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Les propriétés du produit scalaire

Soient \( \vec{u}\) et \( \vec{v}\) deux vecteurs.

On note \(||\vec{u}|| \) et \(||\vec{v}|| \) les normes respectives des vecteurs \( \vec{u}\) et \( \vec{v}\), et \( (\vec{u} , \vec{v})\) l'angle formé par les deux vecteurs.


On appelle le produit scalaire \( \vec{u}.\vec{v} \), le nombre réel résultant de :

$$ \vec{u}.\vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times cos((\vec{u}, \vec{v})) $$

C'est la norme du projeté orthogonal du vecteur \( \vec{u}\) sur le vecteur \( \vec{v}\), multiplié par la norme du vecteur \( \vec{v}\).

Projeté orthogonal du vecteur u sur le vecteur v

Vecteurs orthogonaux

$$ \forall (\vec{u}, \vec{v}) \neq \vec{0},$$

$$ \vec{u} \ et \ \vec{v} \ orthogonaux \Longleftrightarrow \vec{u}. \vec{v} = 0 $$


Carré scalaire

$$ \forall \vec{u},$$

$$ \vec{u}.\vec{u} = (\vec{u})^2 = || \vec{u} ||^2 $$


Conservation des coefficients

$$ \forall (\lambda, \mu) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \ \forall (\vec{u}, \vec{v}),$$

$$ (\lambda \vec{u}).(\mu\vec{v}) = \lambda \mu \times \vec{u}. \vec{v}$$


Produit des coordonnées

$$ \forall \left [\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\z \end{pmatrix} , \vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\z' \end{pmatrix} \right], $$

$$ \vec{u}. \vec{v} = xx' + yy' +zz' $$


Commutativité

$$ \forall (\vec{u}, \vec{v}), $$

$$ \vec{u} . \vec{v} = \vec{v}. \vec{u} $$


Distributivité

$$ \forall (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}), $$

$$ \vec{u}.( \vec{v} + \vec{w}) = \vec{u}.\vec{v} + \vec{u}.\vec{w} $$


Identités remarquables

On a les mêmes formules que les identités remarquables.

$$ \forall (\vec{u}, \vec{v}), $$

$$ (\vec{u} + \vec{v})^2 = || \vec{u} ||^2 + 2 \vec{u}.\vec{v} + || \vec{v} ||^2 $$

$$ (\vec{u} - \vec{v})^2 = || \vec{u} ||^2 - 2 \vec{u}.\vec{v} + || \vec{v} ||^2 $$

$$ || \vec{u} ||^2 - || \vec{v} ||^2= (\vec{u} + \vec{v}) (\vec{u} - \vec{v}) $$


Expression en fonction des normes

$$ \forall (\vec{u}, \vec{v}), $$

$$ \vec{u}.\vec{v} =\frac{1}{2} \left( || \vec{u} + \vec{v} ||^2 - || \vec{u} ||^2 - || \vec{v} ||^2 \right ) $$

$$ \vec{u}.\vec{v} =\frac{1}{2} \left( || \vec{u} ||^2 + || \vec{v} ||^2 - || \vec{u} -\vec{v} ||^2 \right ) $$


Récapitulatif des formules des propriétés du produit scalaire

Cliquez sur le titre ci-dessus pour accéder aux tableau récapitulatif.


Démonstrations

Vecteurs orthogonaux

Soient \(\vec{u} \) et \(\vec{v} \) deux vecteurs orthogonaux différents du vecteur nul.

  1. Implication de gauche à droite

  2. Alors, par la définition du produit scalaire,

    $$ \vec{u}.\vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times cos((\vec{u}, \vec{v})) $$

    Mais si \(\vec{u} \) et \(\vec{v} \) sont orthogonaux, alors \(cos((\vec{u}, \vec{v})) = cos \left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \).


    Alors leur produit scalaire sera nul, et :

    $$ \forall (\vec{u}, \vec{v}) \neq \vec{0},$$

    $$ \vec{u} \ et \ \vec{v} \ orthogonaux \Longrightarrow \vec{u}. \vec{v} = 0 $$

  3. Réciproque

  4. Réciroquement, étant donné que par hypothèse nos deux vecteurs \(\vec{u} \) et \(\vec{v} \) sont différents du vecteur nul, alors :

    $$ \vec{u}. \vec{v} = 0 \Longrightarrow cos((\vec{u}, \vec{v})) = 0 $$

    Et,

    $$ cos((\vec{u}, \vec{v})) = 0 \Longrightarrow \Biggl\{ (\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\pi}{2} \ ou \ - \frac{\pi}{2} \Biggr \} $$

