Soient par défaut deux fonctions \( f, g \), dépendantes de la variable \( x \) telles que :
$$ \Biggl \{ \begin{align*} \forall x \in D_f, \enspace f: x \longmapsto f(x) \\ \forall x \in D_g, \enspace g: x \longmapsto g(x) \end{align*} $$
Fonction multipliée par une constante : \( (\lambda f )' \)
Lorsqu'on dérive une fonction multipliée par une constante \( \lambda \in \mathbb{R} \), on peut sortir celle-ci et dériver la fonction à part.
$$ (\lambda f)' = \lambda f' $$
Somme de deux fonctions : \( (f+g )' \)
$$ \bigl( f + g \bigr)' = f' + g' $$
De la même manière,
$$ \bigl( f \textcolor{#8E5B5B}{-} g \bigr)' = f' \textcolor{#8E5B5B}{-} g' $$
Combinaison linéaire de deux fonctions : \( (\lambda f+ \mu g )' \)
$$ (\lambda f+ \mu g )' = \lambda f'+ \mu g' $$
La dérivée d'une combinaison linéaire de fonctions est la combinaison linéaire de chaque fonction dérivée.
$$ \Biggl( \sum_{k=0}^n \lambda_k f_k \Biggl)' = \sum_{k=0}^n \lambda_k f'_k $$
Produit de deux fonctions : \( (fg )' \)
$$ \left ( f g \right)' = f'g + g'f $$
Soit deux fonctions \(f, g\) de classe \( \mathbb{C}^{\infty}\) sur un intervalle \(I\). On note \(f^{(n)}\) la dérivée \(n\)-ième de \(f\).
La formule de Leibniz nous dit que :
$$ (fg)^{(n)} = \sum_{p = 0}^n \binom{n}{p} f^{(n-p)} \hspace{0.1em} g^{(p)} \qquad (Leibniz ) $$
Inverse de fonction : \( (1 / g )' \)
$$ \left ( 1 \over g \right)' = \frac{g'}{g^2} $$
Quotient de deux fonctions : \( (f / g )' \)
$$ \left ( f \over g \right)' = \frac{f'g - g'f}{g^2} $$
Composée de deux fonctions : \( (f \circ g )' \)
Soit deux fonctions \( f, g \).
On définit une fonction composée \( (f \circ g) \) comme :
Elle admet comme dérivée :
$$ (f \circ g)' = g'(f' \circ g) $$
Soit :
On appelle cela aussi une dérivation en chaîne.
Définissons un nouvel opérateur de composition:
On définit alors une nouvelle fonction \(\Psi_n (x) \) :
Alors, on peut modéliser ce résultat par,
$$ \Psi_n' = f'_n \times \prod_{k=1}^{n-1}\Biggl[ f'_{n-k} \circ \Biggl( \overset{n}{\underset{j= (n - k) + 1}{\bigcirc f_j}} \ \Biggr ) \Biggr] \\ $$
Et sous la forme développée,
$$ \Psi_n' = \Biggl( \overset{n}{\underset{k=1}{\bigcirc f_k}} \ \Biggr )'= f_n' \times \bigl( f_{n-1}' \circ f_n \bigr) \times \ ... \ \times \bigl(f_1' \circ f_2 \circ \ ... \ \circ f_{n-1} \circ f_n \bigr)$$
Récapitulatif des dérivées de fonctions composées
Fonction réciproque : \( (f^{-1} )' \)
Soit une fonction \( f \) telle que :
On définit sa fonction réciproque par :
La fonction réciproque admet comme dérivée \( (f^{-1})' \) :
$$ ( f^{-1} )' = \frac{1}{ (f' \circ f^{-1})} $$
Récapitulatif des dérivées d'opérations de fonctions
Soit \( \lambda \in \mathbb{R} \) un réel quelconque.
