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Le théorème de Bézout et son corollaire

Théorème de Bézout

Le théorème de Bézout nous dit que :

$$ \forall (a, b) \in \hspace{0.05em}\mathbb{Z}^2, $$

$$ a \wedge b = 1 \Longleftrightarrow \exists (u, v) \in \hspace{0.05em}\mathbb{Z}^2, \enspace au + bv = 1 \qquad (Bézout) $$


Corolllaire du théorème de Bézout

Le corollaire du théorème de Gauss nous dit que :

$$ \forall (a, b, c) \in \hspace{0.05em}\mathbb{Z}^3, $$

$$ a \wedge bc = 1 \hspace{0.2em} \Longleftrightarrow \hspace{0.2em} \Biggl \{ \begin{align*} a \wedge b = 1 \\ a \wedge c = 1 \end{align*} \qquad \bigl(Bézout \enspace (corollaire)\bigr) $$


Démonstration

Théorème de Bézout

Soient \((a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{Z}^2 \) deux entiers relatifs.


  1. Implication de gauche à droite

  2. Prenons pour hypothèse que \(a \) et \(b \) sont premiers entre eux.

    Autrement dit que,

    $$a \wedge b = 1 \Longleftrightarrow PGCD(a , b) = 1 $$

    On sait par l'identité de Bézout que :

    $$ \forall (a, b) \in \hspace{0.05em}\mathbb{N}^2, \enspace a > b, $$

    $$ \delta = a \wedge b \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} \exists (u, v) \in \hspace{0.05em}\mathbb{Z}^2, \enspace au + bv = \delta $$

    Étant donné que nous avons comme hypothèse que \( a \wedge b = 1\), alors :

    $$ \forall (a, b) \in\hspace{0.1em}\mathbb{Z}^2, $$

    $$ a \wedge b = 1 \Longrightarrow \exists (u, v) \in \hspace{0.05em}\mathbb{Z}^2, \enspace au + bv = 1 $$


  3. Réciproque

  4. Réciproquement, prenons maintenant l'hypothèse que :

    $$\exists (u, v) \in\hspace{0.1em}\mathbb{Z}^2, \enspace au + bv = 1 $$

    Considérons un diviseur \( d \) commun à \( a \) et à \( b\).

    On sait par les propriétés de la divisibilité que :

    $$ \forall a \in (\mathbb{Z}^*), \enspace \forall (b , c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{Z}^2, \enspace \exists (u , v) \in\hspace{0.1em}\mathbb{Z}^2, $$

    $$ a/b \enspace et \enspace a/c \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a/(ub + vc) $$

    \( d \) étant un diviseur commun à \( a \) et à \( b\), il divise \( a \), \( b \) ainsi que toute combinaison linéaire de \( a \) et de \( b \).

    $$ d/a \enspace et \enspace d/b \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} d/(au + bv) $$

    Or, \(au + bv = 1\), donc \( d / 1\).

    Le seul nombre qui divise \( 1\) est lui-même, alors \( d = 1\).

    C'est le seul diviseur commun à \( a \) et à \( b\), alors \( a \wedge b = 1 \).

    $$ a \wedge b = 1 $$

    Soit,

    $$ \forall (a, b) \in\hspace{0.1em}\mathbb{Z}^2, $$

    $$ \exists (u, v) \in\hspace{0.1em}\mathbb{Z}^2, \enspace au + bv = 1 \Longrightarrow a \wedge b = 1 $$


  5. Équivalence

  6. À partir des deux implications précédentes, il en résulte une équivalence,

    $$ \forall (a, b) \in \hspace{0.05em}\mathbb{Z}^2, $$

    $$ a \wedge b = 1 \Longleftrightarrow \exists (u, v) \in \hspace{0.05em}\mathbb{Z}^2, \enspace au + bv = 1 \qquad (Bézout) $$


Corolllaire du théorème de Bézout

Soient \((a, b, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{Z}^3 \) trois entiers relatifs.


  1. Implication de gauche à droite

  2. Si \(a \wedge bc = 1 \), alors avec le théorème de Bézout, on a :

    $$ a \wedge bc = 1 \Longleftrightarrow \exists (u, v) \in \hspace{0.05em}\mathbb{Z}^2, \enspace au + bcv = 1 $$

    Et dans ce cas :

    $$ au + b V = 1 \Longleftrightarrow a \wedge b = 1 , \enspace avec \enspace \Biggl \{ \begin{align*} u \\ V = cv \end{align*} $$

    $$ au + c V' = 1 \Longleftrightarrow a \wedge c = 1 , \enspace avec \enspace \Biggl \{ \begin{align*} u \\ V' = bv \end{align*}$$

    Et finalement,

    $$ \forall (a, b, c) \in \hspace{0.1em}\mathbb{Z}^3, $$

    $$ a \wedge bc = 1 \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} \Biggl \{ \begin{align*} a \wedge b = 1 \\ a \wedge c = 1 \end{align*} $$


  3. Réciproque

  4. Si on a : \( \Biggl \{ \begin{align*} a \wedge b = 1 \\ a \wedge c = 1 \end{align*}\)

    Alors, toujours avec le théorème de Bézout,

    $$ \Biggl \{ \begin{align*} au + bv = 1 \hspace{2.8em} (1) \\ au' + cv' = 1 \qquad (2) \end{align*} $$

    En effectuant le produit \((1) \times (2) \), on a :

    $$ (au + bv)(au' + cv') = 1 $$

    $$ auau' + aucv' + bvau' + bv cv' = 1 $$

    $$ a \hspace{0.1em} \underbrace { (uau' + ucv' + bvu')} _\text{ \(= \hspace{0.1em} U \)} \hspace{0.1em} + \hspace{0.1em} bc \hspace{0.1em} \underbrace { (vv') } _\text{ \(= \hspace{0.1em} V \)} \hspace{0.1em} = 1 $$

    $$ a U + bcV = 1 \Longleftrightarrow a \wedge bc = 1 , \enspace avec \enspace \Biggl \{ \begin{align*} U = uau' + ucv' + bvu'\\ V = vv' \end{align*} $$

    Soit,

    $$ \forall (a, b, c) \in \hspace{0.1em}\mathbb{Z}^3, $$

    $$ \Biggl \{ \begin{align*} a \wedge b = 1 \\ a \wedge c = 1 \end{align*} \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a \wedge bc = 1 $$


  5. Équivalence

  6. À partir des deux implications précédentes, il en résulte une équivalence,

    $$ \forall (a, b, c) \in \hspace{0.05em}\mathbb{Z}^3, $$

    $$ a \wedge bc = 1 \hspace{0.2em} \Longleftrightarrow \hspace{0.2em} \Biggl \{ \begin{align*} a \wedge b = 1 \\ a \wedge c = 1 \end{align*} \qquad \bigl(Bézout \enspace (corollaire)\bigr) $$

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