    Alors, les deux vecteurs \(\vec{u} \) et \(\vec{v} \) sont orthogonaux.

    $$\vec{u}. \vec{v} = 0 \Longrightarrow \vec{u} \ et \ \vec{v} \ orthogonaux $$

  5. Conclusion

  6. $$ \forall (\vec{u}, \vec{v}) \neq \vec{0},$$

    $$ \vec{u} \ et \ \vec{v} \ orthogonaux \Longleftrightarrow \vec{u}. \vec{v} = 0 $$


Carré scalaire

Soit un vecteur \(\vec{u} \).

Alors, par la définition du produit scalaire,

$$ \vec{u}.\vec{u} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{u}|| \times cos((\vec{u}, \vec{u})) $$

Mais \(cos((\vec{u}, \vec{u})) = cos \left(0\right) = 1 \).

Alors, il reste uniquement les normes des deux vecteurs.


Soit finalement :

$$ \forall \vec{u},$$

$$ \vec{u}.\vec{u} = (\vec{u})^2 = || \vec{u} ||^2 $$


Conservation des coefficients

Soient \((\lambda, \mu) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2\) deux réels et \(\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\z \end{pmatrix}, \ \vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\z' \end{pmatrix}\) deux vecteurs.

En effectuant le produit scalaire \( (\lambda\vec{u}).(\mu\vec{v})\), on a :

$$ (\lambda\vec{u}).(\mu\vec{v}) = || \lambda \vec{u} || \times || \mu \vec{v} || \times cos((\lambda \vec{u}, \mu \vec{v})) $$

La norme \( || \lambda \vec{u} || \) du vecteur \( \vec{\lambda u}\begin{pmatrix} \lambda x\\ \lambda y\\ \lambda z \end{pmatrix} \) vaut :

$$ || \lambda \vec{u} || = \sqrt{ (\lambda x)^2 + (\lambda y)^2 + (\lambda z)^2 }$$

$$ || \lambda \vec{u} || = \sqrt{ \lambda^2 (x^2 + y^2 + z^2) }$$

$$ || \lambda \vec{u} || = \lambda || \vec{u} ||$$

Idem pour \( || \mu \vec{v} || \).

$$ || \mu \vec{v} || = \mu || \vec{v} ||$$

Soit,

$$ (\lambda\vec{u}).(\mu\vec{v}) = \lambda || \vec{u} || \times \mu || \vec{v} || \times cos((\lambda \vec{u}, \mu \vec{v})) $$


Concernant l'angle \( (\lambda \vec{u}, \mu \vec{v}) \), il n'est pas différent de \( ( \vec{u}, \vec{v}) \), car \( ( \lambda \vec{u}) \) et \( ( \mu \vec{v}) \) ne sont que les prolongements respectifs des vecteurs \( \vec{u}\) et \( \vec{v} \).

$$ (\lambda\vec{u}).(\mu\vec{v}) = \lambda || \vec{u} || \times \mu || \vec{v} || \times cos((\vec{u},\vec{v})) $$


Soit finalement,

$$ \forall (\lambda, \mu) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \ \forall (\vec{u}, \vec{v}),$$

$$ (\lambda \vec{u}).(\mu\vec{v}) = \lambda \mu \times \vec{u}. \vec{v}$$


Produit des coordonnées

Soient \(\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\z \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\z' \end{pmatrix}\) deux vecteurs dans un repère orthonormé \( (O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\) et telle que la figure suivante :

Deux vecteurs u et v dans l'espace

Alors on peut exprimer \(\vec{u} \) et \(\vec{v} \) sous la forme suivante :

$$ \Biggl \{ \begin{align*} \vec{u} = x \vec{i} + y \vec{j} +z \vec{k} \\ \vec{v} = x' \vec{i} + y' \vec{j} +z' \vec{k} \end{align*} $$


Alors le produit scalaire \(\vec{u}.\vec{v} \) vaut :

$$ \vec{u}.\vec{v} = (x \vec{i} + y \vec{j} +z \vec{k}) . ( x' \vec{i} + y' \vec{j} +z' \vec{k}) $$

$$ \vec{u}.\vec{v} = xx'\vec{i}.\vec{i} + xy'\vec{i}.\vec{j} + xz'\vec{i}.\vec{k} + yx'\vec{j}.\vec{i} + yy''\vec{j}.\vec{j} + yz'\vec{j}.\vec{k} + zx'\vec{k}.\vec{i} + zy'\vec{k}.\vec{j} + zz'\vec{k}.\vec{k} $$

$$ \vec{u}.\vec{v} = xx' || \vec{i} ||^2 + yy''|| \vec{j} ||^2 + zz'|| \vec{k} ||^2 + xy'\vec{i}.\vec{j} + xz'\vec{i}.\vec{k} + yx'\vec{j}.\vec{i} + yz'\vec{j}.\vec{k} + zx'\vec{k}.\vec{i} + zy'\vec{k}.\vec{j} \qquad (1) $$

