Index des cours

Les propriétés des nombres complexes

Les modules \( : |z|\)

On note \( |z| \) le module d'un nombre complexe \( z \).

Soit \( (x, y) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \enspace z \in \mathbb{C}, \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} z = x + iy \\ |z| = \sqrt{x^2 + y^2 } \end{gather*} \)


Modules de l'opposé et du conjugué

$$ \forall z \in \mathbb{C}, $$

$$ | z | = | - z | = |\overline{z}| $$


Module du produit

$$ \forall (z, z') \in \mathbb{C}, $$

$$ | z z' | = | z| \hspace{0.2em}. |z' |$$


De la même manière, on aura :

$$ \forall z \in \mathbb{C}, \enspace \forall z' \in \mathbb{C^*}, $$

$$ \left| \frac{z}{z'} \right| = \frac{| \ z \ |}{ |z' |} $$


Module d'un complexe élevé à une puissance entière

$$ \forall z \in \mathbb{C}, \enspace \forall n \in \mathbb{N}, $$

$$ | z^n | = | z |^n $$

Les arguments \( : arg(z) \)

Soit \( (x, y) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \enspace z \in \mathbb{C}, \)

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} z = x + iy \\ z = |z|.\left(cos(\theta) + isin(\theta) \right) \end{gather*} $$

On note \( arg(z) \) l'argument d'un complexe \( z \).


Arguments des conjugué et opposé

$$ \forall z \in \mathbb{C}, $$

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} arg(\overline{z}) = -arg(z) \\ arg( -z) = \pi + arg(z) \end{gather*} $$


Argument du produit

$$ \forall z, z' \in \hspace{0.05em} \mathbb{C}^2, $$

$$ arg( z z') = arg(z) + arg(z') $$


Argument de l'inverse

$$ \forall z \in \mathbb{C^*}, $$

$$ arg\left(\frac{1}{z}\right) = -arg(z) $$


Argument du quotient

$$ \forall z \in \mathbb{C}, \enspace \forall z' \in \mathbb{C^*},$$

$$ arg\left(\frac{z}{z'}\right) = arg(z) -arg(z') $$


Argument d'un complexe élevé à une puissance entière

$$ \forall z \in \mathbb{C}, \enspace \forall n \in \mathbb{Z},$$

$$ arg(z^n) = n . arg(z) $$

Les conjugués \( : \overline{z}\)

On note \( \overline{z} \) le conjugué d'un nombre complexe \( z \).

Soit \( (x, y) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \enspace z \in \mathbb{C}, \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} z = x + iy \\ \overline{z} = x -iy \end{gather*} \)


Conjugué de la somme

$$ \forall (z_1, z_2) \in \mathbb{C}, $$

$$ \overline{z_1 + z_2} \hspace{0.2em} = \hspace{0.2em} \overline{z_1} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \overline{z_2} $$


De la même manière,

$$ \overline{z_1 \textcolor{#A65757}{-} z_2} \hspace{0.2em} = \hspace{0.2em} \overline{z_1} \hspace{0.2em} \textcolor{#A65757}{-} \hspace{0.2em} \overline{z_2} $$


Conjugué d'un produit

$$ \forall (z_1, z_2) \in \mathbb{C}, $$

$$ \overline{z_1 . z_2} \hspace{0.2em} = \hspace{0.2em} \overline{z_1} \hspace{0.2em}. \hspace{0.2em} \overline{z_2} $$


De la même manière, on aura :

$$ \forall z_1 \in \mathbb{C}, \enspace z_2 \in \hspace{0.05em} \mathbb{C}^*, $$

$$ \overline{ \left( z_1 \over z_2 \right)} \hspace{0.2em} = \hspace{0.2em} \frac{\overline{z_1}}{ \overline{z_2}} $$


Complexe multiplié par son conjugué

$$ \forall z \in \mathbb{C}, $$

$$ z \hspace{0.2em} . \overset{-}{z} = x^2 + y^2 $$


Conjugué d'un quotient

$$ \forall z_1 \in \mathbb{C}, \enspace z_2 \in \hspace{0.05em} \mathbb{C}^*, $$

$$ \overline{ \left( z_1 \over z_2 \right)} \hspace{0.2em} = \hspace{0.2em} \frac{\overline{z_1}}{ \overline{z_2}} $$


Conjugué d'un complexe élevé à une puissance entière

$$ \forall z \in \mathbb{C}, \enspace \forall n \in \mathbb{N},$$

$$ \overline{z^n} \hspace{0.2em} = \hspace{0.2em} (\overline{z})^n $$


Récapitulatif des formules des propriétés des nombres complexes

Cliquez sur le titre ci-dessus pour accéder aux tableau récapitulatif.


