \) et sa fonction réciproque de \( g^{-1}(x) = log_n(x) \).
$$ (g^{-1})'(x) = \frac{1}{(g' \circ g^{-1})(x)} $$
$$ \Bigl[ log_n(x) \Bigr] ' = \frac{1}{\bigl(n^x \circ log_n(x)\bigr)(x)} $$
$$\Bigl[ log_n(x) \Bigr] ' = \frac{1}{ln(n).n^{log_n(x)} } $$
Soit,
$$ \forall x \in \mathbb{R_+^*}, \enspace \forall n \in \mathbb{R^+}, $$
$$ \Bigl[ log_n(x) \Bigr] ' = \frac{1}{x.ln(n)} $$
On retrouve bien la cohérence avec la dérivée du logarithme népérien, dit aussi logarithme naturel.
$$ \Bigl[ ln(x) \Bigr]' = \Bigl[ log_e(x) \Bigr]' = \frac{1}{x.ln(e)} = \frac{1}{x} $$
En effet, c'est un cas particulier de la fonction \( log_n(x) \) en base \( e\).
La fonction exponentielle est définie comme étant fonction réciproque de la fonction logarithme népérien \((ln(x))\) :
$$ \forall x \in \mathbb{R}, \enspace f(x) = e^x = ln^{-1}(x)$$
En utilisant la la dérivée d'une fonction réciproque, on a :
$$ ( e^x )'= \frac{1}{ (ln(x)' \circ e^x)} $$
$$ ( e^x )'= \frac{1}{ \frac{1}{ e^x}} $$
Soit finalement
$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$
$$ (e^x)' = e^x$$
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