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Le principe de superposition

Soit \( (n, m) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2 \) deux entiers naturels et :

  1. - une série de fonctions continues \( a_1(x), a_2(x), \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em}, a_n(x) \)

  2. - une série de fonctions \( f_1(x), f_2(x), \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em}, f_m(x) \)

Soit \( y(x) \) une fonction de classe \( \mathbb{C}^{n}\) sur un intervalle \(I\). On note \(y^{(n)}\) sa dérivée \(n\)-ième.


Dans le cadre de la résolution d'une équation différentielle linéaire d'ordre \(n\) où le second membre est une combinaison linéaire de fonctions telle que \( (E)\) :

$$ a_n(x) y^{(n)}(x) \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} a_1(x) y'(x) + a_0(x) y(x) = \lambda_1 f_1(x) + \lambda_2 f_2(x) \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \lambda_m f_m(x) \qquad (E) $$

Avec pour tout \( k \in [\![ 1, m ]\!] \), la fonction \( (y_k) \) solution particulière de l'équation \( (E_k) \) :

$$ a_n(x) y^{(n)}(x) \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} a_1(x) y'(x) + a_0(x) y(x) = f_k(x) \qquad (\tilde E_k) \\ $$


Le principe de superposition nous dit que :

$$ \forall k \in [\![ 1, m ]\!], $$

$$ y_k \enspace solution \enspace \underline{particulière} \enspace de \enspace (\tilde E_k) \Longleftrightarrow \lambda_1 y_1 + \lambda_2 y_2 \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \lambda_m y_m \enspace solution \enspace \underline{particulière} \enspace de \enspace (E) $$


Démonstration

Soit \( (n, m) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2 \) deux entiers naturels et :

  1. - une série de fonctions continues \( a_1(x), a_2(x), \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em}, a_n(x) \)

  2. - une série de fonctions \( f_1(x), f_2(x), \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em}, f_m(x) \)

Soit \( y(x) \) une fonction de classe \( \mathbb{C}^{n}\) sur un intervalle \(I\). On note \(y^{(n)}\) sa dérivée \(n\)-ième.


Nous disposons de l'équation \( (E) \), différentielle linéaire d'ordre \( n\) où le second membre est une combinaison linéaire de fonctions.

$$ a_n(x) y^{(n)}(x) \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} a_1(x) y'(x) + a_0(x) y(x) = \lambda_1 f_1(x) + \lambda_2 f_2(x) \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \lambda_m f_m(x) \qquad (E) $$


  1. Solution particulière de chaque fonction \( f_k(x)\)

  2. Pour tout \( k \in [\![ 1, m ]\!] \), nous disposons alors d'une série d'équations \( (\tilde E_k) \) à résoudre :

    $$ \left \{ \begin{gather*} a_n(x) y^{(n)}(x) \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} a_1(x) y'(x) + a_0(x) y(x) = f_1(x) \qquad (\tilde E_1) \\ a_n(x) y^{(n)}(x) \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} a_1(x) y'(x) + a_0(x) y(x) = f_2(x) \qquad (\tilde E_2) \\ ........................ \\ a_n(x) y^{(n)}(x) \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} a_1(x) y'(x) + a_0(x) y(x) = f_k(x) \qquad (\tilde E_k) \\ ........................ \\ a_n(x) y^{(n)}(x) \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} a_1(x) y'(x) + a_0(x) y(x) = f_m(x) \qquad (\tilde E_m) \\ \end{gather*} \right \}$$

    Dans cette série d'équations, on remarque alors que :

    $$ \forall k \in [\![ 1, m ]\!], \enspace y_k \enspace solution \enspace de \enspace (\tilde E_k) $$

    Si chaque \( y_k \) est solution de \( (\tilde E_k) \), alors chaque \( y_k \) vérifie :

    $$ a_n(x) y_k^{(n)}(x) \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} a_1(x) y_k'(x) + a_0(x) y_k(x) = f_k(x) \qquad (\tilde E_k)$$

