French flag English flag
Index des cours

Le théorème de Pythagore et sa réciproque

Théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore nous dit que :

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres.


Prenons le cas d'un triangle rectangle \(\{a, b, c\}\), rectangle entre \( a\) et \( b\) tel que la figure suivante :

Un triangle rectangle

On a :

$$ a \perp b \Longrightarrow a^2 + b^2 = c^2 \qquad \bigl(Pythagore \enspace(th \textit{é} or \textit{è} me) \bigr) $$


Réciproque du théorème de Pythagore

Sa réciproque nous dit le contraire :

Dans un triangle \(\{a, b, c\}\), où \( c\) est le plus grand côté :

$$ a^2 + b^2 = c^2 \Longrightarrow a \perp b \qquad \bigl(Pythagore \enspace(réciproque) \bigr) $$


Équivalence du théorème de Pythagore

Les deux implications précédentes forment alors l'équivalence :

$$ a \perp b \Longleftrightarrow a^2 + b^2 = c^2 \qquad \bigl(Pythagore \enspace( \textit{é} quivalence) \bigr) $$


Démonstration

Théorème de Pythagore

Pour prouver la véracité du thèorème, nous avons projeté la hauteur \( h_c\) sur l'hypoténuse \( c\).

Projection de la hauteur sur l'hypoténuse

On a les relations trigonométriques suivantes :

$$ cos(\beta) = \frac{a}{c} = \frac{m}{a} \qquad (1)$$ $$ cos(\alpha) =\frac{b}{c} = \frac{n}{b} \qquad (2)$$


Grâce aux expressions \((1)\) et \((2)\), on a :

$$ \Biggl \{ \begin{align*} a^2 = cm \qquad (3) \\ b^2 = cn \qquad \ (4) \end{align*} $$


Maintenant, en additionnant \((3) \) et \((4)\), on obtient :

$$ a^2 + b^2 = c.m + c.n$$

$$ a^2 + b^2 = c.(m + n) $$


Mais \( (m+n= c) \), soit finalement :

$$ a \perp b \Longrightarrow a^2 + b^2 = c^2 \qquad \bigl(Pythagore \enspace(th \textit{é} or \textit{è} me) \bigr) $$


Réciproque du théorème de Pythagore

Pour prouver à présent la réciproque du théorème, nous disposons d'un triangle, a priori rectangle, mais partons uniquement de l'hypothèse que :

$$ a^2 + b^2 = c^2 $$

Un triangle a priori rectangle
  1. Par calcul de l'angle \(\gamma\), a priori droit

  2. Nous allons projeter la hauteur \( h_c \) qui coupe la longueur \( c \) à angle droit, en séparant l'angle \( \gamma \) en deux angles \( \gamma_a \) et \( \gamma_b \) :

    Réciproque du théorème de Pythagore - calcul de l'angle gamma

    Si \(\gamma\) est un angle droit, alors \(cos(\gamma) = 0\).

    On sait par les formules d'addition trigonométriques que :

    $$ \forall (\alpha, \beta) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, $$

    $$ cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha) cos(\beta) - sin(\alpha) sin(\beta) $$

    Soit dans notre cas,

    $$ cos(\gamma) = cos(\gamma_a + \gamma_b) = cos(\gamma_a) cos(\gamma_b) - sin(\gamma_a) sin(\gamma_b) $$

    $$ cos(\gamma) = \frac{h_c}{a} \frac{h_c}{b} - \frac{m}{a} \frac{n}{b} $$

    $$ cos(\gamma) = \frac{h_c^2 - mn}{ab} \qquad (5) $$

    Avec les équations suivantes que l'on peut remarquer sur la figure ci-dessus,

    $$ \Biggl \{ \begin{align*} a^2 = m^2 + h_c^2 \\ b^2 = n^2 + h_c^2 \\ c^2 = (m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 \end{align*} $$

    on voit que notre hypothèse :

    $$ a^2 + b^2 = c^2 $$

    devient :