Démonstrations

Les modules \( : |z|\)


Modules de l'opposé et du conjugué

Écrivons les complexes \( |-z|\) et \( | \overline{z} | \) sous leur forme algébrique.

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} |-z| = \sqrt{(-x)^2 + (-y)^2} = \sqrt{x^2 + y^2 } = |z| \\ | \overline{z} | = \sqrt{x' + (-y)^2 } = \sqrt{x^2 + y^2 }= |z| \end{gather*} $$

Soit finalement,

$$ \forall z \in \mathbb{C}, $$

$$ | z | = | - z | = |\overline{z}| $$


Module du produit

Écrivons les complexes \( z, z' \) sous leur forme algébrique.

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} z = x + iy \\ z' = x' + iy' \end{gather*} $$

On calcule dans un premier temps \( z z' \) :

$$ z z' = (x + iy ) (x' + iy' )$$

$$ z z' = (xx' - yy') + i(x y' + x' y) $$

Ensuite, on calcule \( | z z' | \) :

$$ | z z' | = \sqrt{ (xx' - yy')^2 + (x y' + x' y)^2 } $$

$$ | z z' | = \sqrt{ (xx')^2 -2xx'yy' + (yy')^2 + (x y')^2 +2x y'x' y + (x' y)^2 } $$

$$ | z z' | = \sqrt{ (xx')^2 + (yy')^2 + (x y')^2 + (x' y)^2 } \qquad (1) $$

Enfin, on calcule \( | z| \hspace{0.2em}. |z' | \) :

$$ | z| \hspace{0.2em}. |z' | = \sqrt{ (x^2 + y^2) }\sqrt{ \left((x')^2 + (y')^2 \right) } $$

$$ | z| \hspace{0.2em}. |z' | = \sqrt{ (x^2 + y^2)\left((x')^2 + (y')^2 \right) } $$

$$ | z| \hspace{0.2em}. |z' | = \sqrt{ x^2(x')^2 + x^2(y')^2 + y^2(x')^2 + y^2(y')^2 } $$

$$ | z| \hspace{0.2em}. |z' | = \sqrt{ (xx')^2 + (yy')^2 + (x y')^2 + (x' y)^2 } \qquad (2) $$

On remarque que les expressions \( (1) \) et \( (2) \) sont équivalentes, alors :

$$ \forall (z, z') \in \mathbb{C}, $$

$$ | z z' | = | z| \hspace{0.2em}. |z' |$$

De la même manière, on aura :

$$ \forall z \in \mathbb{C}, \enspace \forall z' \in \mathbb{C^*}, $$

$$ \left| \frac{z}{z'} \right| = \frac{| \ z \ |}{ |z' |} $$


Module d'un complexe élevé à une puissance entière

Écrivons le complexe \(z\) sous leur forme algébrique.

$$ z= x + iy $$

Calculons \(z^n\) :

$$ z^n= (x + iy)^n $$

Alors,

$$ | z^n | = \sqrt{ (x^2 + y^2)^n }= (x^2 + y^2)^{\frac{n}{2}} $$

Or,

$$ | z | = \sqrt{x^2 + y^2}$$

$$ | z |^n = \left(\sqrt{x^2 + y^2} \right)^n = (x^2 + y^2)^{\frac{n}{2}} $$


On a bien,

$$ \forall z \in \mathbb{C}, \enspace \forall n \in \mathbb{N}, $$

$$ | z^n | = | z |^n $$


Les arguments \( : arg(z) \)


Arguments des conjugué et opposé

Écrivons le complexe \( z \) sous sa forme trigonométrique.

