French flag English flag
Index des cours

Les formules trigonométriques d'Euler

Formule d'Euler : écriture exponentielle d'un nombre complexe

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R},$$

$$ e^{ix} = cos(x) + i sin(x) \qquad (formule \enspace d'Euler)$$

Formules trigonométriques d'Euler

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, \enspace p \in \mathbb{Z}, $$

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} 2cos(px) = e^{ipx} + e^{-ipx} \\ 2i.sin(px) = e^{ipx} - e^{-ipx} \end{gather*} \qquad (formules \enspace trigonom \textit{é} triques \enspace d'Euler) $$


Démonstration


Formule d'Euler : écriture exponentielle d'un nombre complexe

Soit \( z \in \mathbb{C}\) un nombre complexe de module \( |z|= 1\) sous sa forme trigonométrique tel que :

$$ z = cos(\theta) + isin(\theta)$$

On sait que le développement limité en \(0\) de \(e^x\) est :

$$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} \hspace{0.1em} + \hspace{0.1em} ... \hspace{0.1em} + \hspace{0.1em} \frac{x^n}{n!} + o \bigl(x^n\bigr) $$

Alors si l'on fait un développement limité en \(0\) de \(e^{ix}\), on a :

$$ e^{ix} = 1 + ix + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} \hspace{0.1em} + \hspace{0.1em} ... \hspace{0.1em} + \hspace{0.1em} \frac{(ix)^n}{n!} + o \Bigl((ix)^n\Bigr) $$

$$ e^{ix} = 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - i \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} \hspace{0.1em} + \hspace{0.1em} ... \hspace{0.1em} + \hspace{0.1em} \frac{(ix)^n}{n!} + o \Bigl((ix)^n\Bigr) $$

Or, remarque deux développements limités connus, ceux de \(cos(x)\) et \(sin(x)\) :

$$ cos(x) = 1 -\frac{x^2 }{2!}+ \frac{x^4}{4!} - \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} (-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o \bigl(x^{2n+1}\bigr) $$

$$ sin(x) = x -\frac{x^3 }{3!}+ \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} (-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o \bigl(x^{2n+2}\bigr) $$

$$ e^{ix} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!}\hspace{0.1em} \hspace{0.1em} - \hspace{0.1em} ... \hspace{0.1em} + \hspace{0.1em} (-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o \bigl(x^{2n+1}\bigr) \hspace{0.1em} + ix - i \frac{x^3}{3!} +i \frac{x^5}{5!} - \hspace{0.1em} ... \hspace{0.1em} + i(-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o \bigl(x^{2n+2}\bigr) $$

$$ e^{ix} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!}\hspace{0.1em} \hspace{0.1em} - \hspace{0.1em} ... \hspace{0.1em} + \hspace{0.1em} (-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!} +o \bigl(x^{2n+1}\bigr) \hspace{0.1em} + i \Biggl(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \hspace{0.1em} ... \hspace{0.1em} + \hspace{0.1em} (-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o \bigl(x^{2n+2}\bigr)\Biggr) $$

En admettant que les tous les restes tendent vers \( 0 \) quand \( n \to \infty \) :

$$ e^{ix} = \underbrace { 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!}\hspace{0.1em} \hspace{0.1em} - \hspace{0.1em} ... \hspace{0.1em} + \hspace{0.1em} (-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!}} _\text{ \(cos(x) \)} \hspace{0.1em} + i \times \underbrace {\Biggl(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \hspace{0.1em} ... \hspace{0.1em} + \hspace{0.1em} (-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \Biggr)} _\text{\(sin(x)\)} $$

$$ e^{ix} = cos(x) + i.sin(x) $$

Alors, le complexe \( z \) de module \( |z|= 1\) peut s'écrire sous forme exponentielle :

$$ z = e^{i\theta} = cos(\theta) + i.sin(\theta) $$


Soit finalement,

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R},$$

$$ e^{ix} = cos(x) + i sin(x) \qquad (formule \enspace d'Euler) $$


Par conséquent, n'importe quel complexe \( z \) pourra alors s'écrire :

$$ z = x + iy \Longleftrightarrow z = |z|e^{i\theta} = |z| \bigl(cos(\theta) + i.sin(\theta)\bigr) $$ $$ avec \enspace \left \{ \begin{gather*} |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \\ cos(\theta) = \frac{x}{|z|} \\ sin(\theta) = \frac{y}{|z|} \end{gather*} \right \}$$

Attention à ne pas confondre le "\( \textcolor{#A65757}x \)" du \( \textcolor{#A65757}{e^{ix}} \) la formule d'Euler avec celui dans un nombre complexe écrit \( \textcolor{#A65757}{z = x + iy} \). Dans les formules d'Euler, le "\( \textcolor{#A65757}x \)" représente un angle, ou encore l'argument d'un complexe.


