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La résolution d'équations du second degré

Une équation du second degré est de la forme :

$$ \forall a \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, \enspace \forall (b, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \enspace \forall X \in \mathbb{R}, $$

$$ P_2(X) = aX^2 + bX + c = 0 \qquad (1) $$


Résolution par la recherche de racines et factorisation

Les solutions pour \( X \) lesquelles \( P_2(X) = 0 \) sont appelées les racines du polynômes.

Elles permettent d'obtenir une forme factorisée.

Trois cas sont à envisager après calcul du déterminant :

$$ \Delta = b^2 - 4ac \qquad (\Delta) $$


Lien entre coefficients et racines

Par ailleurs, on aura aussi dans le cas général ces deux relations entre les racines :

$$ X_1 + X_2 =- \frac{b}{a} $$

$$ X_1 X_2 = \frac{c}{a} $$


Démonstration

Résolution par la recherche de racines et factorisation

On démarre de l'équation \( (1) \) :

$$ aX^2 + bX + c = 0 \qquad (1) $$

On factorise par \( a \) :

$$ a \left[ X^2 + \frac{b}{a}X + \frac{c}{a} \right] = 0 \qquad (2) $$

Or, on remarque que :

$$ \left(X + \frac{b}{2a}\right)^2 = X^2 + \frac{b}{a}X + \frac{b^2}{4a^2} $$

Soit que :

$$ \left(X + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} = X^2 + \frac{b}{a}X $$

En réécrivant l'équation dans l'autre sens :

$$ X^2 + \frac{b}{a}X = \left(X + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} \qquad (3) $$

On peut alors transformer \( (2) \) en y injectant \( (3) \) :

$$ a \left[ \left(X + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} \right] = 0 $$

$$ a \left[ \left(X + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \right] = 0 $$


On reconnaît alors l'identité remarquable :

$$ A^2 - B^2 = (A + B)(A - B) $$

Avec :

$$ \begin{Bmatrix} A = X + \frac{b}{2a} \\ B = \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} \end{Bmatrix} $$

Ce qui nous amène à :

$$ a \left(X + \frac{b}{2a} + \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} \right) \left(X + \frac{b}{2a} - \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} \right) = 0 $$

Par simplicité, on pose :

$$ \Delta = b^2 - 4ac $$

On a alors :

$$ a \left(X + \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right) \left(X + \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right) = 0 $$

Soit :

$$ a \left[ X - \left( -\frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right) \right] \left[ X - \left( -\frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right) \right] = 0 $$

$$ a \left[ X - \left( \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a} \right) \right] \left(X - \left[ \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a} \right) \right] = 0 $$


Il y aura trois cas à prendre en compte.


Lien entre coefficients et racines

À partir des deux formules générales pour les racines vues plus haut,

$$ X_1 = \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a} $$

$$ X_2 = \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a} $$

On peut calculer leur somme et leur produit.


  1. Somme des racines \( : X_1 + X_2 \)

  2. $$ X_1 + X_2 = \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$

    $$ X_1 + X_2 = \frac{- 2b}{2a} $$

    $$ X_1 + X_2 = -\frac{b}{a} $$

  3. Produit des racines \( : X_1 X_2 \)

  4. $$ X_1 X_2 = \biggl( \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a} \biggr) \biggl( \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a} \biggr)$$

    $$ X_1 X_2 = \frac{b^2 - b\sqrt{\Delta} + b\sqrt{\Delta}- \Delta }{4a^2} $$

    $$ X_1 X_2 = \frac{b^2 - \Delta }{4a^2} $$

    Or, \(\Delta = b^2 - 4ac \) :

    $$ X_1 X_2 = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} $$

    $$ X_1 X_2 = \frac{ 4ac}{4a^2} $$

    $$ X_1 X_2 = \frac{c}{a} $$


Exemples


  1. Résolution d'un polynôme du second degré

  2. $$ P_2(X) = 2X^2 - 3X + 1 $$

    On calcule le déterminant \( \Delta \) :

    $$ \Delta = (-3) ^2 - 4 \times 2 \times 1 = 1$$

    Alors \(P_2(X) \) a deux racines réelles \(X_1, X_2\) :

    $$ X_1 = \frac{- (-3) - \sqrt{1}}{2 \times 2} $$

    $$ X_2 = \frac{- (-3) + \sqrt{1}}{2 \times 2} $$

    $$ X_1 = \frac{2}{4} $$

    $$ X_2 = \frac{4}{4} $$

    $$ \mathcal{S} = \biggl \{X_{1} = \frac{1}{2} , \ X_{2} = 1 \biggr \} $$

    \(P_2(X) \) peut alors se factoriser :

    $$ P_2(X) = 2 \left(X- \frac{1}{2} \right)\Bigl(X -1 \Bigr) $$

    \(P_2(X) \) est le polynôme qui s'annule en \( X = \frac{1}{2}\) et \( X = 1\).


  3. Résolution d'un polynôme de degré \(4\) par changement de variable

  4. $$ P_4(X) = 6X^4 - X^2 - 1 $$

    Lorsqu'on a ce type de siutation, on pose un changement de variable :

    On pose :

    $$ \chi = X^2$$

    Alors le polynôme \(P_4(X)\) devient un polynôme du second dégré :

    $$ P_4(X) \Longrightarrow P_2( \chi) = 6\chi^2 - \chi - 1 $$

    On calcule le déterminant \( \Delta \) :

    $$ \Delta = (-1) ^2 - 4 \times (-1) \times 6 = 25$$

    Alors \(P_2(\chi ) \) a deux racines réelles \(\chi _1, \chi _2\) :

    $$ \chi _1 = \frac{- (-1) - \sqrt{25}}{2 \times 6} $$

    $$ \chi _2 = \frac{- (-1) + \sqrt{25}}{2 \times 6} $$

    $$ \chi _1= -\frac{1}{3} $$

    $$ \chi _2 = \frac{1}{2 } $$

    $$ \mathcal{S} = \biggl \{\chi_{1} =-\frac{1}{3} , \ \chi_{2} = \frac{1}{2 } \biggr \} $$

    \(P_2(\chi) \) peut alors se factoriser :

    $$ P_2(\chi) = 6 \left(\chi + \frac{1}{3} \right)\left(\chi - \frac{1}{2 } \right) $$

    On remplace \(\chi\) par sa valeur initiale, \(X^2\) :

    $$ P_4(X) = 6 \left(X^2 + \frac{1}{3} \right)\left(X^2 - \frac{1}{2 } \right) $$

    On peut encore le décomposer :

    On sait qu'avec la troisième identité remarquable :

    $$ A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$$

    Soit,

    $$ P_4(X) = 6 \left(X^2 + \frac{1}{3} \right)\left(X + \frac{1}{\sqrt2 } \right)\left(X - \frac{1}{\sqrt2} \right) $$

    $$ P_4(X) = 6 \left(X^2 + \frac{1}{3} \right)\left(X + \frac{\sqrt2}{2 } \right)\left(X - \frac{\sqrt2}{2} \right) $$

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