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Les dérivées des fonctions usuelles

La fonction constante : \( (\lambda )' \)

Une fonction constante est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, \enspace f(x) = \lambda, \enspace (avec \enspace \lambda \in \mathbb{R}) $$

Elle admet pour dérivée :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$

$$ (\lambda)' = 0 $$


La fonction affine : \( (ax + b )' \)

Une fonction affine est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, \enspace \forall (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \enspace f(x) = ax + b $$

Elle admet pour dérivée :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$

$$ (ax+ b)' = a $$


La fonction carrée : \( (x^2 )' \)

La fonction carrée est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, \enspace f(x) = x^2 $$

Elle admet pour dérivée :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$

$$ (x^2)' = 2x $$


Les fonctions puissances de x : \( (x^n)' \)

La fonction puissance de \(x\) est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in \mathbb{R^*}, \enspace \forall n \in \mathbb{R}, \enspace f(x) = x^n $$

Elle admet pour dérivée :

$$ \forall x \in \mathbb{R^*}, \enspace \forall n \in \mathbb{R}, $$

$$ (x^n)' = nx^{n - 1} $$


Les fonctions puissances de n : \( (n^x)'\)

La fonction puissance de \(n\) est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, \enspace \forall n \in \mathbb{R^*}, \enspace f(x) = n^x $$

Elle admet pour dérivée :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, \enspace \forall n \in \mathbb{R_+^*}, $$

$$ (n^x)' = ln(n).n^x $$


La fonction racine carrée : \( (\sqrt{x})' \)

La fonction racine carrée est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in \mathbb{R^+}, \enspace f(x) = \sqrt{x} $$

Elle admet pour dérivée :

$$ \forall x \in \mathbb{R_+^*}, $$

$$ \left(\sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$


La fonction inverse: \( \left(\frac{1}{x}\right)' \)

La fonction inverse est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in \mathbb{R^*}, \enspace f(x) = \frac{1}{x} $$

Elle admet pour dérivée :

$$ \forall x \in \mathbb{R^*}, $$

$$ \left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2} $$


La fonction exponentielle : \((e^x)'\)

La fonction exponentielle est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, \enspace f(x) = e^x$$

Elle admet pour dérivée elle-même :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$

$$ (e^x)' = e^x$$


La fonction logarithme népérien : \(\bigl[ ln(x) \bigr]'\)

La fonction logarithme népérien est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in \mathbb{R_+^*}, \enspace f(x) = ln(x) $$

Elle admet pour dérivée :

$$ \forall x \in \mathbb{R_+^*}, $$

$$ \bigl[ ln(x) \bigr]' = \frac{1}{x} $$


La fonction logarithme en base n : \(log_n(x)'\)

La fonction logarithme en base \(n\) \((n \in \mathbb{R})\) est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in \mathbb{R_+^*}, \enspace f(x) = log_n(x) $$

Elle admet pour dérivée :

$$ \forall x \in \mathbb{R_+^*}, \enspace \forall n \in \mathbb{R^+}, $$

$$ \bigl[ log_n(x) \bigr] ' = \frac{1}{x.ln(n)} $$


Récapitulatif des dérivées des fonctions usuelles

Cliquez sur le titre ci-dessus pour accéder aux tableau récapitulatif.


Démonstrations


La fonction constante \( : (\lambda )' \)

Avec la définition de la dérivée, on a :

$$ (\lambda)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{\lambda - \lambda}{h} $$

$$ (\lambda)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{0}{h} $$


Soit,

$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$

$$ (\lambda)' = 0 $$

Ici, il n'y a pas de forme indéterminée "\( \frac{0}{0} \)" car seul le dénominateur a son terme qui tend vers \(0 \), le numérateur lui reste \(0 \) comme constante.

On a bien \( 0 \) qui est divisé par un nombre qui conceptuellement s'approche de \(0 \), ce qui reste bien égal à \(0 \).


La fonction affine \( : (ax + b )' \)

Avec la définition de la dérivée, on a :

$$ (ax+ b)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{a(x + h) + b - (ax + b)}{h} $$

$$ (ax+ b)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ax +ah +b -ax -b}{h} $$

$$ (ax+ b)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ah}{h} $$


Soit,

$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$

$$ (ax + b)' = a $$


La fonction carrée \( : (x^2 )' \)

Avec la définition de la dérivée, on a :

$$ (x^2)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{(x + h)^2 - x^2}{h} $$

$$ (x^2)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} $$

$$ (x^2)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{2xh + h^2}{h} $$

$$ (x^2)' = lim_{h \to 0 } \enspace 2x + h $$


Soit,

$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$

$$ (x^2)' = 2x $$


Les fonctions puissances de x \( : (x^n)' \)

