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Les propriétés des fractions

Soit \((a, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2 \) deux nombres réels et \((b, d) \in \hspace{0.05em} (\mathbb{R}^*)^2 \) deux nombres réles non nuls.


Produit en croix

$$ \forall (a, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.05em} (\mathbb{R}^* )^2 $$

$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow ad = bc $$


Rapport entre les sommes des numérateurs et dénominateurs respectifs

$$ \forall (a, b, c,d) \in \hspace{0.05em} (\mathbb{R}^* )^4, \ \Bigl \{ (a+b),(c+d) \Bigr \} \ \neq 0,$$

$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow \frac{a + b}{a} = \frac{c+d}{c} \Longleftrightarrow \frac{a}{a + b} = \frac{c}{c + d} $$

$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d} \Longleftrightarrow \frac{b}{a + b} = \frac{d}{c + d} $$

Les mêmes relations sont possibles en remplaçant tous les \( (+) \) par des \( (-) \).


Rapport entre les sommes et les différences respectives

$$ \forall (a, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.05em} (\mathbb{R}^* )^2, \Bigl \{ (a-b), (c-d) \Bigr \} \ \neq 0, $$

$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow \frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d} $$


Addition des numérateurs et dénominateurs entre eux

$$ \forall (a, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.05em} (\mathbb{R}^*)^2, \enspace \ \Bigl \{ (b+d) \Bigr \} \ \neq 0, $$

$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d}$$


La même relation est possible en remplaçant le \( (+) \) par un \( (-) \).


  1. Généralisation
  2. De manière générale, avec une série de \(n \) numérateurs et de \(m \) dénominateurs :

    $$ \forall (a, c, e ...) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^n, \enspace (b, d, f...) \in \hspace{0.05em} (\mathbb{R}^*)^m, \enspace \ \Bigl \{ (b\pm d \pm f ...) \Bigr \} \ \neq 0, $$

    $$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \ ... \ = \frac{a\pm c \pm e \pm \ ...}{b\pm d \pm f \pm \ ...}$$


Démonstrations

Soit \((a, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2 \) deux nombres réels et \((b, d) \in \hspace{0.05em} (\mathbb{R}^*)^2 \) deux nombres réles non nuls.

Et soit l'hypothèse \((H)\) suivante :

$$ \forall (a, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.05em} (\mathbb{R}^*)^2, \hspace{1em} \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \qquad (H) $$


Produit en croix

On démarre de l'hypothèse \((H)\).

$$ \forall (a, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.05em} (\mathbb{R}^*)^2, \hspace{1em} \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \qquad (H) $$


On multiplie les deux membres par le même nombre \( bd \) :

$$ \frac{abd}{b} = \frac{cbd}{d} $$

$$ ad = cb $$


Soit finalement,

$$ \forall (a, c) \in \ \mathbb{R}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.05em} (\mathbb{R}^* )^2 $$

$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow ad = bc $$


Rapport entre les sommes des numérateurs et dénominateurs respectifs

On démarre de l'hypothèse \((H)\).

$$ \forall (a, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.05em} (\mathbb{R}^*)^2, \hspace{1em} \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \qquad (H) $$

Avec le résultat du produit en croix, on a :

$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow ad = bc $$

On ajoute le terme \( ac \) de part et d'autre de l'équation :

$$ ad + ac = bc + ac $$

On factorise.

$$ a(d+c) = (a+b)c $$

$$ \frac{a}{a + b} = \frac{c}{c + d} \qquad(1) $$

Et de même, en appliquant les inverses de chaque membre de \((1)\) :

$$ \frac{a + b}{a} = \frac{c+d}{c} \qquad(2) $$

À présent, les expressions \((1)\) et \((2)\) doivent supporter la condition d'existence supplémentaire suivante :

$$\Bigl \{ a, c, (a+b),(c+d) \Bigl \} \ \neq 0 $$


Soit finalement,

$$ \forall (a, b, c,d) \in \hspace{0.05em} (\mathbb{R}^* )^4, \ \Bigl \{ (a+b),(c+d) \Bigr \} \ \neq 0,$$

$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow \frac{a + b}{a} = \frac{c+d}{c} \Longleftrightarrow \frac{a}{a + b} = \frac{c}{c + d} $$


