Le théorème de Pythagore nous dit que :
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres.
Prenons le cas d'un triangle rectangle \(\{a, b, c\}\), rectangle entre \( a\) et \( b\) tel que la figure suivante :
On a :
$$ a \perp b \Longrightarrow a^2 + b^2 = c^2 \qquad \bigl(Pythagore \enspace(th \textit{é} or \textit{è} me) \bigr) $$
Réciproque du théorème de Pythagore
Sa réciproque nous dit le contraire :
Dans un triangle \(\{a, b, c\}\), où \( c\) est le plus grand côté :
$$ a^2 + b^2 = c^2 \Longrightarrow a \perp b \qquad \bigl(Pythagore \enspace(réciproque) \bigr) $$
Équivalence du théorème de Pythagore
Les deux implications précédentes forment alors l'équivalence :
$$ a \perp b \Longleftrightarrow a^2 + b^2 = c^2 \qquad \bigl(Pythagore \enspace( \textit{é} quivalence) \bigr) $$
Pour prouver la véracité du thèorème, nous avons projeté la hauteur \( h_c\) sur l'hypoténuse \( c\).
On a les relations trigonométriques suivantes :
$$ cos(\beta) = \frac{a}{c} = \frac{m}{a} \qquad (1)$$ $$ cos(\alpha) =\frac{b}{c} = \frac{n}{b} \qquad (2)$$
Grâce aux expressions \((1)\) et \((2)\), on a :
$$ \Biggl \{ \begin{align*} a^2 = cm \qquad (3) \\ b^2 = cn \qquad \ (4) \end{align*} $$
Maintenant, en additionnant \((3) \) et \((4)\), on obtient :
$$ a^2 + b^2 = c.m + c.n$$
$$ a^2 + b^2 = c.(m + n) $$
Mais \( (m+n= c) \), soit finalement :
$$ a \perp b \Longrightarrow a^2 + b^2 = c^2 \qquad \bigl(Pythagore \enspace(th \textit{é} or \textit{è} me) \bigr) $$
Pour prouver à présent la réciproque du théorème, nous disposons d'un triangle, a priori rectangle, mais partons uniquement de l'hypothèse que :
$$ a^2 + b^2 = c^2 $$
Nous allons projeter la hauteur \( h_c \) qui coupe la longueur \( c \) à angle droit, en séparant l'angle \( \gamma \) en deux angles \( \gamma_a \) et \( \gamma_b \) :
Si \(\gamma\) est un angle droit, alors \(cos(\gamma) = 0\).
On sait par les formules d'addition trigonométriques que :
$$ \forall (\alpha, \beta) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, $$
$$ cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha) cos(\beta) - sin(\alpha) sin(\beta) $$
Soit dans notre cas,
$$ cos(\gamma) = cos(\gamma_a + \gamma_b) = cos(\gamma_a) cos(\gamma_b) - sin(\gamma_a) sin(\gamma_b) $$
$$ cos(\gamma) = \frac{h_c}{a} \frac{h_c}{b} - \frac{m}{a} \frac{n}{b} $$
$$ cos(\gamma) = \frac{h_c^2 - mn}{ab} \qquad (5) $$
Avec les équations suivantes que l'on peut remarquer sur la figure ci-dessus,
$$ \Biggl \{ \begin{align*} a^2 = m^2 + h_c^2 \\ b^2 = n^2 + h_c^2 \\ c^2 = (m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 \end{align*} $$
on voit que notre hypothèse :
$$ a^2 + b^2 = c^2 $$
devient :
$$ \underbrace{ m^2 + h_c^2 } _\text{\(a^2\)} \enspace + \enspace \underbrace{ n^2 + h_c^2} _\text{\(b^2\)} \enspace = \enspace \underbrace{ m^2 + 2mn + n^2 } _\text{\(c^2\)}$$
$$ 2h_c^2 + m^2 + n^2 = 2mn + m^2 + n^2 $$
$$ h_c^2 = mn $$
Et enfin,
$$ h_c^2 - mn = 0 \qquad (6) $$
En injectant \( (6) \) dans \( (5) \) on obtient :
$$ cos(\gamma) = 0 \Longleftrightarrow \Biggl \{ \gamma = \frac{\pi}{2} \ ou \ \gamma = -\frac{\pi}{2} \Biggr \} $$
On a bien montré que l'angle \( \gamma \) est un angle droit, et donc que le triangle \(\{a, b, c\}\) est rectangle entre \(a\) et \(b\).
$$ a^2 + b^2 = c^2 \Longrightarrow a \perp b \qquad \bigl(Pythagore \enspace(r \textit{é} ciproque) \bigr) $$
De la même manière, nous allons projeter la hauteur \( h_c \) qui coupe la longueur \( c \) à angle droit.
Nous savons que la surface d'un triangle répond à la formule suivante :
$$ S_{triangle} = \frac{base.hauteur}{2} $$
Dans notre cas, cela donnerait :
$$ S_{triangle} = \frac{c.h_c}{2} \qquad (7) $$
De plus, s'il existe un angle droit entre \( a \) et \( b \), alors \( a \) (tout comme \( b \)) sera une hauteur du triangle \(\{a, b, c\}\), alors on aura aussi :
$$ S_{triangle} = \frac{a.b}{2} \qquad (8) $$
Les deux surfaces du triangle \( (7) \) et \( (8) \) étant équivalentes, on obtiendra l'équivalence :
$$ \frac{c.h_c}{2} = \frac{a.b}{2} \Longleftrightarrow c.h_c = a.b $$
C'est que nous allons montrer.