    $$ \underbrace{ m^2 + h_c^2 } _\text{\(a^2\)} \enspace + \enspace \underbrace{ n^2 + h_c^2} _\text{\(b^2\)} \enspace = \enspace \underbrace{ m^2 + 2mn + n^2 } _\text{\(c^2\)}$$

    $$ 2h_c^2 + m^2 + n^2 = 2mn + m^2 + n^2 $$

    $$ h_c^2 = mn $$

    Et enfin,

    $$ h_c^2 - mn = 0 \qquad (6) $$


    En injectant \( (6) \) dans \( (5) \) on obtient :

    $$ cos(\gamma) = 0 \Longleftrightarrow \Biggl \{ \gamma = \frac{\pi}{2} \ ou \ \gamma = -\frac{\pi}{2} \Biggr \} $$

    On a bien montré que l'angle \( \gamma \) est un angle droit, et donc que le triangle \(\{a, b, c\}\) est rectangle entre \(a\) et \(b\).

    $$ a^2 + b^2 = c^2 \Longrightarrow a \perp b \qquad \bigl(Pythagore \enspace(r \textit{é} ciproque) \bigr) $$

  3. Par comparaison des aires

  4. De la même manière, nous allons projeter la hauteur \( h_c \) qui coupe la longueur \( c \) à angle droit.

    Réciproque du théorème de Pythagore - comparaison des aires

    Nous savons que la surface d'un triangle répond à la formule suivante :

    $$ S_{triangle} = \frac{base.hauteur}{2} $$

    Dans notre cas, cela donnerait :

    $$ S_{triangle} = \frac{c.h_c}{2} \qquad (7) $$

    De plus, s'il existe un angle droit entre \( a \) et \( b \), alors \( a \) (tout comme \( b \)) sera une hauteur du triangle \(\{a, b, c\}\), alors on aura aussi :

    $$ S_{triangle} = \frac{a.b}{2} \qquad (8) $$

    Les deux surfaces du triangle \( (7) \) et \( (8) \) étant équivalentes, on obtiendra l'équivalence :

    $$ \frac{c.h_c}{2} = \frac{a.b}{2} \Longleftrightarrow c.h_c = a.b $$

    C'est que nous allons montrer.


    Repartons de notre hypothèse de départ :

    $$ a^2 + b^2 = c^2 $$

    Soit,

    $$ a^2 + b^2 = (m + n)^2 \qquad (9) $$

    On sait grâce au théorème de Pythagore que dans le triangle interne \(\{a, m, h_c\}\), on a :

    $$ a^2 = m^2 + h_c^2 $$

    Soit que :

    $$ m^2 = a^2 - h_c^2 $$

    $$ m = \sqrt{ a^2 - h_c^2} \qquad (10) $$


    De même, dans l'autre triangle interne, on a :

    $$ n = \sqrt{ b^2 - h_c^2} \qquad (11) $$

    En injectant \( (10) \) et \( (11) \) dans \( (9) \), on a :

    $$ a^2 + b^2 = \left(\sqrt{ a^2 - h_c^2 } + \sqrt{ b^2 - h_c^2} \right)^2 $$

    En distribuant l'égalité remarquable, on obtient :

    $$ a^2 + b^2 = a^2 - h_c^2 + 2\sqrt{ (a^2 - h_c^2)( b^2 - h_c^2)} + b^2 - h_c^2 $$

    Le membre \( (a^2 + b^2) \) est présent de chaque côté, on le retire :

    $$ 0 = -2h_c^2 + 2\sqrt{ (a^2 - h_c^2)( b^2 - h_c^2)} $$

    $$ 2h_c^2 = 2\sqrt{a^2b^2 -a^2h_c^2 - b^2h_c^2 + h_c^4} $$

    $$ h_c^2 = \sqrt{a^2b^2 -a^2h_c^2 - b^2h_c^2 + h_c^4} $$

    On applique un carré pour retirer la racine du membre de droite :

    $$ \left(h_c^2 \right)^2 = \left(\sqrt{a^2b^2 -a^2h_c^2 - b^2h_c^2 + h_c^4}\right)^2 $$

    $$ h_c^4 = a^2b^2 -a^2h_c^2 - b^2h_c^2 + h_c^4 $$

    On peut retirer les \( h_c^4 \) présents de part et d'autre.

