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La formule de Moivre

Soit \( n \in \mathbb{Z}\) un entier relatif, et \( z \in \mathbb{C}\) un nombre complexe de module \( |z|= 1\) sous sa forme trigonométrique, tel que :

$$ z = cos(\theta) + isin(\theta) $$


La formule de Moivre nous dit que :

$$ \forall \theta \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, \enspace n \in \mathbb{Z}, $$

$$ \Bigl[cos(\theta) + isin(\theta)\Bigr]^n = cos(n\theta) + isin(n\theta) \qquad (Moivre ) $$


Démonstration

Soit \( n \in \mathbb{Z}\) un entier relatif, et \( z \in \mathbb{C}\) un nombre complexe de module \( |z|= 1\) sous sa forme trigonométrique, tel que :

$$ z = cos(\theta) + isin(\theta) $$


  1. En passant par l'argument d'un complexe

  2. En élevant les deux membres à la puissance \(n\), on a :

    $$ z^n = \Bigl[cos(\theta) + isin(\theta)\Bigr]^n $$

    On sait par la propriété des arguments de nombres complexes élevés à une puissance entière que :

    $$ \forall z \in \mathbb{C}, \enspace \forall n \in \mathbb{Z}, \enspace arg(z^n) = n . arg(z) $$

    Soit ici que,

    $$ arg(z^n) = n . arg(z) $$

    $$ arg(z^n) = n \theta $$

    Si l'argument du complexe \( z^n \) est \( n \theta \), alors ce dernier peut s'écrire sous la forme :

    $$ z^n = cos(n\theta) + isin(n\theta) $$


    Et finalement,

    $$ \forall \theta \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, \enspace n \in \mathbb{Z}, $$

    $$ \Bigl[cos(\theta) + isin(\theta)\Bigr]^n = cos(n\theta) + isin(n\theta) \qquad (Moivre ) $$


  3. En passant par la forme exponentielle d'un complexe

  4. En passant par la forme exponentielle d'un nombre complexe, on peut directement observer que :

    $$ cos(\theta) + isin(\theta) = e^{i\theta} $$

    Puis, en élevant les deux membres à la puissance \(n\) :

    $$ \Bigl[cos(\theta) + isin(\theta)\Bigr]^n = \bigl(e^{i\theta}\bigr)^n $$

    $$ \Bigl[cos(\theta) + isin(\theta)\Bigr]^n = e^{in\theta} $$


    Et finalement,

    $$ \forall \theta \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, \enspace n \in \mathbb{Z}, $$

    $$ \Bigl[cos(\theta) + isin(\theta)\Bigr]^n = cos(n\theta) + isin(n\theta) \qquad (Moivre ) $$

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