Repartons de notre hypothèse de départ :
$$ a^2 + b^2 = c^2 $$
Soit,
$$ a^2 + b^2 = (m + n)^2 \qquad (9) $$
On sait grâce au théorème de Pythagore que dans le triangle interne \(\{a, m, h_c\}\), on a :
$$ a^2 = m^2 + h_c^2 $$
Soit que :
$$ m^2 = a^2 - h_c^2 $$
$$ m = \sqrt{ a^2 - h_c^2} \qquad (10) $$
De même, dans l'autre triangle interne, on a :
$$ n = \sqrt{ b^2 - h_c^2} \qquad (11) $$
En injectant \( (10) \) et \( (11) \) dans \( (9) \), on a :
$$ a^2 + b^2 = \left(\sqrt{ a^2 - h_c^2 } + \sqrt{ b^2 - h_c^2} \right)^2 $$
En distribuant l'égalité remarquable, on obtient :
$$ a^2 + b^2 = a^2 - h_c^2 + 2\sqrt{ (a^2 - h_c^2)( b^2 - h_c^2)} + b^2 - h_c^2 $$
Le membre \( (a^2 + b^2) \) est présent de chaque côté, on le retire :
$$ 0 = -2h_c^2 + 2\sqrt{ (a^2 - h_c^2)( b^2 - h_c^2)} $$
$$ 2h_c^2 = 2\sqrt{a^2b^2 -a^2h_c^2 - b^2h_c^2 + h_c^4} $$
$$ h_c^2 = \sqrt{a^2b^2 -a^2h_c^2 - b^2h_c^2 + h_c^4} $$
On applique un carré pour retirer la racine du membre de droite :
$$ \left(h_c^2 \right)^2 = \left(\sqrt{a^2b^2 -a^2h_c^2 - b^2h_c^2 + h_c^4}\right)^2 $$
$$ h_c^4 = a^2b^2 -a^2h_c^2 - b^2h_c^2 + h_c^4 $$
On peut retirer les \( h_c^4 \) présents de part et d'autre.
$$ a^2b^2 = a^2h_c^2 + b^2h_c^2 $$
On factorise :
$$ a^2b^2 = h_c^2 (a^2 + b^2) $$
Mais, nous avions comme hypothèse de départ que :
$$ a^2 + b^2 = c^2 $$
Alors :
$$ a^2 \ b^2 = h_c^2 \ c^2 $$
$$ \sqrt{a^2 \ b^2} = \sqrt{h_c^2 \ c^2 } $$
Et finalement,
$$ c \ h_c = a \ b $$
Cela prouve que \( a \) est bien une hauteur du triangle \(\{a, b, c\}\), et donc que ce triangle est rectangle entre \(a \) et \( b \).
$$ a^2 + b^2 = c^2 \Longrightarrow a \perp b \qquad \bigl(Pythagore \enspace(r \textit{é} ciproque) \bigr) $$
Deux implications forment une équivalence.
Alors, étant données les deux implications \((I_1)\) et \((I_2)\) :
$$ \Biggl \{ \begin{align*} a \perp b \Longrightarrow a^2 + b^2 = c^2 \qquad (I_1)\\ a^2 + b^2 = c^2 \Longrightarrow a \perp b \qquad (I_2) \end{align*} $$
On peut les rassembler dans une l'équivalence :
$$ a \perp b \Longleftrightarrow a^2 + b^2 = c^2 \qquad \bigl(Pythagore \enspace( \textit{é} quivalence) \bigr) $$
Le théorème de Pythagore nous permet de mesurer des distances à la fois dans un plan, mais aussi dans l'espace.
Nous disposons d'un plan \((\vec{x}, \ \vec{y}) \) dans lequel il existe deux points \( A(x_a, \ y_a )\) et \(B(x_b, \ y_b )\).
En joignant en abscisses \( x_a \) et \( x_b\), ainsi qu'en ordonnée \( y_b \) et \( y_a\), on obtient un troisième point \( C\), et par conséquent un triangle rectangle \(ABC \), rectangle en \(C \).
On peut alors y appliquer le théorème de Pythagore :
$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$
$$AB^2 = (x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 $$
$$AB = \sqrt{ (x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2} $$
Alors, la distance \( AB\) dans un espace à deux dimensions vaut :
$$\forall (A, B) \in \hspace{0.05em} (O, \vec{x}, \vec{y})^2, $$
$$AB = \sqrt{ (x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2} $$
On souhaite à présent calculer une longueur \(AB \) dans un espace à trois dimensions.
On a calculé précédemment que la longueur \(AC \), sur ce nouveau schéma, vaut :
$$AC = \sqrt{ (x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2} $$
Par suite, on réapplique le théorème de Pythagore dans le triangle \(ABC \) :
$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$
$$AB^2 = (x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 + (z_b - z_a)^2 $$
$$AB = \sqrt{(x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 + (z_b - z_a)^2 } $$
Alors, la distance \( AB\) dans un espace à trois dimensions vaut :
$$\forall (A, B) \in \hspace{0.05em} (O, \vec{x}, \vec{y}, \vec{z})^2, $$
$$AB =\sqrt{(x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 + (z_b - z_a)^2 }$$
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