La résolution d'équations du second degré

Une équation du second degré est de la forme :

$$ \forall a \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, \enspace \forall (b, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \enspace \forall X \in \mathbb{R}, $$

$$ P_2(X) = aX^2 + bX + c = 0 \qquad (1) $$

Résolution par la recherche de racines et factorisation

Les solutions pour $ X $ lesquelles $ P_2(X) = 0 $ sont appelées les racines du polynôme.

Elles permettent d'obtenir une forme factorisée.

Trois cas sont à envisager après calcul du discriminant $ \Delta $ :

$$ \Delta = b^2 - 4ac \qquad (\Delta) $$

$ \alpha) $ si $\Delta >0 $: deux racines distinctes $ X_1, \ X_2 $

$$ X_1 = \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a} $$

$$ X_2 = \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a} $$

Et $ P_2(X) $ se factorise de la sorte :

$$ P_2(X) = a(X - X_1)(X - X_2) $$

$ \beta) $ si $ \Delta =0 $ : une racine double $ X_0 $

$$ X_0 = \frac{- b}{2a} $$

Et $ P_2(X) $ se factorise de la sorte :

$$ P_2(X) = a(X - X_0)^2 $$

$ \gamma) $ si $\Delta < 0 $ : deux racines complexes conjuguées $ C_1, \ C_2 $

$$ C_1 = \frac{- b - i\sqrt{|\Delta|}}{2a} $$

$$ C_2 = \frac{- b + i\sqrt{|\Delta}|}{2a} $$

Et $ P_2(X) $ se factorise de la sorte :

$$ P_2(X) = a(X - C_1)(X - C_2) $$

Lien entre coefficients et racines

Par ailleurs, on aura aussi dans le cas général ces deux relations entre les coefficients et racines :

$$ X_1 + X_2 =- \frac{b}{a} $$

$$ X_1 X_2 = \frac{c}{a} $$

Démonstration

Résolution par la recherche de racines et factorisation

On démarre de l'équation $ (1) $ :

$$ aX^2 + bX + c = 0 \qquad (1) $$

On factorise par $ a $ :

$$ a \left[ X^2 + \frac{b}{a}X + \frac{c}{a} \right] = 0 \qquad (2) $$

Or, on remarque que :

$$ \left(X + \frac{b}{2a}\right)^2 = X^2 + \frac{b}{a}X + \frac{b^2}{4a^2} $$

Soit que :

$$ \left(X + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} = X^2 + \frac{b}{a}X $$

En réécrivant l'équation dans l'autre sens :

$$ X^2 + \frac{b}{a}X = \left(X + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} \qquad (3) $$

On peut alors transformer $ (2) $ en y injectant $ (3) $ :

$$ a \left[ \left(X + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} \right] = 0 $$

$$ a \left[ \left(X + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \right] = 0 $$

On reconnaît alors la troisième identité remarquable du second degré :

$$ A^2 - B^2 = (A + B)(A - B) $$

Avec :

$$ \begin{Bmatrix} A = X + \frac{b}{2a} \\ B = \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} \end{Bmatrix} $$

Ce qui nous amène à :

$$ a \left(X + \frac{b}{2a} + \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} \right) \left(X + \frac{b}{2a} - \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} \right) = 0 $$

Par simplicité, on pose :

$$ \Delta = b^2 - 4ac $$

On a alors :

$$ a \left(X + \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right) \left(X + \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right) = 0 $$

Soit :

$$ a \left[ X - \left( -\frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right) \right] \left[ X - \left( -\frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right) \right] = 0 $$

$$ a \left[ X - \left( \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a} \right) \right] \left(X - \left( \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a} \right) \right] = 0 $$

À partir de ce résultat, il y aura trois cas à prendre en compte.

$ \alpha) $ si $\Delta >0 $: deux racines distinctes $ X_1, \ X_2 $

Alors $ \sqrt{\Delta} $ existe et les solutions sont directement données par :

$$ X_1 = \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a} $$

$$ X_2 = \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a} $$

Ainsi, le polynôme $P_2(X)$ admet la factorisation :

$$ P_2(X) = a(X - X_1)(X - X_2) $$

$ \beta) $ si $ \Delta =0 $ : une racine double $ X_0 $

Alors $ \sqrt{\Delta} = 0 $ et la racine est double :

$$ X_0 = \frac{- b}{2a} $$

Alors la factorisation de $P_2(X)$ devient :

$$ P_2(X) = a(X - X_0)^2 $$

$ \gamma) $ si $\Delta < 0 $ : deux racines complexes conjuguées $ C_1, \ C_2 $

Alors $ \sqrt{\Delta} $ n'est pas définie sur $ \mathbb{R} $. En revanche, il peut exister dans l'ensemble des complexes $ (\mathbb{C}) $.

