$$ \forall (a, k) \in (\mathbb{Z}^*)^2, \enspace \forall b \in \mathbb{Z}, $$
$$ ka/kb \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a/b $$
$$ \forall (a, b) \in (\mathbb{Z}^*)^2, \enspace \forall c \in \mathbb{Z}, $$
$$ a/b \enspace et \enspace b/c \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a/c $$
$$ \forall a \in (\mathbb{Z}^*), \enspace \forall (b , c) \in \hspace{0.05em}\mathbb{Z}^2, $$
$$ a/b \enspace et \enspace a/c \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a/(b + c) $$
Combinaison linéaire des dividendes
$$ \forall a \in (\mathbb{Z}^*), \enspace \forall (b , c) \in \hspace{0.05em}\mathbb{Z}^2, \enspace \exists (u , v) \in \hspace{0.05em}\mathbb{Z}^2, $$
$$ a/b \enspace et \enspace a/c \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a/(ub + vc) $$
Soit \((a, k) \in (\mathbb{Z}^*)^2 \) deux entiers relatifs non nuls, \(b \in \mathbb{Z} \) un entier relatif.
Si \( ka / kb \), alors :
$$ kb = kak' \Longleftrightarrow b = ak'$$
Alors, \(b / a \).
$$ \forall (a, k) \in (\mathbb{Z}^*)^2, \enspace \forall b \in \mathbb{Z}, $$
$$ ka/kb \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a/b $$
Soit \((a, b) \in (\mathbb{Z}^*)^2 \) deux entiers relatifs non nuls, \(c \in \mathbb{Z} \) un entier relatif.
Si \( a/b \) et \( b/c \), alors :
$$ \exists (k, k') \in \mathbb{Z}, \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} b = ka \\ c = k'b \end{gather*} $$
Soit,
$$ c = \hspace{0.2em} \underbrace{kk'} _\text{ \( \in \mathbb{Z} \)} a $$
Donc \( a/c \). On a bien :
$$ \forall (a, b) \in (\mathbb{Z}^*)^2, \enspace \forall c \in \mathbb{Z}, $$
$$ a/b \enspace et \enspace b/c \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a/c $$
Soit \(a \in \mathbb{Z^*} \) un entier relatif non nul, \((b , c) \in \hspace{0.05em}\mathbb{Z}^2 \) deux entiers relatifs.
Si \( a/b \) et \( a/c \), alors :
$$ \exists (k, k') \in \mathbb{Z}, \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} b = ka \\ c = k'a \end{gather*}$$
Soit,
$$ b + c = \hspace{0.2em} \underbrace{(k +k')} _\text{ \( \in \hspace{0.05em} \mathbb{Z} \)} a $$
Donc \( a/(b + c) \). On a bien :
$$ \forall a \in (\mathbb{Z}^*), \enspace \forall (b , c) \in \hspace{0.05em}\mathbb{Z}^2, $$
$$ a/b \enspace et \enspace a/c \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a/(b + c) $$
On aura alors aussi, par extension :
$$ a/b \enspace et \enspace a/c \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a/(b - c) $$
Soit \(a \in \mathbb{Z^*} \) un entier relatif non nul, \((b , c) \in \hspace{0.05em}\mathbb{Z}^2 \) deux entiers relatifs.
Si \( a/b \) et \( a/c \), alors :
$$ \exists (k, k') \in \mathbb{Z}, \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} b = ka \\ c = k'a \end{gather*}$$
Par ailleurs,
$$ \exists (u, v) \in \mathbb{Z}, \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} ub = uka \\ vc = vk'a \end{gather*}$$
Soit,
$$ ub + vc = \hspace{0.2em} \underbrace{(uk + vk')} _\text{ \( \in \hspace{0.05em} \mathbb{Z} \)} a $$
Donc \( a/(ub + vc) \). On a bien :
$$ \forall a \in (\mathbb{Z}^*), \enspace \forall (b , c) \in \hspace{0.05em}\mathbb{Z}^2, \enspace \exists (u , v) \in \hspace{0.05em}\mathbb{Z}^2, $$
$$ a/b \enspace et \enspace a/c \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a/(ub + vc) $$
On dira que \( a \) divise toutes les combinaisons linéaires de \( b \) et de \( c \).
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