  1. Dans l'ensemble des entiers naturels : \( \mathbb{N}\)

  2. Avec la définition de la dérivée, on a :

    $$ (x^n)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{(x + h)^n - x^n}{h} \qquad (1)$$

    Mais on sait par la formule du binôme de Newton que :

    $$\forall (p, n) \in \hspace{0.05em}\mathbb{N}^2, \enspace \forall (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2,$$

    $$ (a + b)^n = \sum_{p = 0}^n \binom{n}{p} a^{n-p}b^k $$

    Remplaçons \( (a + b) \) par \( (x + h) \) pour adapter à la formule \( (1) \) :

    $$ (x + h)^n = \sum_{p = 0}^n \binom{n}{p} a^{n-p}b^p$$

    $$ (x + h)^n = x^n + \binom{n}{1}x^{n - 1}h + \binom{n}{2}x^{n - 2}h^2 \enspace + ... + \enspace \binom{n}{n- 1}xh^{n - 1 } + h^{n} \qquad (2) $$

    En injectant \( (2) \) dans \( (1) \), on a :

    $$ (x^n)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{x^n + \binom{n}{1}x^{n - 1}h + \binom{n}{2}x^{n - 2}h^2 \enspace + ... + \enspace \binom{n}{n- 1}xh^{n - 1 } + h^{n} - x^n}{h} $$

    Les termes \( x^n \) s'annulent au numérateur :

    $$ (x^n)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{\binom{n}{1}x^{n - 1}h + \binom{n}{2}x^{n - 2}h^2 \enspace + ... + \enspace \binom{n}{n- 1}xh^{n - 1 } + h^{n}}{h} $$

    À présent, on peut factoriser par \( h \) :

    $$ (x^n)' = lim_{h \to 0 } \enspace \binom{n}{1}x^{n - 1} + \binom{n}{2}x^{n - 2}h \enspace + ... + \enspace \binom{n}{n- 1}xh^{n - 2 } + h^{n - 1} $$


    Lorsque l'on passe à la limite quand \( h \to 0 \), tous les termes avec \( h \) disparaissent :

    $$ (x^n)' = \binom{n}{1}x^{n - 1} $$


    Et finalement,

    $$ \forall x \in \mathbb{R^*}, \enspace \forall n \in \mathbb{N}, $$

    $$ (x^n)' = nx^{n - 1} $$


    Il est possible de montrer que cela fonctionne aussi pour tout \( n\in \mathbb{R}\), mais cette démonstration n'est pas encore rédigée.


Les fonctions puissances de n \( : (n^x)'\)

Avec la définition de la dérivée, on a :

$$ (n^x)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{n^{x + h} - n^x}{h} \qquad (3) $$

Nous nous retrouvons ici bloqué car nous ne pouvons pas directement éliminer \( h\).


Réécrivons alors l'expression \( (3) \) sous une autre forme.

On sait que \( n^x \) peut s'écrire :

$$ n^x = e^{ln(n^x)} $$

Il s'en suit que :

$$ (n^x)' = \left(e^{ln(n^x)}\right)' $$


On peut alors calculer cette dérivée par une dérivation en chaîne :

$$ (n^x)' = (ln(n^x))'. \left(e^{ln(n^x)} \right) $$

$$ (n^x)' = (x.ln(n))'. n^x $$

$$ (n^x)' = ln(n) . (x)' . n^x $$


Et finalement,

$$ \forall x \in \mathbb{R}, \enspace \forall n \in \mathbb{R_+^*}, $$

$$ (n^x)' = ln(n). n^x $$


La fonction racine carrée \( : (\sqrt{x})' \)

  1. Par la définition de la dérivée

  2. Avec la définition de la dérivée, on a :

    $$ \left(\sqrt{x} \right)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h} $$

    Pour arranger cette différence de racines, on multiplie par le numérateur :

    $$ \left(\sqrt{x} \right)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{(\sqrt{x + h} - \sqrt{x})(\sqrt{x + h} - \sqrt{x})}{h(\sqrt{x + h} - \sqrt{x})} $$

    $$ \left(\sqrt{x} \right)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{x + h - x}{h(\sqrt{x + h} - \sqrt{x})} $$

    $$ \left(\sqrt{x} \right)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{h}{h(\sqrt{x + h} - \sqrt{x})} $$

    On simplifie par \( h \) :

    $$ \left(\sqrt{x} \right)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{1}{1(\sqrt{x + h} - \sqrt{x})} $$


