Formule d'Euler : écriture exponentielle d'un nombre complexe
$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R},$$
$$ e^{ix} = cos(x) + i sin(x) \qquad (formule \enspace d'Euler)$$
Formules trigonométriques d'Euler
$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, \enspace p \in \mathbb{Z}, $$
$$ \Biggl \{ \begin{gather*} 2cos(px) = e^{ipx} + e^{-ipx} \\ 2i.sin(px) = e^{ipx} - e^{-ipx} \end{gather*} \qquad (formules \enspace trigonom \textit{é} triques \enspace d'Euler) $$
Soit \( z \in \mathbb{C}\) un nombre complexe de module \( |z|= 1\) sous sa forme trigonométrique tel que :
$$ z = cos(\theta) + isin(\theta)$$
On sait que le développement limité en \(0\) de \(e^x\) est :
$$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} \hspace{0.1em} + \hspace{0.1em} ... \hspace{0.1em} + \hspace{0.1em} \frac{x^n}{n!} + o \bigl(x^n\bigr) $$
Alors si l'on fait un développement limité en \(0\) de \(e^{ix}\), on a :
$$ e^{ix} = 1 + ix + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} \hspace{0.1em} + \hspace{0.1em} ... \hspace{0.1em} + \hspace{0.1em} \frac{(ix)^n}{n!} + o \Bigl((ix)^n\Bigr) $$
$$ e^{ix} = 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - i \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} \hspace{0.1em} + \hspace{0.1em} ... \hspace{0.1em} + \hspace{0.1em} \frac{(ix)^n}{n!} + o \Bigl((ix)^n\Bigr) $$
Or, remarque deux développements limités connus, ceux de \(cos(x)\) et \(sin(x)\) :
$$ cos(x) = 1 -\frac{x^2 }{2!}+ \frac{x^4}{4!} - \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} (-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o \bigl(x^{2n+1}\bigr) $$
$$ sin(x) = x -\frac{x^3 }{3!}+ \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} (-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o \bigl(x^{2n+2}\bigr) $$
$$ e^{ix} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!}\hspace{0.1em} \hspace{0.1em} - \hspace{0.1em} ... \hspace{0.1em} + \hspace{0.1em} (-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o \bigl(x^{2n+1}\bigr) \hspace{0.1em} + ix - i \frac{x^3}{3!} +i \frac{x^5}{5!} - \hspace{0.1em} ... \hspace{0.1em} + i(-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o \bigl(x^{2n+2}\bigr) $$
$$ e^{ix} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!}\hspace{0.1em} \hspace{0.1em} - \hspace{0.1em} ... \hspace{0.1em} + \hspace{0.1em} (-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!} +o \bigl(x^{2n+1}\bigr) \hspace{0.1em} + i \Biggl(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \hspace{0.1em} ... \hspace{0.1em} + \hspace{0.1em} (-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o \bigl(x^{2n+2}\bigr)\Biggr) $$
En admettant que les tous les restes tendent vers \( 0 \) quand \( n \to \infty \) :
$$ e^{ix} = \underbrace { 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!}\hspace{0.1em} \hspace{0.1em} - \hspace{0.1em} ... \hspace{0.1em} + \hspace{0.1em} (-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!}} _\text{ \(cos(x) \)} \hspace{0.1em} + i \times \underbrace {\Biggl(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \hspace{0.1em} ... \hspace{0.1em} + \hspace{0.1em} (-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \Biggr)} _\text{\(sin(x)\)} $$
$$ e^{ix} = cos(x) + i.sin(x) $$
Alors, le complexe \( z \) de module \( |z|= 1\) peut s'écrire sous forme exponentielle :
$$ z = e^{i\theta} = cos(\theta) + i.sin(\theta) $$
Soit finalement,
$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R},$$
$$ e^{ix} = cos(x) + i sin(x) \qquad (formule \enspace d'Euler) $$
Par conséquent, n'importe quel complexe \( z \) pourra alors s'écrire :
Attention à ne pas confondre le "\( x \)" du \( e^{ix} \) la formule d'Euler avec celui dans un nombre complexe écrit \( z = x + iy \). Dans les formules d'Euler, le "\( x \)" représente un angle, ou encore l'argument d'un complexe.
