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Les propriétés de la divisibilité

Simplification

$$ \forall (a, k) \in (\mathbb{Z}^*)^2, \enspace \forall b \in \mathbb{Z}, $$

$$ ka/kb \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a/b $$


Transitivité

$$ \forall (a, b) \in (\mathbb{Z}^*)^2, \enspace \forall c \in \mathbb{Z}, $$

$$ a/b \enspace et \enspace b/c \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a/c $$


Addition des dividendes

$$ \forall a \in (\mathbb{Z}^*), \enspace \forall (b , c) \in \hspace{0.05em}\mathbb{Z}^2, $$

$$ a/b \enspace et \enspace a/c \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a/(b + c) $$


Combinaison linéaire des dividendes

$$ \forall a \in (\mathbb{Z}^*), \enspace \forall (b , c) \in \hspace{0.05em}\mathbb{Z}^2, \enspace \exists (u , v) \in \hspace{0.05em}\mathbb{Z}^2, $$

$$ a/b \enspace et \enspace a/c \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a/(ub + vc) $$


Démonstrations


Simplification

Soit \((a, k) \in (\mathbb{Z}^*)^2 \) deux entiers relatifs non nuls, \(b \in \mathbb{Z} \) un entier relatif.

Si \( ka / kb \), alors :

$$ kb = kak' \Longleftrightarrow b = ak'$$

Alors, \(b / a \).

$$ \forall (a, k) \in (\mathbb{Z}^*)^2, \enspace \forall b \in \mathbb{Z}, $$

$$ ka/kb \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a/b $$


Transitivité

Soit \((a, b) \in (\mathbb{Z}^*)^2 \) deux entiers relatifs non nuls, \(c \in \mathbb{Z} \) un entier relatif.

Si \( a/b \) et \( b/c \), alors :

$$ \exists (k, k') \in \mathbb{Z}, \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} b = ka \\ c = k'b \end{gather*} $$

Soit,

$$ c = \hspace{0.2em} \underbrace{kk'} _\text{ \( \in \mathbb{Z} \)} a $$

Donc \( a/c \). On a bien :

$$ \forall (a, b) \in (\mathbb{Z}^*)^2, \enspace \forall c \in \mathbb{Z}, $$

$$ a/b \enspace et \enspace b/c \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a/c $$


Addition des dividendes

Soit \(a \in \mathbb{Z^*} \) un entier relatif non nul, \((b , c) \in \hspace{0.05em}\mathbb{Z}^2 \) deux entiers relatifs.

Si \( a/b \) et \( a/c \), alors :

$$ \exists (k, k') \in \mathbb{Z}, \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} b = ka \\ c = k'a \end{gather*}$$

Soit,

$$ b + c = \hspace{0.2em} \underbrace{(k +k')} _\text{ \( \in \hspace{0.05em} \mathbb{Z} \)} a $$

Donc \( a/(b + c) \). On a bien :

$$ \forall a \in (\mathbb{Z}^*), \enspace \forall (b , c) \in \hspace{0.05em}\mathbb{Z}^2, $$

$$ a/b \enspace et \enspace a/c \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a/(b + c) $$

On aura alors aussi, par extension :

$$ a/b \enspace et \enspace a/c \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a/(b - c) $$


Combinaison linéaire des dividendes

Soit \(a \in \mathbb{Z^*} \) un entier relatif non nul, \((b , c) \in \hspace{0.05em}\mathbb{Z}^2 \) deux entiers relatifs.

Si \( a/b \) et \( a/c \), alors :

$$ \exists (k, k') \in \mathbb{Z}, \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} b = ka \\ c = k'a \end{gather*}$$

Par ailleurs,

$$ \exists (u, v) \in \mathbb{Z}, \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} ub = uka \\ vc = vk'a \end{gather*}$$

Soit,

$$ ub + vc = \hspace{0.2em} \underbrace{(uk + vk')} _\text{ \( \in \hspace{0.05em} \mathbb{Z} \)} a $$

Donc \( a/(ub + vc) \). On a bien :

$$ \forall a \in (\mathbb{Z}^*), \enspace \forall (b , c) \in \hspace{0.05em}\mathbb{Z}^2, \enspace \exists (u , v) \in \hspace{0.05em}\mathbb{Z}^2, $$

$$ a/b \enspace et \enspace a/c \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a/(ub + vc) $$

On dira que \( a \) divise toutes les combinaisons linéaires de \( b \) et de \( c \).

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