Avec la définition de la dérivée, on a :
On peut factoriser par \( \lambda \):
Or, on sait grâce aux formules des limites que :
Soit :
$$ (\lambda f)' = \lambda f'$$
Avec la définition de la dérivée, on a :
La limite d'une somme étant la somme des limites :
$$ \bigl( f + g \bigr)' = f' + g'$$
De la même manière, une différence étant la somme d'un élément négatif, il s'en suit que :
$$ \bigl( f \textcolor{#8E5B5B}{-} g \bigr)' = f' \textcolor{#8E5B5B}{-} g' $$
En considérant la fonction \( y \) comme une fonction dépendante de deux variables indépendantes \(f \) et \( g \) :
On a alors une dérivée partielle :
Soit en dérivant maintenant par rapport à \(x \) :
Soit finalement,
$$ \bigl( f + g \bigr)' = f' + g'$$
Avec la dérivée d'une fonction somme,
Enfin, avec la dérivée d'une fonction multipliée par une constante \( \lambda \), on peut directement conclure que:
$$ (\lambda f+ \mu g )' = \lambda f'+ \mu g' $$
De même, en répétant cette opération plusieurs fois, on peut établir que :
$$ \Biggl( \sum_{k=0}^n \lambda_k f_k \Biggl)' = \sum_{k=0}^n \lambda_k f'_k $$
Avec la définition de la dérivée, on a :
Ajoutons le terme \( f(x + h)g(x) \), puis retirons le aussitôt, afin de conserver l'intégrité de notre expression initiale :
On factorise par \( f(x + h) \) et \( g(x) \) :
La limite d'un produit étant le produit des limites :
On a à présent :
$$ \left ( fg \right)'(x) = lim_{h \to 0 } \enspace g(x) . \left( lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ f(x+h) - f(x)}{h} \right) \ + \ lim_{h \to 0 } \enspace f(x+h) \left( lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ g(x+h) - g(x)}{h} \right) $$
Et finalement,
$$ \left ( f g\right)' = f'g + g'f $$
En considérant la fonction \( y\) comme une fonction dépendante de deux variables indépendantes \(f \) et \( g \) :
On a alors une dérivée partielle :
Soit en dérivant maintenant par rapport à \(x \) :
Soit finalement,
$$ \left ( f g\right)' = f'g + g'f $$
Soit deux fonctions \(f, g\) de classe \( \mathbb{C}^{\infty}\) sur un intervalle \(I\). On note \(f^{(n)}\) la dérivée \(n\)-ième de \(f\).
On sait que la dérivée d'un produit de fonctions vaut :
De même, si l'on dérive à nouveau,
Un pattern similaire au binôme de Newton transparaît dans cette équation.
En effet, cela peut nous faire penser à :
$$ \Biggl \{ \begin{align*} \left ( f g \right)^{(2)} \hspace{0.1em } = f^{(2)}g + 2g'f' + g^{(2)}f \qquad \\ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \qquad (bin \textit{ô} me \ de \ Newton) \end {align*} $$
Re-dérivons à nouveau,
Il semble que les dérivations successives du produit donne :
Tentons de le démontrer par récurrence.
Essayons de montrer que la proposition suivante \((P_n)\) est vraie :
$$ \forall n \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}, \enspace (fg)^{(n)} = \sum_{p = 0}^n \binom{n}{p} f^{(n-p)} \hspace{0.1em} g^{(p)} \qquad (P_n) $$
Soit que pour tout \(k\) :
$$ (fg)^{(k)} = \binom{k}{0} f^{(k)} \hspace{0.1em} g^{(0)} + \binom{k}{1} f^{(k-1)} \hspace{0.1em} g^{(1)} + \binom{k}{2} f^{(k-2)} \hspace{0.1em} g^{(2)} \enspace + ... + \enspace \binom{k}{k-1} f^{(1)} \hspace{0.1em} g^{(k-1)} + \binom{k}{k} f^{(0)} \hspace{0.1em} g^{(k)} \qquad (P_{k}) $$
Vérifions que c'est bien vrai pour le premier terme, c'est-à-dire lorsque \( n = 0 \).