    Ainsi, en multipliant \( (\tilde E_k) \) par \( \lambda_k \) :

    $$ a_n(x) \lambda_k y_k^{(n)}(x) \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} a_1(x) \lambda_k y_k'(x) + a_0(x) \lambda_k y_k(x) = \lambda_k f_k(x) \qquad ( \lambda_k \tilde E_k)$$

    Grâce à la linéarité de la dérivée, on sait que :

    $$ \bigl( \lambda f \bigr)' = \lambda f' $$

    Soit dans notre cas,

    $$ \forall k \in [\![ 1, m]\!], \enspace \Bigl( \lambda_k f_k \Bigl)' = \lambda_k f'_k \qquad (1) $$

    Grâce à \( (1) \), on peut arranger voir que :

    $$ a_n(x) (\lambda_k y_k)^{(n)}(x) \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + a_1(x) \bigl(\lambda_k y_k \bigr)'(x) + a_0(x) \bigl(\lambda_k y_k\bigr)(x) = \lambda_k f_k(x) \qquad ( \lambda_k \tilde E_k)$$

    Cette équation permet de montrer que :

    $$ \forall k \in [\![ 1, m]\!], \enspace \lambda_k y_k \enspace solution \enspace de \enspace (\lambda_k \tilde E_k) $$


  3. Solution particulière totale de l'aggrégation des fonctions \( \lambda_k f_k \)

  4. Précédemment, nous avons pu voir que chaque \( \lambda_k y_k \) est solution de \( (\lambda_k \tilde E_k) \) :

    $$ \left \{ \begin{gather*} a_n(x) (\lambda_1 y_1)^{(n)}(x) \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + a_1(x) \bigl(\lambda_1 y_1 \bigr)(x)' + a_0(x) \bigl(\lambda_1 y_1\bigr)(x) = \lambda_1 f_1(x) \qquad (\lambda_1 \tilde E_1) \\ a_n(x) (\lambda_2 y_2)^{(n)}(x) \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + a_1(x) \bigl(\lambda_2 y_2\bigr)(x) ' + a_0(x) \bigl(\lambda_2 y_2\bigr)(x) = \lambda_2 f_2(x) \qquad (\lambda_2 \tilde E_2) \\ ........................ \\ a_n(x) (\lambda_k y_k)^{(n)}(x) \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + a_1(x) \bigl(\lambda_k y_k \bigr)(x)' + a_0(x) \bigl(\lambda_k y_k \bigr)(x) = \lambda_k f_k(x) \qquad (\lambda_k \tilde E_k) \\ ........................ \\ a_n(x) (\lambda_m y_m)^{(n)}(x) \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + a_1(x) \bigl(\lambda_m y_m\bigr)(x) ' + a_0(x) \bigl(\lambda_m y_m \bigr)(x) = \lambda_m f_m(x) \qquad (\lambda_m \tilde E_m) \\ \end{gather*} \right \} $$

    En faisant la somme des \( (\lambda_k \tilde E_k) \) de \(1 \) à \(m \) :

    $$ a_n(x) \underbrace{\Biggl[ \sum_{k=1}^m \lambda_k y_k^{(n)} \Biggr]} _\text{ \( y_p^{(n)} \)} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} a_1(x) \underbrace{\Biggl[ \sum_{k=1}^m \lambda_k y_k' \Biggr]} _\text{ \( y_p' \)} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} a_0(x) \underbrace{\Biggl[ \sum_{k=1}^m \lambda_k y_k \Biggr]} _\text{ \( y_p\)} \hspace{0.2em} = \hspace{0.2em} \sum_{k=1}^m \lambda_k f_k \qquad (E-bis) $$

    Soit une solution particulière totale \( y_p \) qui sera l'addition de toutes les solutions particulières \( \lambda_k y_k \) :

    $$ y_p(x) = \lambda_1 y_1(x) + \lambda_2 y_2(x) \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \lambda_m y_m(x) $$

    Grâce à \( (E-bis) \), on voit que cette fonction est bien solution de \( ( E) \) :

    $$ a_n(x) y_p^{(n)}(x) \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + a_1(x) y_p'(x) + a_0(x) y_p(x) = \lambda_1 f_1(x) + \lambda_2 f_2(x) \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em}+ \hspace{0.2em} \lambda_m f_m(x) \qquad (E) $$