$$ z = |z|.\left(cos(\theta) + isin(\theta) \right) $$

  1. Pour le conjugué \(\overline{z}\)
  2. Écrivons le complexe \( \overline{z} \) sous sa forme trigonométrique.

    $$\overline{z} = |z|.\left( cos(\theta) - isin(\theta) \right) $$

    Mais,

    $$ \Biggl \{ \begin{gather*} cos(\theta) = cos(-\theta) \\ -sin(\theta) = sin(-\theta) \end{gather*} $$

    Soit,

    $$\overline{z} = |z|.\left( cos(-\theta) + isin(-\theta) \right) $$

    D'où,

    $$ arg(\overline{z}) = -arg(z) $$

  3. Pour l'opposé \( -z \)
  4. $$-z = -|z|.\left( cos(\theta) + isin(\theta) \right) $$

    $$-z = |z|.\left( -cos(\theta) - isin(\theta) \right) $$

    Mais,

    $$ \Biggl \{ \begin{gather*} -cos(\theta) = cos(\pi + \theta) \\ -sin(\theta) = sin(\pi + \theta) \end{gather*} $$

    Soit,

    $$ -z = |z|.\left( cos(\pi + \theta) + isin(\pi + \theta) \right) $$

    D'où,

    $$ arg(-z) = \pi +arg(z) $$


Soit finalement,

$$ \forall z \in \mathbb{C}, $$

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} arg(\overline{z}) = -arg(z) \\ arg( -z) = \pi + arg(z) \end{gather*} $$


Argument du produit

Écrivons les complexes \( z, z' \) sous leur forme trigonométrique.

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} z = |z|.\left(cos(\theta) + isin(\theta) \right) \\ z' = |z'|.\left(cos(\theta') + isin(\theta') \right) \end{gather*} $$

On calcule \( z z' \) :

$$ z z' = |z|.|z'|\left(cos(\theta) + isin(\theta) \right) \left(cos(\theta') + isin(\theta') \right) $$

Grâce aux propriétes de \( | z | \), on sait que :

$$ \forall (z, z') \in \mathbb{C}, $$

$$ |z|.|z'| = |zz'|$$

Soit,

$$ z z' = |zz'| \Bigl[ \left(cos(\theta)cos(\theta') -sin(\theta) sin(\theta') \right) + i\left(cos(\theta)sin(\theta') + sin(\theta)cos(\theta') \right) \Bigr] $$

Maintenant, grâce aux formules d'additions trigonométriques, on sait que :

$$ \forall (\alpha, \beta) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha) cos(\beta) + sin(\beta) cos(\alpha) \\ cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha) cos(\beta) - sin(\alpha) sin(\beta) \end{gather*} $$

Soit que,

$$ z z' = |zz'| \Bigl[ cos(\theta + \theta') + isin(\theta + \theta') \Bigr] $$


Soit finalement,

$$ \forall z, z' \in \hspace{0.05em} \mathbb{C}^2, $$

$$ arg( z z') = arg(z) + arg(z') $$


Argument de l'inverse

Soit \(z \in \hspace{0.05em}\mathbb{C}^*\) un nombre complexe non nul.


Partons de l'équation suivante :

$$ z \times \frac{1}{z} = 1 $$

Alors,

$$ arg( z \times \frac{1}{z}) = arg(1) $$

Or, on sait que le l'argument d'un produit est la somme des facteurs de ce produit :

$$ arg( z z') = arg(z) + arg(z') $$

Soit que,

$$ arg(z) + arg\left(\frac{1}{z}\right) = 0 $$


Soit finalement,

$$ \forall z \in \mathbb{C^*}, $$

$$ arg\left(\frac{1}{z}\right) = -arg(z) $$


Argument du quotient

Soit \(z \in \mathbb{C}\) un nombre complexe et \(z' \in \hspace{0.05em}\mathbb{C}^*\) un nombre complexe non nul.