C'est simplement le produit \((fg)\) avant dérivation.
Donc \((P_0)\) est vraie.
Soit \( k \in \mathbb{N} \) un entier naturel.
On suppose que la proposition \((P_k)\) est vrai pour tout \( k \).
Vérifions que c'est bien le cas pour \((P_{k + 1})\).
Soit que :
$$ (fg)^{(k+1)} = \binom{k+1}{0} f^{(k+1)} \hspace{0.1em} g^{(0)} + \binom{k+1}{1} f^{(k-1)} \hspace{0.1em} g^{(1)} + \binom{k+1}{2} f^{(k-1)} \hspace{0.1em} g^{(2)} \enspace + ... + \enspace \binom{k+1}{k} f^{(1)} \hspace{0.1em} g^{(k)} + \binom{k+1}{k+1} f^{(0)} \hspace{0.1em} g^{(k+1)} \qquad (P_{k+1}) $$
Repartons de \((fg)^{(k)}\) et calculons-en la dérivée.
$$ (fg)^{(k)} = \binom{k}{0} f^{(k)} \hspace{0.1em} g^{(0)} + \binom{k}{1} f^{(k-1)} \hspace{0.1em} g^{(1)} \enspace + ... + \enspace \binom{k}{k-1} f^{(1)} \hspace{0.1em} g^{(k-1)} + \binom{k}{k} f^{(0)} \hspace{0.1em} g^{(k)} \qquad (P_{k}) $$
$$ \left ( (fg)^{(k)} \right)' = \binom{k}{0} \left ( f^{(k+1)} \hspace{0.1em} g^{(0)} + f^{(k)} \hspace{0.1em} g^{(1)} \right) + \binom{k}{1} \left (f^{(k)} \hspace{0.1em} g^{(1)} + g^{(2)} f^{(k -1 )} \right) \enspace + ... + \enspace \binom{k}{k-1} \left( f^{(2)} \hspace{0.1em} g^{(k-1)} + g^{(k)}f^{(1)} \right) + \binom{k}{k}\left( f^{(1)} g^{(k)} + g^{(k+1)}f^{(0)} \right) $$
$$ (fg)^{(k+1)} = \textcolor{#606B9E}{\binom{k}{0}} \left ( f^{(k+1)} \hspace{0.1em} g^{(0)} \right) + \textcolor{#446e4f}{\left[\binom{k}{0} + \binom{k}{1}\right]} \left (f^{(k)} \hspace{0.1em} g^{(1)} \right) + \textcolor{#8E5B5B}{\left[\binom{k}{1} + \binom{k}{2}\right]} \left (f^{(k -1 )} g^{(2)} \right) \enspace + ... + \enspace \textcolor{#7C578A}{\left[\binom{k}{k-1} + \binom{k}{k}\right]} \left (f^{(1)} \hspace{0.1em} g^{(k)} \right) + \textcolor{#606B9E}{\binom{k}{k}} \left ( f^{(0)} \hspace{0.1em} g^{(k+1)} \right) $$
Mais on sait grâce à la formule de Pascal, que :
Soit aussi que :
Alors grâce à \( (Pascal^*) \), on a :
$$ (fg)^{(k+1)} = \textcolor{#606B9E}{\binom{k}{0}} \left ( f^{(k+1)} \hspace{0.1em} g^{(0)} \right) + \textcolor{#446e4f}{\binom{k+1}{1}} \left (f^{(k)} \hspace{0.1em} g^{(1)} \right) + \enspace + ... + \enspace \textcolor{#7C578A}{\binom{k+1}{k}} \left (f^{(1)} \hspace{0.1em} g^{(k)} \right) + \textcolor{#606B9E}{\binom{k}{k}} \left ( f^{(0)} \hspace{0.1em} g^{(k+1)} \right) $$
Or, on remarque :
De même,
Et finalement que :
$$ (fg)^{(k+1)} = \binom{k+1}{0} \left ( f^{(k+1)} \hspace{0.1em} g^{(0)} \right) + \binom{k+1}{1} \left (f^{(k)} \hspace{0.1em} g^{(1)} \right) \enspace + ... + \enspace \binom{k+1}{k} \left (f^{(1)} \hspace{0.1em} g^{(k)} \right) + \binom{k+1}{k+1} \left ( f^{(0)} \hspace{0.1em} g^{(k+1)} \right) $$
On peut réécrire ce terme sous la forme de somme, et on retrouve bien notre proposition \(( P_{k + 1} ) \) :
Alors, \((P_{k + 1})\) est vraie.