Les trois vecteurs \(\vec{i},\vec{j}, \vec{k} \) sont par hypothèse nos vecteurs unitaires, alors :

$$ || \vec{i} ||^2 = || \vec{j} ||^2 = || \vec{k} ||^2 = 1 $$

Par ailleurs, étant dans un repère orthonormaux, les trois vecteurs \(\vec{i},\vec{j}, \vec{k} \) sont orthogonaux, alors leur produit scalaire est nul :

$$ \vec{i}.\vec{j} = \vec{i}.\vec{k}= \vec{j}.\vec{k} = 0 $$

Et par commutativité du produit scalaire, on a aussi :

$$ \vec{j}.\vec{i} = \vec{k}.\vec{i}= \vec{k}.\vec{j} = 0 $$

Soit en réécrivant \((1) \),

$$ \vec{u}.\vec{v} = xx' + yy'' + zz' + \hspace{0.1em} \underbrace { xy'\vec{i}.\vec{j} + xz'\vec{i}.\vec{k} + yx'\vec{j}.\vec{i} + yz'\vec{j}.\vec{k} + zx'\vec{k}.\vec{i} + zy'\vec{k}.\vec{j} } _\text{ \(= \hspace{0.1em} 0\)} $$


Et finalement,

$$ \vec{u}. \vec{v} = xx' + yy' +zz' $$


Commutativité

Soient \(\vec{u} \) et \(\vec{v} \) deux vecteurs.

Pour les deux produits scalaires \( \vec{u}.\vec{v} \) et \( \vec{v}.\vec{u} \), on a :

$$ \Biggl \{ \begin{align*} \vec{u}.\vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times cos(\vec{u}, \vec{v}) \\ \vec{v}.\vec{u} = ||\vec{v}|| \times ||\vec{u}|| \times cos(\vec{v}, \vec{u}) \end{align*} $$

Si on appelle \(\alpha \) = \( (\vec{u}, \vec{v}) \), l'angle entre \( \vec{u} \) et \(\vec{v} \), alors :

$$ \Biggl \{ \begin{align*} cos(\alpha ) = cos((\vec{u}, \vec{v})) \\ cos( - \alpha ) = cos((\vec{v}, \vec{u})) \end{align*} $$

Or, la fonction cosinus est paire et : \( \forall \alpha \in \mathbb{R}, \ cos(\alpha ) = cos(-\alpha ) \).

Alors on en déduit que : \( cos((\vec{u}, \vec{v})) = cos((\vec{v}, \vec{u})) \).


Soit finalement,

$$ \vec{u}.\vec{v} =\vec{v}.\vec{u} $$


Distributivité

Soient \(\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\z \end{pmatrix}\), \(\vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\z' \end{pmatrix}\) et \(\vec{w}\begin{pmatrix} x''\\ y''\\z'' \end{pmatrix}\) trois vecteurs.

On exprime les vecteurs \(\vec{u} \), (\vec{v} \) et \(\vec{w} \) sous la forme suivante :

$$ \left \{ \begin{align*} \vec{u} = x \vec{i} + y \vec{j} +z \vec{k} \\ \vec{v} = x' \vec{i} + y' \vec{j} +z' \vec{k} \\ \vec{w} = x'' \vec{i} + y'' \vec{j} +z'' \vec{k} \end{align*} \right \} $$