    Soit finalement,

    $$ \forall k \in [\![ 1, m ]\!], $$

    $$ y_k \enspace solution \enspace \underline{particulière} \enspace de \enspace (\tilde E_k) \Longleftrightarrow \lambda_1 y_1 + \lambda_2 y_2 \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \lambda_m y_m \enspace solution \enspace \underline{particulière} \enspace de \enspace (E) $$


Exemple de superposition de solutions


Soit \( (E) \) une \( EDL_1 \) à coefficient constant et \( (H) \) son équation homogène associée :

$$ \Biggl \{ \begin{align*} y'(x) + 2 y(x) = 2x^2 + 3cos(x) + 1 \qquad (E) \\ y'(x) + 2y(x) = 0 \qquad (H) \end{align*} $$

Nous disposons alors d'une série d'équations \( (\tilde E_1), (\tilde E_2), (\tilde E_3) \) à résoudre :

$$ \left \{ \begin{gather*} y'(x) + 2 y(x) = x^2 \qquad \qquad (\tilde E_1) \\ y'(x) + 2 y(x) = cos(x) \qquad (\tilde E_2) \\ y'(x) + 2 y(x) = 1 \qquad \qquad (\tilde E_3) \\ \end{gather*} \right \} $$

  1. Résolution de la première équation \( (\tilde E_1)\)

  2. Cette équation a été résolue dans l'exemple de résolution d'une \( EDL_1 \) à coefficient constant.

    La solution particulière \( y_1 \) de \( (\tilde E_1) \) est :

    $$ y_1(x)= \frac{x^2 }{2}-\frac{x}{2} + \frac{1}{4} $$

  3. Résolution de la seconde équation \( (\tilde E_2)\)

  4. Nous disposons d'une solution à l'équation homogène \( (H) \) (voir l'exemple de résolution d'une \( EDL_1 \) à coefficient constant):

    $$ y_h(x) = Ke^{-2x} $$

    On cherche alors une solution particulière \( y_p \) de la forme :

    $$ y_2(x) = K(x) e^{-2x} \qquad (y_2) $$

    Après variation de la constante , on cherche à déterminer la fonction \( K(x) \) tel que :

    $$ K'(x) = cos(x)e^{2x} $$

    Soit après primitivation :

    $$ K(x) = \int^x cos(t)e^{2t} \hspace{0.2em} dt$$

    On fait une intégration par parties avec pour choix de \( u \) et \( v' \) :

    $$ \Biggl \{ \begin{align*} u(t) = cos(t) \\ v'(t) = e^{2t } \hspace{0.1em} dt \end{align*} $$

    $$ \Biggl \{ \begin{align*} u'(t) = -sin(t) dt \\ v(t) = \frac{1}{2} e^{2t } \end{align*} $$

    $$K(x) = \frac{1}{2} \Biggl[cos(t) e^{2t }\Biggr]^x - \int^x \frac{1}{2} (-sin(t)) \hspace{0.2em} e^{2t } \hspace{0.2em} dt $$

    $$K(x) = \frac{1}{2} \Biggl[cos(t)e^{2t }\Biggr]^x + \int^x \frac{1}{2} sin(t) \hspace{0.2em} e^{2t } \hspace{0.2em} dt $$

    $$K(x) = \frac{1}{2} \Biggl[cos(t) e^{2t }\Biggr]^x + \frac{1}{2} \Biggl( \frac{1}{2} \Biggl[sin(t) e^{2t }\Biggr]^x - \frac{1}{2}\int^x cos(t) e^{2t} \hspace{0.2em} dt \Biggr) $$

    On remarque que \( K(x) \) réapparaît, donc on le remplace :

    $$K(x) = \frac{1}{2} \Biggl[cos(t) e^{2t }\Biggr]^x + \frac{1}{4} \Biggl[sin(t) e^{2t }\Biggr]^x - \frac{1}{4} K(x) $$

    $$ \frac{5}{4} K(x) = \frac{1}{2} cos(x)e^{2x } + \frac{1}{4} sin(x) e^{2x } $$

    $$ K(x) =\frac{8}{20} cos(x) e^{2x } + \frac{4}{20} sin(x) e^{2x } $$

    $$ K(x) = e^{2x } \biggl( \frac{2}{5}cos(x) + \frac{1}{5} sin(x) \biggr) \qquad (K) $$