La proposition \((P_n)\) est vraie pour son premier terme \(n_0 = 0\) et est héréditaire de proche en proche pour tout \(k \in \mathbb{N}\).
Par le principe de récurrence, elle ainsi est vraie pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Et finalement,
$$ (fg)^{(n)} = \sum_{p = 0}^n \binom{n}{p} f^{(n-p)} \hspace{0.1em} g^{(p)} \qquad (Leibniz ) $$
Soit \(g \neq 0\) une fonction non nulle.
Avec la définition de la dérivée, on a :
Mettons le numérateur au même dénominateur.
On reconnaît la définition de la dérivée de \(g \) :
Et finalement,
$$ \left ( 1 \over g \right)' = -\frac{ g' }{g^2}$$
En considérant la fonction \( y\) comme une fonction dépendante de la variable \(g \) :
Soit en dérivant maintenant par rapport à \(x \) :
Soit finalement,
$$ \left ( 1 \over g \right)' = -\frac{ g' }{g^2}$$
Soient \(f\) une fonction et \(g \neq 0\) une fonction non nulle.
Avec la définition de la dérivée, on a :
On met le numérateur sous le même dénominateur :
Ajoutons le terme \( f(x)g(x) \), puis retirons le aussitôt, afin de conserver l'intégrité de notre expression.
On factorise par \( f(x) \) et \( g(x) \) :
À présent, séparons notre équation en deux parties distinctes :
$$ \left ( f \over g \right)'(x) = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{1}{g(x).g(x+h)} \enspace . \biggl[ lim_{h \to 0 } \enspace \biggl( \frac{ g(x).\left(f(x+h) - f(x)\right)}{h} - \frac{ f(x)\left(g(x + h) - g(x)\right)}{h} \biggr) \Biggr] $$
La limite d'une différence étant la différence des limites :
Dans l'expression entre crochets on obtient :
$$ \left ( f \over g \right)'(x) = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{1}{g(x).g(x+h)} \enspace . \biggl[ lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ g(x).\left(f(x+h) - f(x)\right)}{h} - lim_{h \to 0 } \enspace \frac{f(x)\left(g(x + h) - g(x)\right)}{h} \Biggr] $$
De même, la limite d'un produit est le produit des limites :
$$ \left ( f \over g \right)'(x) = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{1}{g(x).g(x+h)} \enspace . \biggl[ \Bigl( lim_{h \to 0 } \enspace g(x) \Bigr). lim_{h \to 0 } \enspace \Biggl( \frac{ f(x+h) - f(x)}{h}\Biggr) - \Bigl( lim_{h \to 0 } \enspace f(x) \Bigr).lim_{h \to 0 } \enspace \Biggl( \frac{g(x + h) - g(x)}{h} \Biggr) \Biggr] $$
Enfin, en appliquant la limite on obtient :
Soit finalement,
$$ \left ( f \over g \right)' = \frac{f'g - g'f}{g^2} $$
En considérant la fonction \( y\) comme une fonction dépendante de deux variables indépendantes \(f \) et \( g \) :
On a alors une dérivée partielle :
En mettant les deux termes sous le même dénominateur, on a :
Soit en dérivant maintenant par rapport à \(x \) :
Soit finalement,
$$ \left ( f \over g \right)' = \frac{f'g - g'f}{g^2} $$
Soit deux fonctions \( f, g \).