Alors le produit scalaire \(\vec{u}.( \vec{v} + \vec{w}) \) vaut :

$$ \vec{u}.( \vec{v} + \vec{w}) = (x \vec{i} + y \vec{j} +z \vec{k}) . ( x' \vec{i} + y' \vec{j} +z' \vec{k} + x'' \vec{i} + y'' \vec{j} +z'' \vec{k}) $$

$$ \vec{u}.( \vec{v} + \vec{w}) = (x \vec{i} + y \vec{j} +z \vec{k}) . \Bigl( (x' + x'') \vec{i} + (y' + y'') \vec{j} + (z' + z'') \vec{k} \Bigr) $$

$$ \vec{u}.( \vec{v} + \vec{w}) = (x(x' + x'')) \vec{i}.\vec{i} + (x(y' + y'')) \vec{i}.\vec{j} + (x(z' + z'')) \vec{i}.\vec{k} + (y(x' + x'')) \vec{j}.\vec{i} + (y(y' + y'')) \vec{j}.\vec{j} + (y(z' + z'')) \vec{j}.\vec{k} + (z(x' + x'')) \vec{k}.\vec{i} + (z(y' + y'')) \vec{k}.\vec{j} + (z(z' + z'')) \vec{k}.\vec{k} $$

$$ \vec{u}.( \vec{v} + \vec{w}) = (x(x' + x'')) ||\vec{i}||^2 + (y(y' + y'')) ||\vec{j}||^2 + (z(z' + z'')) ||\vec{k}||^2 + (x(y' + y'')) \vec{i}.\vec{j} + (y(x' + x''))+ \vec{j}.\vec{i} + (y(z' + z'')) \vec{j}.\vec{k} + (z(x' + x'')) \vec{k}.\vec{i} + (z(y' + y'')) \vec{k}.\vec{j} + (x(z' + z'')) \vec{i}.\vec{k} \qquad(2) $$

Les trois vecteurs \(\vec{i},\vec{j}, \vec{k} \) sont par hypothèse nos vecteurs unitaires, alors :

$$ || \vec{i} ||^2 = || \vec{j} ||^2 = || \vec{k} ||^2 = 1 $$

Par ailleurs, étant dans un repère orthonormaux, les trois vecteurs \(\vec{i},\vec{j}, \vec{k} \) sont orthogonaux, alors leur produit scalaire est nul :

$$ \vec{i}.\vec{j} = \vec{i}.\vec{k}= \vec{j}.\vec{k} = 0 $$

Et par commutativité du produit scalaire, on a aussi :

$$ \vec{j}.\vec{i} = \vec{k}.\vec{i}= \vec{k}.\vec{j} = 0 $$

Soit en réécrivant \((2) \),

$$ \vec{u}.( \vec{v} + \vec{w}) = (x(x' + x'')) + (y(y' + y'')) + (z(z' + z'')) + \hspace{0.1em} \underbrace{ (x(y' + y'')) \vec{i}.\vec{j} + (y(x' + x''))+ \vec{j}.\vec{i} + (y(z' + z'')) \vec{j}.\vec{k} + (z(x' + x'')) \vec{k}.\vec{i} + (z(y' + y'')) \vec{k}.\vec{j} + (x(z' + z'')) \vec{i}.\vec{k} } _\text{ \(= \hspace{0.1em} 0\)} $$

$$ \vec{u}.( \vec{v} + \vec{w}) = (x(x' + x'')) + (y(y' + y'')) + (z(z' + z'')) $$

$$ \vec{u}.( \vec{v} + \vec{w}) = xx' + xx'' + yy' + yy'' + zz' + zz'' \qquad (3) $$


En réarrangent l'expression \( (3) \) :

$$ \vec{u}.( \vec{v} + \vec{w}) = xx' + yy' + zz' + xx'' + yy'' + zz'' $$

On reconnaît l'écriture de \( \vec{u}.\vec{v} \) et \( \vec{u}.\vec{w} \) sous la forme du Produit des coordonnées :

$$ \vec{u}.( \vec{v} + \vec{w}) = \hspace{0.1em} \underbrace { xx' + yy' + zz' } _\text{ \(= \hspace{0.1em} \vec{u}.\vec{v} \)} \hspace{0.1em} + \hspace{0.1em} \underbrace { xx'' + yy'' + zz'' } _\text{ \(= \hspace{0.1em} \vec{u}.\vec{w} \)} $$


Soit finalement,

$$ \forall (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}), $$

$$ \vec{u}.( \vec{v} + \vec{w}) = \vec{u}.\vec{v} + \vec{u}.\vec{w} $$


Identités remarquables

On a vu plus haut que le produit scalaire est distributif, c'est la propriété qui va être utilisée dans cette partie.