Écrivons le quotient \(\frac{z}{z'}\) sous forme de produit :

$$ \frac{z}{z'} = z \times \frac{1}{z'} $$

Or, on sait que le l'argument d'un produit est la somme des facteurs de ce produit :

$$ \forall z, z' \in \hspace{0.05em} \mathbb{C}^2, $$

$$ arg( z z') = arg(z) + arg(z') $$

Soit que,

$$ arg\left(z \times \frac{1}{z'}\right) = arg(z) + arg\left(\frac{1}{z'}\right) $$

Mais, on sait que l'argument de l'inverse d'un complexe est l'opposé de l'argument de ce complexe :

$$ arg\left(\frac{1}{z}\right) = -arg(z) $$

Alors,

$$ arg\left(z \times \frac{1}{z'}\right) = arg(z) -arg(z') $$


Soit finalement,

$$ \forall z \in \mathbb{C}, \enspace \forall z' \in \mathbb{C^*},$$

$$ arg\left(\frac{z}{z'}\right) = arg(z) -arg(z') $$


Argument d'un complexe élevé à une puissance entière

Écrivons le complexe \( z \) sous sa forme trigonométrique.

$$ z = |z|.\left(cos(\theta) + isin(\theta) \right) $$

  1. Calcul du carré \( : z^2 \)
  2. $$ z^2 = \Bigl[ |z|.\left(cos(\theta) + isin(\theta) \right) \Bigr]^2 $$

    Grâce aux propriétes du module élevé à une puissance entière \( | z^n | \), on sait que :

    $$ \forall z \in \mathbb{C}, \enspace \forall n \in \mathbb{N}, $$

    $$ |z^n| = |z|^n $$

    Soit,

    $$ z^2 = |z|^2.\left(cos(\theta) + i.sin(\theta) \right)^2$$

    $$ z^2 = |z|^2.\left(cos^2(\theta) + 2i.sin(\theta)cos(\theta) - sin^2(\theta) \right)$$

    $$ z^2 = |z|^2.\left(cos^2(\theta) - sin^2(\theta) + 2i.sin(\theta)cos(\theta) \right)$$

    Grâce aux formules de duplications trigonométriques, on sait que :

    $$ \forall \alpha \in \mathbb{R}, \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} sin(2\alpha) = 2 sin(\alpha) cos(\alpha) \\ cos(2\alpha) = cos^2(\alpha) - sin^2(\alpha) \end{gather*} $$

    Alors, on reconnaît que :

    $$ z^2 = |z|^2.\left(cos(2\theta) + i. sin(2\theta) \right)$$

    Soit que,

    $$ arg(z^2) = 2 . arg(z) $$


  3. Preuve par récurrence
  4. Tentons de prouver par récurrence que :

    $$ \forall z \in \mathbb{C}, \enspace \forall n \in \mathbb{Z},$$

    $$ arg(z^n) = n . arg(z) \qquad (P_n) $$

    1. Calcul du premier terme
    2. $$ z = |z|.\left(cos(\theta) + isin(\theta) \right) $$

      $$ z^0 = |z|^0.\left(cos(0 \times \theta) + isin( 0 \times \theta) \right) $$

      $$ 1 = 1 \times ( 1 + 0) $$

      Alors, \((P_0)\) est vraie.


    3. Vérification de l'hérédité
      1. Dans l'ensemble des entiers naturels \( : \mathbb{N} \)
      2. Soit \( k \in \mathbb{N} \) un entier naturel.

        On suppose que la proposition \((P_k)\) est vraie pour tout \( k \), et vérifions que c'est bien le cas pour \((P_{k + 1})\).

        Si c'est bien le cas, nous devrions obtenir comme résultat que :

        $$ arg(z^{k+1}) = (k+1) . arg(z) \qquad (P_{k + 1}) $$


        On calcule alors \(z^{k+1}\) :

        $$ z^{k+1} = |z|^{k+1}.\left(cos(\theta) + isin(\theta) \right)^{n+1} $$

        Or, on sait que le l'argument d'un produit est la somme des facteurs de ce produit :

        $$ \forall z, z' \in \hspace{0.05em} \mathbb{C}^2, $$

        $$ arg( z z') = arg(z) + arg(z') $$

        Soit ici que,

        $$ arg(z^{k+1}) = arg( z . z^k) = arg(z) + arg(z^k) $$

        $$ arg(z^{k+1}) = arg(z) + arg(z) + arg(z^{k-1}) $$

        Et ainsi de suite jusque :

        $$ arg\left(z^{k+1}\right) = (k+1).arg(z) $$

        Par conséquent, \((P_{k + 1})\) est vraie dans l'ensemble \( \mathbb{N}\) des entiers naturels.