    Soit finalement,

    $$ \forall x \in \mathbb{R_+^*}, $$

    $$ \left(\sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$

  3. En considérant la racine carrée comme une puissance de x

  4. En considérant \( \sqrt{x} \) comme une puissance de \( x \), on a :

    $$ \sqrt{x} = x^{1 \over 2}$$

    À partir de celà, on utilise la dérivée de \( x^n\), on a :

    $$ \left(\sqrt{x} \right)' = (x^{1 \over 2})'$$

    $$ \left(\sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$$

    $$ \left(\sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}$$

    $$ \left(\sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2} \left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{-1} = \frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}$$


    Soit finalement,

    $$ \forall x \in \mathbb{R_+^*}, $$

    $$ \left(\sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$

    De même, on pourra calculer la dérivée de toute racine de \(n\), avec \(n \in \mathbb{Q}\).


  5. Exemples


    1. Calcul de \( \left(\sqrt[3]{x} \right)' \)
    2. $$ \left(\sqrt[3]{x} \right)' = \left(x^{\frac{1}{3}} \right)' $$

      $$ \left(\sqrt[3]{x} \right)' =\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} $$

      $$ \left(\sqrt[3]{x} \right)' =\frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} $$

      $$ \left(\sqrt[3]{x} \right)' = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2 }}$$

    3. Calcul de \( \left( x^{ \frac{5}{2} } \right)' \)
    4. $$ \left( x^{ \frac{5}{2} } \right)' =\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1} $$

      $$ \left( x^{ \frac{5}{2} } \right)' =\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2} } $$

      $$ \left( x^{ \frac{5}{2} } \right)' =\frac{5}{2} \sqrt{x^{3} } $$


La fonction inverse \( : \left(\frac{1}{x}\right)' \)

En considérant \( \frac{1}{x} \) comme une puissance de \( x \), on peut utiliser la dérivée de \( x^n\), et on a :

$$ \left(\frac{1}{x}\right)' = \left (x^{-1 }\right)' $$

$$ \left(\frac{1}{x}\right)' = -1.x^{-1 -1 } $$

$$ \left(\frac{1}{x}\right)' = -x^{-2 } $$


Soit finalement,

$$ \forall x \in \mathbb{R^*}, $$

$$ \left(\frac{1}{x}\right)' = - \frac{1}{x^2} $$


La fonction exponentielle \( : (e^x)'\)

Par définition, la fonction exponentielle est celle qui admet elle-même comme dérivée et \(f(0)=1\). Alors,

$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$

$$ (e^x)' = e^x$$


La fonction logarithme népérien \( : \bigl[ ln(x) \bigr]'\)

Avec la définition de la dérivée, on a :

$$ \bigl[ ln(x) \bigr]' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ ln(x + h) - ln(x)}{h} $$

Pour réécrire cette expression sous une nouvelle forme, utilisons la formule de la dérivée d'une fonction réciproque.

Soit la fonction \( g(x) = e^x \) et sa fonction réciproque de \( g^{-1}(x) = ln(x) \).

$$ (g^{-1})'(x) = \frac{1}{(g' \circ g^{-1})(x)} $$

$$ \bigl[ ln(x) \bigr]' = \frac{1}{(e^x \circ ln(x))(x)} $$

$$ \bigl[ ln(x) \bigr]' = \frac{1}{e^{ln(x)} } $$

Soit,

$$ \forall x \in \mathbb{R_+^*}, $$

$$ \bigl[ ln(x) \bigr]' = \frac{1}{x} $$


La fonction logarithme en base n \( : \bigl[ log_n(x) \bigr] '\)

Nous allons procéder comme pour le logarithme népérien car c'est la même logique.

Soit la fonction \( g(x) = n^x \) et sa fonction réciproque de \( g^{-1}(x) = log_n(x) \).

$$ (g^{-1})'(x) = \frac{1}{(g' \circ g^{-1})(x)} $$

$$ \bigl[ log_n(x) \bigr] ' = \frac{1}{(n^x \circ log_n(x))(x)} $$

$$\bigl[ log_n(x) \bigr] ' = \frac{1}{ln(n).n^{log_n(x)} } $$

Soit,

$$ \forall x \in \mathbb{R_+^*}, \enspace \forall n \in \mathbb{R^+}, $$

$$ \bigl[ log_n(x) \bigr] ' = \frac{1}{x.ln(n)} $$


On retrouve bien la cohérence avec la dérivée du logarithme népérien, dit aussi logarithme naturel.

$$ \bigl[ ln(x) \bigr]' = \bigl[ log_e(x) \bigr]' = \frac{1}{x.ln(e)} = \frac{1}{x} $$

En effet, c'est un cas particulier de la fonction \( log_n(x) \) en base \( e\).


Récapitulatif des dérivées des fonctions usuelles

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