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Le théorème d'Al-Kashi (loi des cosinus)

Aussi appplé loi des cosinus, le théorème d'Al-Kashi est la généralisation du théorème de Pythagore pour tout triangle. Il s'exprime ainsi :


Dans le contexte d'un triangle quelconque \(\{a, b, c\}\), avec chaque angle \(\alpha, \beta, \gamma \) opposé à sa longueur correspondante, tel que :

$$ \left \{ \begin{gather*} \alpha \enspace opposé \enspace à \enspace a \\ \beta \enspace opposé \enspace à \enspace b \\ \gamma \enspace opposé \enspace à \enspace c \end{gather*} \right \} $$

et tel que la figure suivante :

Un triangle quelconque

On a les relations suivantes :

$$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc.cos(\alpha) \qquad (Al-Kashi) $$

$$ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac.cos(\beta) \qquad (Al-Kashi^*) $$

$$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab.cos(\gamma) \qquad (Al-Kashi^{**}) $$


Démonstration


  1. Cas d'un triangle aigu

  2. Pour le démontrer, nous avons projeté sur \( c \) la hauteur \( h_c \) pour obtenir la figure suivante :

    Projection d'une hauteur sur une des longueurs du triangle

    Dans le petit triangle \(\{a, h_c, m\}\), le théorème de Pythagore nous donne :

    $$ a^2 = m^2 + h_c^2 $$

    $$ a^2 = (c-n)^2 + h_c^2 $$

    $$ a^2 = c^2 - 2cn + n^2 + h_c^2 \qquad (1) $$


    Or, dans l'autre petit triangle \(\{b, h_c, n\}\),

    $$ n^2 + h_c^2 = b^2 \qquad (2) $$

    Et aussi,

    $$ cos(\alpha) = \frac{n}{b} \Longleftrightarrow n = b.cos(\alpha) \qquad (3) $$

    En injectant \((2)\) et \((3)\) dans \((1)\), on a :

    $$ a^2 = c^2 - 2cb.cos(\alpha) + b^2 $$


    Soit finalement,

    $$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc.cos(\alpha) \qquad (Al-Kashi) $$


    On retrouve alors les deux autres relations en répétant cette démonstration sur les deux longueurs restantes.

    $$ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac.cos(\beta) \qquad (Al-Kashi^*) $$

    $$ c^2 = a^2 + c^2 - 2ab.cos(\gamma) \qquad (Al-Kashi^{**}) $$


  3. Cas d'un triangle obtus

  4. Projection d'une hauteur sur une des longueurs du triangle

    De la même manière, dans le petit triangle \(\{a, h_c, m\}\), le théorème de Pythagore nous donne :

    $$ a^2 = m^2 + h_c^2 $$

    $$ a^2 = (n-b)^2 + h_c^2 $$

    $$ a^2 = n^2 - 2nb + b^2 + h_c^2 \qquad (4) $$

    Or, dans le grand triangle \(\{h_c, n, c\}\),

    $$ h_c^2 + n^2 = c^2 \qquad (5) $$

    Et aussi,

    $$ cos(\alpha) = \frac{n}{c} \Longleftrightarrow n = c.cos(\alpha) \qquad (6) $$

    En injectant \((5)\) et \((6)\) dans \((4)\), on a :

    $$ a^2 = b^2 + c^2 -2bc.cos(\alpha) $$


On retrouve lors bien la même expression que précédemment,

$$ a^2 = b^2 + c^2 -2bc.cos(\alpha) \qquad (Al-Kashi)$$


On retrouve alors les deux autres relations en répétant cette démonstration sur les deux longueurs restantes.

$$ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac.cos(\beta) \qquad (Al-Kashi^*) $$

$$ c^2 = a^2 + c^2 - 2ab.cos(\gamma) \qquad (Al-Kashi^{**}) $$

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