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Le théorème de Gauss et son corollaire

Théorème de Gauss

Le théorème de Gauss nous dit que :

$$ \forall (a, b, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{Z}^3, $$

$$ a / bc \enspace et \enspace a \wedge b = 1 \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a/c \qquad (Gauss) $$


Corollaire du théorème de Gauss

Le corollaire du théorème de Gauss nous dit que :

$$ \forall (a, b, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{Z}^3, $$

$$ a / c \enspace et \enspace b / c, \enspace avec \enspace a \wedge b = 1 \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} ab/c \qquad \bigl(Gauss \enspace (corollaire)\bigr) $$


Démonstration

Théorème de Gauss

Soit \((a, b, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{Z}^3\) trois entiers relatifs.

Prenons pour hypothèse que \( a / bc \) et que \( a \) et \( b \) sont premiers entre eux.

Si : \(\Biggl \{ \begin{gather*} a / bc \\ a \wedge b = 1 \end{gather*}\)

Par le théorème de Bézout, on sait que :

$$ \forall (a, b) \in \hspace{0.05em}\mathbb{Z}^2, $$

$$ a \wedge b = 1 \Longleftrightarrow \exists (u, v) \in \hspace{0.05em}\mathbb{Z}^2, \enspace au + bv = 1 $$

Alors,

$$ \exists (k, u, v) \in \hspace{0.05em} \mathbb{Z}^3, \Biggl \{ \begin{gather*} bc = ka \qquad (1) \\ au + bv = 1 \qquad (2) \end{gather*} $$

Avec \( (2) \), on a :

$$ au + bv = 1$$

$$ acu + bcv = c $$

Or, grâce à \( (1) \), on sait que \( bc = ka \), soit :

$$ acu + kav = c $$

$$ a \underbrace{(cu + kv)} _\text{\( \in \hspace{0.05em}\mathbb{Z} \)} = c $$

On a alors \( a / c \).


Soit finalement,

$$ \forall (a, b, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{Z}^3, $$

$$ a / bc \enspace et \enspace a \wedge b = 1 \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a/c \qquad (Gauss) $$


Corollaire du théorème de Gauss

Soit \((a, b, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{Z}^3\) trois entiers relatifs.

Prenons pour hypothèse que \( a / c \), \( b / c \) et que \( a \) et \( b \) sont premiers entre eux.

Si : \( \Biggl \{ \begin{gather*} a / c \\ b / c \end{gather*}\)

Alors,

$$ \exists (k, k') \in \hspace{0.05em}\mathbb{Z}^2, \Biggl \{ \begin{gather*} c = ka \qquad (1) \\ c = k'b \qquad (2) \end{gather*} $$

Alors, de \( (1) \) et \( (2) \) on tire que :

$$ ka = k'b $$

On alors \( b/ak \), mais \( a \wedge b = 1 \).

Or, par le théorème de Gauss, on a vu plus haut que :

$$ \forall (a, b, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{Z}^3, \enspace a / bc \enspace et \enspace a \wedge b = 1 \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a/c $$

D'où l'on peut en conclure que \( b/k \), soit que :

$$ \exists K \in \mathbb{Z}, \enspace k = Kb $$

Mais \( c = ka \), soit,

$$ c = Kba $$

On s'aperçoit finalement que \( ab / c \).


Soit finalement,

$$ \forall (a, b, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{Z}^3, $$

$$ a / c \enspace et \enspace b / c, \enspace avec \enspace a \wedge b = 1 \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} ab/c \qquad \bigl(Gauss \enspace (corollaire)\bigr) $$

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