Pour résoudre une équation dans $ \mathbb{C} $ de type :

$$ Y= \sqrt{-\alpha } \Longrightarrow Y^2 = -\alpha $$

On a comme solutions :

$$ \mathcal{S} = \left \{Y_{1} = i \sqrt{ |\alpha |} , \ Y_{2} = -i \sqrt{ |\alpha |} \right \} $$

Dans notre cas, la solution $\mathcal{S} $ va devenir :

$$ \left \{ \Delta = i \sqrt{ |\Delta |} , \ \Delta = -i \sqrt{ |\Delta |} \right \} $$

On aura alors deux racines complexes :

$$ C_1 = \frac{- b - i\sqrt{|\Delta|}}{2a} $$

$$ C_2 = \frac{- b + i\sqrt{|\Delta}|}{2a} $$

Et la factorisation restera de la même forme que pour le cas où $ \Delta > 0 $ :

$$ P_2(X) = a(X - C_1)(X - C_2)$$

Lien entre coefficients et racines

À partir des deux formules générales pour les racines vues plus haut,

$$ X_1 = \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a} $$

$$ X_2 = \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a} $$

On peut calculer leur somme et produit.

Somme des racines $ : X_1 + X_2 $

$$ X_1 + X_2 = \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$

$$ X_1 + X_2 = \frac{- 2b}{2a} $$

$$ X_1 + X_2 = -\frac{b}{a} $$

Produit des racines $ : X_1 X_2 $

$$ X_1 X_2 = \biggl( \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a} \biggr) \biggl( \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a} \biggr)$$

$$ X_1 X_2 = \frac{b^2 - b\sqrt{\Delta} + b\sqrt{\Delta}- \Delta }{4a^2} $$

$$ X_1 X_2 = \frac{b^2 - \Delta }{4a^2} $$

Or, $\Delta = b^2 - 4ac $, soit :

$$ X_1 X_2 = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} $$

$$ X_1 X_2 = \frac{ 4ac}{4a^2} $$

$$ X_1 X_2 = \frac{c}{a} $$

Exemples

Résolution d'un polynôme du second degré

$$ P_2(X) = 2X^2 - 3X + 1 $$

On calcule le discriminant $ \Delta $ :

$$ \Delta = (-3) ^2 - 4 \times 2 \times 1 = 1$$

Alors $P_2(X) $ a deux racines réelles $X_1, X_2$ :

$$ X_1 = \frac{- (-3) - \sqrt{1}}{2 \times 2} $$

$$ X_2 = \frac{- (-3) + \sqrt{1}}{2 \times 2} $$

$$ X_1 = \frac{2}{4} $$

$$ X_2 = \frac{4}{4} $$

$$ \mathcal{S} = \biggl \{X_{1} = \frac{1}{2} , \ X_{2} = 1 \biggr \} $$

$P_2(X) $ peut alors se factoriser :

$$ P_2(X) = 2 \left(X- \frac{1}{2} \right)\Bigl(X -1 \Bigr) $$

$P_2(X) $ est le polynôme qui s'annule en $ X = \frac{1}{2}$ et $ X = 1$.

Résolution d'un polynôme de degré $4$ par changement de variable

Résolvins à présent cette nouvelle équation :

$$ P_4(X) = 6X^4 - X^2 - 1 $$

Lorsqu'on a ce type de situation, on pose un changement de variable :

On pose :

$$ \varphi = X^2$$

Alors le polynôme $P_4(X)$ devient un polynôme du second dégré :

$$ P_4(X) \Longrightarrow P_2( \varphi) = 6\varphi^2 - \varphi - 1 $$

On peut à présent calcule le discriminant $ \Delta $ :

$$ \Delta = (-1) ^2 - 4 \times (-1) \times 6 = 25$$

Alors $P_2(\varphi ) $ a deux racines réelles $\varphi _1, \varphi _2$ :

$$ \varphi _1 = \frac{- (-1) - \sqrt{25}}{2 \times 6} $$

$$ \varphi _2 = \frac{- (-1) + \sqrt{25}}{2 \times 6} $$

$$ \varphi _1= -\frac{1}{3} $$

$$ \varphi _2 = \frac{1}{2 } $$

$$ \mathcal{S} = \biggl \{\varphi_{1} =-\frac{1}{3} , \ \varphi_{2} = \frac{1}{2 } \biggr \} $$

Et $P_2(\varphi) $ peut se factoriser ainsi :

$$ P_2(\varphi) = 6 \left(\varphi + \frac{1}{3} \right)\left(\varphi - \frac{1}{2 } \right) $$

On remplace finalement $\varphi$ par sa valeur initiale, $ \varphi = X^2$ :

$$ P_4(X) = 6 \left(X^2 + \frac{1}{3} \right)\left(X^2 - \frac{1}{2 } \right) $$

On peut encore le décomposer :

Or, on sait qu'avec la troisième identité remarquable du second degré :

$$ A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$$

Soit,

$$ P_4(X) = 6 \left(X^2 + \frac{1}{3} \right)\left(X + \frac{1}{\sqrt2 } \right)\left(X - \frac{1}{\sqrt2} \right) $$

$$ P_4(X) = 6 \left(X^2 + \frac{1}{3} \right)\left(X + \frac{\sqrt2}{2 } \right)\left(X - \frac{\sqrt2}{2} \right) $$

La résolution d'équations du second degré

Démonstration

Résolution par la recherche de racines et factorisation

Lien entre coefficients et racines

Somme des racines \( : X_1 + X_2 \)

Produit des racines \( : X_1 X_2 \)

Exemples

Résolution d'un polynôme du second degré

Résolution d'un polynôme de degré \(4\) par changement de variable