        Montrons maintenant cette hérédité est aussi en sens inverse.


      3. Dans l'ensemble des entiers relatifs : \( \mathbb{Z} \)
      4. Soit \( k \in \mathbb{Z} \) un entier relatif.

        On suppose que la proposition \((P_k)\) est vraie pour tout \( k \), et vérifions que c'est bien le cas pour \((P_{k - 1})\).

        Si c'est bien le cas, nous devrions obtenir comme résultat que :

        $$ arg(z^{k-1}) = (k-1) . arg(z) \qquad (P_{k - 1}) $$


        On effectue maintenant le calcul de \(z^{k-1}\) :

        $$ z^{k-1} = \frac{z^k}{z} $$

        Or, on sait que l'argument d'un quotient de deux complexes équivaut à la différence des arguments de ces deux complexes :

        $$ \forall z \in \mathbb{C}, \enspace \forall z' \in \mathbb{C^*},$$

        $$ arg\left(\frac{z}{z'}\right) = arg(z) -arg(z') $$

        Soit ici que,

        $$ arg(z^{k-1}) = arg\left( \frac{z^k}{z} \right) = arg(z^k) - arg(z) $$

        $$ arg(z^{k-1}) = k.arg(z) - arg(z) $$

        $$ arg(z^{k-1}) = (k-1).arg(z) $$

        Alors, \((P_{k - 1})\) est vraie pour l'ensemble \( \mathbb{Z}\) des entiers relatifs.


    4. Conclusion
    5. La proposition \((P_n)\) est vraie pour son premier terme \(n_0 = 0\) et est héréditaire de proche en proche pour tout \(n \in \mathbb{Z}\), de manière croissante et décroissante.

      Par le principe de récurrence, elle ainsi est vraie pour tout \(n \in \mathbb{Z}\).


Soit finalement,

$$ \forall z \in \mathbb{C}, \enspace \forall n \in \mathbb{Z},$$

$$ arg(z^n) = n . arg(z) $$

Les conjugués \( : \overline{z}\)


Conjugué de la somme

Écrivons les complexes \( z_1, z_2 \) sous leur forme algébrique.

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} z_1 = x_1 + iy_1 \\ z_2 = x_2 + iy_2 \end{gather*} $$

En effecutant leur somme, on a:

$$ z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2) $$

Maintenant, en appliquant le conjugué :

$$ \overline{z_1 + z_2} \hspace{0.2em} = (x_1 + x_2) - i(y_1 + y_2) $$

$$ \overline{z_1 + z_2} \hspace{0.2em} = \hspace{0.2em} \underbrace{(x_1 - iy_1)} _\text{\( \overset{-}{z_1} \)} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \underbrace{(x_2 - iy_2)} _\text{\( \overset{-}{z_2} \)} $$

Et finalement,

$$ \forall (z_1, z_2) \in \mathbb{C}, $$

$$ \overline{z_1 + z_2} \hspace{0.2em} = \hspace{0.2em} \overline{z_1} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \overline{z_2} $$


De la même manière,

$$ \overline{z_1 \textcolor{#A65757}{-} z_2} \hspace{0.2em} = \hspace{0.2em} \overline{z_1} \hspace{0.2em} \textcolor{#A65757}{-} \hspace{0.2em} \overline{z_2} $$


Conjugué d'un produit

Écrivons les complexes \( z_1, z_2 \) sous leur forme algébrique.

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} z_1 = x_1 + iy_1 \\ z_2 = x_2 + iy_2 \end{gather*} $$

En effecutant leur produit, on a:

$$ z_1 . z_2 = (x_1 + iy_1 ) (x_2 + iy_2 )$$

$$ z_1 . z_2 = (x_1x_2 - y_1y_2) + i(x_1 y_2 + x_2 y_1) $$

Maintenant, en appliquant le conjugué :

$$ \overline{z_1 . z_2} \hspace{0.2em} = (x_1x_2 - y_1y_2) - i(x_1 y_2 + x_2 y_1) \qquad (3) $$