Soit \( z \in \mathbb{C}\) un nombre complexe de module \( |z|= 1\) sous sa forme trigonométrique, et son conjugué \( \overline{z} \) tels que :
$$ \Biggl \{ \begin{gather*} z = cos(\theta) + isin(\theta) \\ \overline{z} = cos(\theta) - isin(\theta) \end{gather*} $$
Avec l'écriture exponentielle des complexes vue plus haut, on peut réécrire ces deux expressions :
$$ \Biggl \{ \begin{gather*} z = e^{i\theta} \\ \overline{z} = e^{-i\theta} \end{gather*} \qquad \Bigl(avec \ \overline{z} = cos(\theta) - isin(\theta) \hspace{0.2em} \Longleftrightarrow \hspace{0.2em} \overline{z} = cos(-\theta) + isin(-\theta) \Bigr) $$
En élevant ces deux expressions à la puissance \(p\) :
$$ \Biggl \{ \begin{gather*} z^p = \bigl(e^{i\theta}\bigr)^p = e^{ip\theta} = cos(p\theta) + isin(p\theta) \\ (\overline{z})^p = \bigl(e^{-i\theta}\bigr)^p = e^{-ip\theta} = cos(p\theta) - isin(p\theta) \end{gather*} $$
$$ \Biggl \{ \begin{gather*} e^{ip\theta}= cos(p\theta) + isin(p\theta) \qquad (1) \\ e^{-ip\theta} = cos(p\theta) - isin(p\theta) \qquad (2) \end{gather*} $$
En effectuant maintenant l'opération \( (1) + (2) \), on a :
$$ e^{ip\theta} + e^{-ip\theta} = 2cos(p\theta) $$
Par ailleurs, en effectuant l'opération \( (1) - (2) \):
$$ e^{ip\theta} - e^{-ip\theta} = 2isin(p\theta) $$
Et finalement,
$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, \enspace p \in \mathbb{Z}, $$
$$ \Biggl \{ \begin{gather*} 2cos(px) = e^{ipx} + e^{-ipx} \\ 2i.sin(px) = e^{ipx} - e^{-ipx} \end{gather*} \qquad (formules \enspace trigonom \textit{é} triques \enspace d'Euler) $$
Notamment dans le cadre de l'intégration, il peut être souhaitable de travailler avec des formes simplifiées de formules trigonométriques.
Si l'on souhaite linéariser \(cos^3(x) \), on a :
$$ cos^3(x) = \Biggl( \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \Biggr)^3 $$
On sait par le le binôme de Newton que :
$$\forall n \in \mathbb{N}, \enspace \forall (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2,$$
$$ (a + b)^n = \sum_{p = 0}^n \binom{n}{p} a^{n-p}b^p $$
D'où le fait que :
$$ \left(e^{ix} + e^{-ix}\right) ^3 = e^{3ix} + 3e^{ix} + 3e^{-ix} + e^{-3ix} $$
Soit en injectant notre expression :
$$ cos^3(x) = \frac{e^{3ix} + e^{-3ix} + 3e^{ix} + 3e^{-ix}}{8} $$
$$ cos^3(x) = \frac{1}{4}\Biggl( \frac{e^{3ix} + e^{-3ix}}{2} \Biggr) + \frac{3}{4}\Biggl( \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \Biggr) $$
Et finalement,
$$ cos^3(x) = \frac{1}{4}\Bigl( cos(3x) + 3cos(x) \Bigr)$$
Si l'on souhaite obtenir sous forme de somme le produit \(cos(px)sin(qx) \), on a :
$$cos(px)sin(qx) = \Biggl( \frac{e^{ipx} + e^{-ipx}}{2} \Biggr) \Biggl( \frac{e^{iqx} - e^{-iqx}}{2i} \Biggr) $$
$$cos(px)sin(qx) = \Biggl( \frac{e^{ix(p+q)} - e^{-ix(-p+q)} + e^{ix(-p+q)} - e^{-ix(p+q)} }{4i} \Biggr) $$
On remettant un peu d'ordre :
$$cos(px)sin(qx) = \Biggl( \frac{e^{ix(p+q)} - e^{-ix(p+q)} + e^{ix(-p+q)} - e^{-ix(-p+q)} }{4i} \Biggr) $$
Et finalement,
$$cos(px)sin(qx) = \frac{1}{2} \Biggl( sin\Bigl[(p+q)x\Bigr] + sin\Bigl[(-p+q)x\Bigr] \Biggr) $$
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