    On injecte \( K \) dans \( y_p \) et les termes exponentielles s'annihilent :

    $$ y_2(x) = e^{2x } \biggl( \frac{2}{5} cos(x) + \frac{1}{5} sin(x) \biggr) e^{-2x} $$

    La solution particulière \( y_2 \) de \( (\tilde E_2) \) est :

    $$ y_2(x)= \frac{2 }{5}cos(x) +\frac{1}{5}sin(x) $$

  5. Résolution de la troisième équation \( (\tilde E_3)\)

  6. $$ y'(x) + 2 y(x) = 1 \qquad \qquad (\tilde E_3) $$

    Ici, \(\frac{1 }{2} \) est solution évidente.

    La solution particulière \( y_3 \) de \( (\tilde E_3) \) est :

    $$ y_3(x)= \frac{1 }{2} $$

  7. Superposition des solutions \( : \sum \lambda_k y_k \)

  8. On a vu dans la démonstration plus haut que :

    $$ \forall k \in [\![ 1, m ]\!], $$

    $$ y_k \enspace solution \enspace \underline{particulière} \enspace de \enspace (\tilde E_k) \Longleftrightarrow \lambda_1 y_1 + \lambda_2 y_2 \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \lambda_m y_m \enspace solution \enspace \underline{particulière} \enspace de \enspace (E) $$

    Soit dans notre cas :

    $$ 2 y_1(x) + 3 y_2(x) + y_3(x) \enspace solution \enspace \underline{particulière} \enspace de \enspace ( E) $$

    Calculons alors cette solution particulière totale \(y_p\) :

    $$ y_p(x) = 2 y_1(x) + 3 y_2(x) + y_3(x) $$

    $$ y_p(x) = 2 \Biggl( \frac{x^2 }{2}-\frac{x}{2} + \frac{1}{4} \Biggr) + 3 \Biggl(\frac{2 }{5}cos(x) +\frac{1}{5}sin(x) \Biggr) + \frac{1}{2} $$

    $$ y_p(x) = x^2 - x + \frac{1}{2} + \frac{6 }{5}cos(x) +\frac{3}{5}sin(x) + \frac{1}{2} $$

    $$ y_p(x) = x^2 - x + 1 + \frac{6 }{5}cos(x) +\frac{3}{5}sin(x) $$

  9. Vérification de la solution particulière totale \( y_p\)

  10. Si \( y_p \) est solution de \( (E) \), alors :

    $$ y_p'(x) + 2 y_p(x) = 2x^2 + 3cos(x) + 1 $$

    Vérifions le.

    $$ y_p'(x) + 2 y_p(x) = \Biggl( 2x -1 -\frac{6 }{5} sin(x) +\frac{3}{5} cos(x)\Biggr) + 2\Biggl( x^2 - x + 1 + \frac{6 }{5}cos(x) +\frac{3}{5}sin(x) \Biggr) $$

    $$ y_p'(x) + 2 y_p(x) = 2x -1 -\frac{6 }{5} sin(x) +\frac{3}{5} cos(x) + 2x^2 - 2x +2 + \frac{12 }{5}cos(x) + +\frac{6}{5}sin(x)$$

    En remettant un peu d'ordre :

    $$ y_p'(x) + 2 y_p(x) = 2x^2 + \hspace{0.2em} \underbrace{ 2x - 2x} _\text{\(=0\)} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} 2 -1 + \hspace{0.2em} \underbrace{\frac{6}{5}sin(x) -\frac{6 }{5} sin(x)} _\text{\(=0\)} \hspace{0.2em} + \frac{12 }{5}cos(x) +\frac{3}{5} cos(x) $$

    $$ y_p'(x) + 2 y_p(x) = 2x^2 +1 + \frac{15}{5}cos(x) $$

    $$ y_p'(x) + 2 y_p(x) = 2x^2 + 3cos(x) +1 $$

    On a vérifié que \( y_p \) était bien solution de \( (E) \).

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