Calculons à présent le produit \( \overline{z_1}. \overline{z_2} \) séparément :

$$ \overline{z_1} \hspace{0.2em}.\hspace{0.2em} \overline{z_2} \hspace{0.2em} = (x_1 - iy_1)(x_2 + iy_2) $$

$$ \overline{z_1} \hspace{0.2em}.\hspace{0.2em} \overline{z_2} \hspace{0.2em} = (x_1x_2 - y_1y_2) - i(x_1 y_2 + x_2 y_1) \qquad (4) $$

Après avoir calculé le résultat des expressions \( (3) \) et \( (4) \), on s'aperçoit qu'elles sont égales :

$$ \overline{z_1 \hspace{0.2em}.\hspace{0.2em} z_2} \hspace{0.2em} = \hspace{0.2em} \overline{z_1}. \overline{z_2} \ = (x_1x_2 - y_1y_2) - i(x_1 y_2 + x_2 y_1) $$

Et finalement,

$$ \forall (z_1, z_2) \in \mathbb{C}, $$

$$ \overline{z_1 . z_2} \hspace{0.2em} = \hspace{0.2em} \overline{z_1} \hspace{0.2em}. \hspace{0.2em} \overline{z_2} $$


De la même manière,

$$ \forall z_1 \in \mathbb{C}, \enspace z_2 \in \hspace{0.05em} \mathbb{C}^*, $$

$$ \overline{ \left( z_1 \over z_2 \right)} \hspace{0.2em} = \hspace{0.2em} \frac{\overline{z_1}}{ \overline{z_2}} $$


Complexe multiplié par son conjugué

Écrivons les complexes \( z \) et \( \overset{-}{z} \) sous leur forme algébrique.

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} z= x + iy \\ \overset{-}{z} = x - iy \end{gather*} $$

Calculons leur produit :

$$ z \hspace{0.2em} . \overset{-}{z} = (x + iy)(x - iy) $$

On sait grâce à la troisième identité remarquable du second degré que :

$$ \forall (a, b) \in \mathbb{R},$$

$$ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 $$

Soit dans notre cas,

$$ z \hspace{0.2em} . \overset{-}{z} = x^2 - i^2y^2 $$

$$ z \hspace{0.2em} . \overset{-}{z} = x^2 + y^2 $$

Et finalement,

$$ \forall z \in \mathbb{C}, $$

$$ z \hspace{0.2em} . \overset{-}{z} = x^2 + y^2 $$


Conjugué d'un quotient

Écrivons les complexes \( z \) et \( \overset{-}{z} \) sous leur forme algébrique.

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} z= x + iy \\ \overset{-}{z} = x - iy \end{gather*} $$

En effecutant leur quotient, on a :

$$ \frac{ z_1 }{ z_2 } = \frac{ x_1 + iy_1 }{ x_2 + iy_2 }$$

On multiplie maintenant les numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur :

$$ \frac{ z_1 }{ z_2 } = \frac{ (x_1 + iy_1)(x_2 - iy_2) }{ (x_2 + iy_2)(x_2 - iy_2) }$$

Grâce à la propriété d'un complexe multiplié par son conjugué, on a :

$$ \forall z \in \mathbb{C}, $$

$$ z \hspace{0.2em} . \overset{-}{z} = x^2 + y^2 $$

Soit dans notre cas,

$$ \frac{ z_1 }{ z_2 } = \frac{ (x_1 + iy_1)(x_2 - iy_2) }{ x_2^2 + y_2^2 }$$

On développe le numérateur,

$$ \frac{ z_1 }{ z_2 } = \frac{ x_1x_2 - i(x_1 y_2) + i(x_2 y_1) + y_1 y_2 }{ x_2^2 + y_2^2 }$$

$$ \frac{ z_1 }{ z_2 } = \frac{ x_1x_2 + y_1 y_2 + i(-x_1 y_2 + x_2 y_1) }{ x_2^2 + y_2^2 }$$

À présent, en appliquant le conjugué, on a :

$$\overline{ \left( z_1 \over z_2 \right)} \hspace{0.2em} = \frac{ x_1x_2 + y_1 y_2 - i(-x_1 y_2 + x_2 y_1) }{ x_2^2 + y_2^2 }$$

$$\overline{ \left( z_1 \over z_2 \right)} \hspace{0.2em} = \frac{ x_1x_2 + y_1 y_2 + i(x_1 y_2 - x_2 y_1) }{ x_2^2 + y_2^2 } \qquad (5) $$