  1. Calcul de \( (\vec{u} + \vec{v})^2 \)
  2. $$ (\vec{u} + \vec{v})^2 = (\vec{u} + \vec{v}).(\vec{u} + \vec{v}) $$

    $$ (\vec{u} + \vec{v})^2 =\vec{u}. \vec{u} + \vec{u}.\vec{v} + \vec{u}.\vec{v} - \vec{v}. \vec{v} $$

    $$ (\vec{u} + \vec{v})^2 = || \vec{u} ||^2 + 2 \vec{u}.\vec{v} + || \vec{v} ||^2 $$

  3. Calcul de \( (\vec{u} - \vec{v})^2 \)
  4. C'est la même chose avec un signe \((-)\) dans le double produit.

    $$ (\vec{u} \textcolor{#A65757}{-} \vec{v})^2 = (\vec{u} \textcolor{#A65757}{-} \vec{v}).(\vec{u} \textcolor{#A65757}{-} \vec{v}) $$

    $$ (\vec{u} \textcolor{#A65757}{-} \vec{v})^2 =\vec{u}. \vec{u} \textcolor{#A65757}{-} \vec{u}.\vec{v} \textcolor{#A65757}{-} \vec{u}.\vec{v} - \vec{v}. \vec{v} $$

    $$ (\vec{u} \textcolor{#A65757}{-} \vec{v})^2 = || \vec{u} ||^2 \textcolor{#A65757}{-} 2 \vec{u}.\vec{v} + || \vec{v} ||^2 $$

  5. Calcul de \( (\vec{u} + \vec{v}). (\vec{u} - \vec{v}) \)
  6. $$ (\vec{u} + \vec{v}). (\vec{u} - \vec{v}) = \vec{u}. \vec{u} - \vec{u}. \vec{v} + \vec{v}. \vec{u} - \vec{v}. \vec{v} $$

    On a vu que le produit scalaire est commutatif, alors \( \vec{u}. \vec{v} = \vec{v}. \vec{u} \), et :

    $$ (\vec{u} + \vec{v}). (\vec{u} - \vec{v}) = || \vec{u} ||^2 \hspace{0.1em} \underbrace{ - \ \vec{u}. \vec{v} + \vec{u}. \vec{v} } _\text{ \(= \hspace{0.1em} 0 \)} \hspace{0.1em} - || \vec{v} ||^2$$

    $$ || \vec{u} ||^2 - || \vec{v} ||^2= (\vec{u} + \vec{v}) (\vec{u} - \vec{v}) $$

On obtient exactement les mêmes formules que les identités remarquables classiques.


Expression en fonction des normes

On a vu plus que :

$$ \Biggl \{ \begin{align*} (\vec{u} + \vec{v})^2 = || \vec{u} ||^2 + 2 \vec{u}.\vec{v} + || \vec{v} ||^2 \qquad (4) \\ (\vec{u} - \vec{v})^2 = || \vec{u} ||^2 - 2 \vec{u}.\vec{v} + || \vec{v} ||^2 \qquad (5) \end{align*} $$

En travaillant avec l'expression \( (4) \), on a :

$$ (\vec{u} + \vec{v})^2 = || \vec{u} ||^2 + 2 \vec{u}.\vec{v} + || \vec{v} ||^2 \qquad (4) $$

Mais grâce à la propriété des carrés scalaires, on sait que :

$$ \forall \vec{u}, \ (\vec{u})^2 = || \vec{u} ||^2 $$

Alors l'expression \( (4) \) devient :

$$ || \vec{u} + \vec{v} ||^2 = || \vec{u} ||^2 + 2 \vec{u}.\vec{v} + || \vec{v} ||^2$$

$$2 \vec{u}.\vec{v} = || \vec{u} + \vec{v} ||^2 - || \vec{u} ||^2 - || \vec{v} ||^2$$

Et finalement,

$$ \vec{u}.\vec{v} =\frac{1}{2} \left( || \vec{u} + \vec{v} ||^2 - || \vec{u} ||^2 - || \vec{v} ||^2 \right ) $$


De la même manière, avec l'expression \( (5) \), on a :

$$ (\vec{u} \textcolor{#A65757}{-} \vec{v})^2 = || \vec{u} ||^2 \textcolor{#A65757}{-} 2 \vec{u}.\vec{v} + || \vec{v} ||^2 $$

$$ ||\vec{u} - \vec{v}||^2 = || \vec{u} ||^2 - 2 \vec{u}.\vec{v} + || \vec{v} ||^2 $$

$$ 2 \vec{u}.\vec{v} = || \vec{u} ||^2 + || \vec{v} ||^2 - ||\vec{u} - \vec{v}||^2 $$

$$ \vec{u}.\vec{v} =\frac{1}{2} \left( || \vec{u} ||^2 + || \vec{v} ||^2 - || \vec{u} -\vec{v} ||^2 \right ) $$


Récapitulatif des formules des propriétés du produit scalaire

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