    $$ a^2b^2 = a^2h_c^2 + b^2h_c^2 $$

    On factorise :

    $$ a^2b^2 = h_c^2 (a^2 + b^2) $$

    Mais, nous avions comme hypothèse de départ que :

    $$ a^2 + b^2 = c^2 $$

    Alors :

    $$ a^2 \ b^2 = h_c^2 \ c^2 $$

    $$ \sqrt{a^2 \ b^2} = \sqrt{h_c^2 \ c^2 } $$

    Et finalement,

    $$ c \ h_c = a \ b $$

    Cela prouve que \( a \) est bien une hauteur du triangle \(\{a, b, c\}\), et donc que ce triangle est rectangle entre \(a \) et \( b \).

    $$ a^2 + b^2 = c^2 \Longrightarrow a \perp b \qquad \bigl(Pythagore \enspace(r \textit{é} ciproque) \bigr) $$


Équivalence du théorème de Pythagore

Deux implications forment une équivalence.

Alors, étant données les deux implications \((I_1)\) et \((I_2)\) :

$$ \Biggl \{ \begin{align*} a \perp b \Longrightarrow a^2 + b^2 = c^2 \qquad (I_1)\\ a^2 + b^2 = c^2 \Longrightarrow a \perp b \qquad (I_2) \end{align*} $$

On peut les rassembler dans une l'équivalence :

$$ a \perp b \Longleftrightarrow a^2 + b^2 = c^2 \qquad \bigl(Pythagore \enspace( \textit{é} quivalence) \bigr) $$


Exemple

Le théorème de Pythagore nous permet de mesurer des distances à la fois dans un plan, mais aussi dans l'espace.


  1. Calculer une longueur dans le plan

  2. Nous disposons d'un plan \((\vec{x}, \ \vec{y}) \) dans lequel il existe deux points \( A(x_a, \ y_a )\) et \(B(x_b, \ y_b )\).

    Application du théorème de Pythagore - calculer une longueur dans le plan - 1

    En joignant en abscisses \( x_a \) et \( x_b\), ainsi qu'en ordonnée \( y_b \) et \( y_a\), on obtient un troisième point \( C\), et par conséquent un triangle rectangle \(ABC \), rectangle en \(C \).

    Application du théorème de Pythagore - calculer une longueur dans le plan - 2

    On peut alors y appliquer le théorème de Pythagore :

    $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$

    $$AB^2 = (x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 $$

    $$AB = \sqrt{ (x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2} $$

    Alors, la distance \( AB\) dans un espace à deux dimensions vaut :

    $$\forall (A, B) \in \hspace{0.05em} (O, \vec{x}, \vec{y})^2, $$

    $$AB = \sqrt{ (x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2} $$

  3. Calculer une longueur dans l'espace

  4. On souhaite à présent calculer une longueur \(AB \) dans un espace à trois dimensions.

    Application du théorème de Pythagore - calculer une longueur dans l'espace

    On a calculé précédemment que la longueur \(AC \), sur ce nouveau schéma, vaut :

    $$AC = \sqrt{ (x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2} $$

    Application du théorème de Pythagore - calculer une longueur dans l'espace - 2

    Par suite, on réapplique le théorème de Pythagore dans le triangle \(ABC \) :

    $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$

    $$AB^2 = (x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 + (z_b - z_a)^2 $$

    $$AB = \sqrt{(x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 + (z_b - z_a)^2 } $$

    Alors, la distance \( AB\) dans un espace à trois dimensions vaut :

    $$\forall (A, B) \in \hspace{0.05em} (O, \vec{x}, \vec{y}, \vec{z})^2, $$

    $$AB =\sqrt{(x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 + (z_b - z_a)^2 }$$

Index des cours
Retour en haut de page