Calculons maintenant le quotient \( \frac{\overline{z_1}}{ \overline{z_2}} \) séparément :

$$\hspace{0.2em} \frac{\overline{z_1}}{ \overline{z_2}} = \frac{ x_1 - iy_1 }{ x_2 - iy_2 }$$

De la même manière que précédemment,

$$\hspace{0.2em} \frac{\overline{z_1}}{ \overline{z_2}} = \frac{ (x_1 - iy_1)(x_2 + iy_2) }{ (x_2 - iy_2)(x_2 + iy_2) }$$

$$\hspace{0.2em} \frac{\overline{z_1}}{ \overline{z_2}} = \frac{ x_1x_2 + y_1 y_2 + i(x_1 y_2 - x_2 y_1) }{ x_2^2 + y_2^2 } \qquad (6) $$


Après avoir calculé le résultat des expressions \( (5) \) et \( (5) \), on s'aperçoit qu'elles sont égales :

$$\overline{ \left( z_1 \over z_2 \right)} \hspace{0.2em} = \hspace{0.2em} \frac{\overline{z_1}}{ \overline{z_2}} = \frac{ x_1x_2 + y_1 y_2 + i(x_1 y_2 - x_2 y_1) }{ x_2^2 + y_2^2 } $$


Et finalement,

$$ \forall z_1 \in \mathbb{C}, \enspace z_2 \in \hspace{0.05em} \mathbb{C}^*, $$

$$ \overline{ \left( z_1 \over z_2 \right)} \hspace{0.2em} = \hspace{0.2em} \frac{\overline{z_1}}{ \overline{z_2}} $$


Conjugué d'un complexe élevé à une puissance entière

Écrivons le complexe \( z \) sous sa forme trigonométrique.

$$ z = |z|.\left(cos(\theta) + i.sin(\theta)\right) $$

Calculons maintenant \( z^n \) :

$$ z^n= |z|^n.\left(cos(\theta) + i.sin(\theta)\right)^n $$

Mais sait par la formule de Moivre que :

$$ \forall \theta \in \mathbb{R}, \enspace \forall n \in \mathbb{N}, $$

$$ \left(cos(\theta) + i.sin(\theta)\right)^n = cos(n\theta) + i.sin(n\theta) $$

Alors, on peut écrire que :

$$ z^n= |z|^n.\left(cos(n\theta) + i.sin(n\theta)\right) $$

Appliquons-lui maintenant son conjugué :

$$ \overline{z^n} \hspace{0.2em} = \overline{|z|^n}.\left(cos(n\theta) - i.sin(n\theta)\right) $$

On sait par la propriété du module du conjugué que :

$$ \forall z \in \mathbb{C}, \enspace | z | = |\overline{z}| $$

$$ \overline{z^n} \hspace{0.2em} = |z|^n.\left(cos(n\theta) - i.sin(n\theta)\right) \qquad (7) $$


Calculons maintenant de manière séparée \( (\overline{z})^n \) en repartant de \( \overline{z} \).

$$ \overline{z} \hspace{0.2em} = |z|.\left(cos(\theta) - i.sin(\theta)\right) $$

À nouveau avec la formule de Moivre, on peut écrire que :

$$ (\overline{z})^n \hspace{0.2em} = |z|^n.\left(cos(n\theta) - i.sin(n\theta)\right) \qquad (8) $$


Après avoir calculé le résultat des expressions \( (7) \) et \( (8) \), on s'aperçoit qu'elles sont égales :

$$ \overline{z^n} \hspace{0.2em} = (\overline{z})^n = |z|^n.\left(cos(n\theta) - i.sin(n\theta)\right) $$


Et finalement,

$$ \forall z \in \mathbb{C}, \enspace \forall n \in \mathbb{N},$$

$$ \overline{z^n} \hspace{0.2em} = \hspace{0.2em} (\overline{z})^n $$


Récapitulatif des formules des propriétés des nombres complexes

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