Par suite, en reproduisant le même processus en ajoutant respectivement le terme \( bd \), on obtient le résultat suivant :

$$ \forall (a, b, c,d) \in \hspace{0.05em} (\mathbb{R}^* )^4, \ \Bigl \{ (a+b),(c+d) \Bigr \} \ \neq 0,$$

$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d} \Longleftrightarrow \frac{b}{a + b} = \frac{d}{c + d} $$


Il est possible de trouver les mêmes expressions en remplaçant tous les \( (+) \) par des \( (-) \), non pas en ajoutant les termes mais en les retirant.

$$ \forall (a, b, c,d) \in \hspace{0.05em} (\mathbb{R}^* )^4, \ \Bigl \{ (a\textcolor{#A65757}{-}b),(c\textcolor{#A65757}{-}d) \Bigr \} \ \neq 0,$$

$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow \frac{a \textcolor{#A65757}{-} b}{a} = \frac{c\textcolor{#A65757}{-}d}{c} \Longleftrightarrow \frac{a}{a \textcolor{#A65757}{-} b} = \frac{c}{c \textcolor{#A65757}{-} d} $$


$$ \forall (a, b, c,d) \in \hspace{0.05em} (\mathbb{R}^* )^4, \ \Bigl \{ (a\textcolor{#A65757}{-}b),(c\textcolor{#A65757}{-}d) \Bigr \} \ \neq 0,$$

$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow \frac{a\textcolor{#A65757}{-}b}{b} = \frac{c\textcolor{#A65757}{-}d}{d} \Longleftrightarrow \frac{b}{a \textcolor{#A65757}{-} b} = \frac{d}{c \textcolor{#A65757}{-} d} $$


Rapport entre les sommes et les différences respectives

On démarre de l'hypothèse \((H)\).

$$ \forall (a, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.05em} (\mathbb{R}^*)^2, \hspace{1em} \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \qquad (H) $$

Avec le résultat du produit en croix :

$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow ad = bc $$

On ajoute le termes \( ac \) et \( (-bd) \) de part et d'autre de l'équation :

$$ ad + ac - bd = bc + ac -bd $$

Ensuite, comme par hypothèse \( ad = bc \), on peut ajouter \( (-bc) \) un d'un côté et ajouter \( (-ad) \) de l'autre.

$$ ad + ac - bd - bc = bc + ac -bd - ad $$

On factorise par \( a\) et par \( b\) :

$$ a(c+d) - b(c+d) = a(c-d) + b(c-d) $$

$$ (a-b)(c+d) = (a+b)(c-d) $$

$$ \frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d} \qquad(3) $$

Mais l'expression \((3)\) doit supporter la condition d'existence supplémentaire suivante :

$$\Bigl \{ (a-b), (c-d) \Bigl \} \ \neq 0 $$

De même générale, selon le facteur qui se retrouve au dénominateur, il va falloir lui ajouter la condition d'existence de ne pas s'annuler.


Soit finalement,

$$ \forall (a, c) \in \ \mathbb{R}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.05em} (\mathbb{R}^* )^2, \Bigl \{ (a-b), (c-d) \Bigr \} \ \neq 0, $$

$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow \frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d} $$


Addition des numérateurs et dénominateurs entre eux

On démarre de l'hypothèse \((H)\).

$$ \forall (a, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.05em} (\mathbb{R}^*)^2, \hspace{1em} \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \qquad (H) $$

Avec le résultat du produit en croix :

$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow ad = bc $$


On a ajoute \( cd \) à chaque membre de l'équation :

$$ ad + cd = bc + cd $$

$$ d(a + c) = c(b + d) $$

$$ \frac{a + c}{b + d} = \frac{c}{d} $$


Soit finalement :

$$ \forall (a, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.05em} (\mathbb{R}^*)^2, \enspace \ \Bigl \{ (b+d) \Bigr \} \ \neq 0, $$

$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d}$$


La même relation est possible en remplaçant le \( (+) \) par un \( (-) \), non pas en ajoutant le terme \( cd \) mais en le retirant.


  1. Généralisation

  2. De manière générale, avec une série de \(n \) numérateurs et de \(m \) dénominateurs :

    $$ \forall (a, c, e ...) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^n, \enspace (b, d, f...) \in \hspace{0.05em} (\mathbb{R}^*)^m, \enspace \ \Bigl \{ (b\pm d \pm f ...) \Bigr \} \ \neq 0, $$

    $$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \ ... \ = \frac{a\pm c \pm e \pm \ ...}{b\pm d \pm f \pm \ ...}$$

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