Formules trigonométriques d'Euler

Soit \( z \in \mathbb{C}\) un nombre complexe de module \( |z|= 1\) sous sa forme trigonométrique, et son conjugué \( \overline{z} \) tels que :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} z = cos(\theta) + isin(\theta) \\ \overline{z} = cos(\theta) - isin(\theta) \end{gather*} $$

Avec l'écriture exponentielle des complexes vue plus haut, on peut réécrire ces deux expressions :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} z = e^{i\theta} \\ \overline{z} = e^{-i\theta} \end{gather*} \qquad \Bigl(avec \ \overline{z} = cos(\theta) - isin(\theta) \hspace{0.2em} \Longleftrightarrow \hspace{0.2em} \overline{z} = cos(-\theta) + isin(-\theta) \Bigr) $$

En élevant ces deux expressions à la puissance \(p\) :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} z^p = \bigl(e^{i\theta}\bigr)^p = e^{ip\theta} = cos(p\theta) + isin(p\theta) \\ (\overline{z})^p = \bigl(e^{-i\theta}\bigr)^p = e^{-ip\theta} = cos(p\theta) - isin(p\theta) \end{gather*} $$

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} e^{ip\theta}= cos(p\theta) + isin(p\theta) \qquad (1) \\ e^{-ip\theta} = cos(p\theta) - isin(p\theta) \qquad (2) \end{gather*} $$


En effectuant maintenant l'opération \( (1) + (2) \), on a :

$$ e^{ip\theta} + e^{-ip\theta} = 2cos(p\theta) $$

Par ailleurs, en effectuant l'opération \( (1) - (2) \):

$$ e^{ip\theta} - e^{-ip\theta} = 2isin(p\theta) $$


Et finalement,

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, \enspace p \in \mathbb{Z}, $$

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} 2cos(px) = e^{ipx} + e^{-ipx} \\ 2i.sin(px) = e^{ipx} - e^{-ipx} \end{gather*} \qquad (formules \enspace trigonom \textit{é} triques \enspace d'Euler) $$


Exemples

Notamment dans le cadre de l'intégration, il peut être souhaitable de travailler avec des formes simplifiées de formules trigonométriques.


  1. Linéariser une puissance de fonction trigonométrique

  2. Si l'on souhaite linéariser \(cos^3(x) \), on a :

    $$ cos^3(x) = \Biggl( \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \Biggr)^3 $$

    On sait par le le binôme de Newton que :

    $$\forall (p, n) \in \hspace{0.05em}\mathbb{N}^2, \enspace \forall (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2,$$

    $$ (a + b)^n = \sum_{p = 0}^n \binom{n}{p} a^{n-p}b^p $$

    D'où le fait que :

    $$ \left(e^{ix} + e^{-ix}\right) ^3 = e^{3ix} + 3e^{ix} + 3e^{-ix} + e^{-3ix} $$

    Soit en injectant notre expression :

    $$ cos^3(x) = \frac{e^{3ix} + e^{-3ix} + 3e^{ix} + 3e^{-ix}}{8} $$

    $$ cos^3(x) = \frac{1}{4}\Biggl( \frac{e^{3ix} + e^{-3ix}}{2} \Biggr) + \frac{3}{4}\Biggl( \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \Biggr) $$

    Et finalement,

    $$ cos^3(x) = \frac{1}{4}\Bigl( cos(3x) + 3cos(x) \Bigr)$$


  3. Transformer un produit trigonométrique en somme

  4. Si l'on souhaite obtenir sous forme de somme le produit \(cos(px)sin(qx) \), on a :

    $$cos(px)sin(qx) = \Biggl( \frac{e^{ipx} + e^{-ipx}}{2} \Biggr) \Biggl( \frac{e^{iqx} - e^{-iqx}}{2i} \Biggr) $$

    $$cos(px)sin(qx) = \Biggl( \frac{e^{ix(p+q)} - e^{-ix(-p+q)} + e^{ix(-p+q)} - e^{-ix(p+q)} }{4i} \Biggr) $$

    On remettant un peu d'ordre :

    $$cos(px)sin(qx) = \Biggl( \frac{e^{ix(p+q)} - e^{-ix(p+q)} + e^{ix(-p+q)} - e^{-ix(-p+q)} }{4i} \Biggr) $$

    Et finalement,

    $$cos(px)sin(qx) = \frac{1}{2} \Biggl( sin\Bigl[(p+q)x\Bigr] + sin\Bigl[(-p+q)x\Bigr] \Biggr) $$

Index des cours
Retour en haut de page