On définit une fonction composée \( (f \circ g) \) comme :
Avec la définition de la dérivée, on a :
On multiplie maintenant par un quotient égal à \(1\), ce qui ne change rien :
La limite d'un produit est le produit des limites :
On peut écrire :
En utilisant le changement de variable :
Lorsque \( h \to 0 \), alors \( H \to 0 \).
De même, on a considéré plus haut que :
Alors,
Soit finalement,
$$ (f \circ g)' = g'(f' \circ g) $$
On appelle cela aussi une dérivation en chaîne.
Définissons un nouvel opérateur de composition:
On définit alors une nouvelle fonction \(\Psi_n (x) \) :
Telle que :
$$ \forall n \in \mathbb{N}, \ \forall k \in [\![1, n ]\!], \ \Psi_k = \left \{ \begin{align*} \Psi_1 = f_1 \\ \Psi_2 = (f_1 \circ f_2 ) \\ \Psi_3 = (f_1 \circ f_2 \circ f_3 ) \\ \Psi_4 = (f_1 \circ f_2 \circ f_3 \circ f_4 ) \\ ... \\ \Psi_n = (f_1 \circ f_2 \circ \ ... \ \circ f_{n-1}\circ f_n ) \end{align*} \right \} $$
En utilisant plusieurs dérivations en chaîne, on obtient :
$$ \forall n \in \mathbb{N}, \ \forall k \in [\![1, n ]\!], \ \bigl(\Psi_k \bigl)' = \left \{ \begin{align*} \Psi_1 ' = f_1 ' \\ \Psi_2 ' = f_2' \times (f_1' \circ f_2 ) \\ \Psi_3 ' = f_3' \times \bigl( f_2' \circ f_3 \bigr) \times \bigl(f_1' \circ f_2 \circ f_3 \bigr) \\ \Psi_4' = f_4' \times \bigl( f_3' \circ f_4 \bigr) \times \bigl(f_2' \circ f_3 \circ f_4 \bigr) \times \bigl(f_1' \circ f_2 \circ f_3 \circ f_4 \bigr) \\ ... \\ \Psi_n' = f_n' \times \bigl( f_{n-1}' \circ f_n \bigr) \times \bigl( f_{n-2}' \circ f_{n-1} \circ f_n \bigr) \times \ ... \ \times \bigl(f_1' \circ f_2 \circ \ ... \ \circ f_{n-1} \circ f_n \bigr) \\ \end{align*} \right \} $$
Alors, on peut modéliser ce résultat par,
$$ \Psi_n' = f'_n \times \prod_{k=1}^{n-1}\Biggl[ f'_{n-k} \circ \Biggl( \overset{n}{\underset{j= (n - k) + 1}{\bigcirc f_j}} \ \Biggr ) \Biggr] \\ $$
Et sous la forme développée,
$$ \Psi_n' = \Biggl( \overset{n}{\underset{k=1}{\bigcirc f_k}} \ \Biggr )'= f_n' \times \bigl( f_{n-1}' \circ f_n \bigr) \times \ ... \ \times \bigl(f_1' \circ f_2 \circ \ ... \ \circ f_{n-1} \circ f_n \bigr)$$
Pour calculer la dérivée de \( cos(2x) \), on pose :
$$ \Biggl \{ \begin{align*} g(x) = 2x \\ f(x) = cos(x) \end{align*} $$
Ensuite, on calcule leur dérivée respective :
$$ \Biggl \{ \begin{align*} g'(x) = 2 \\ f'(x) = -sin(x) \end{align*} $$
On applique alors la formule:
Et,
On a ici une triple dérivation en chaîne :
$$ \left \{ \begin{align*} h(x) = x^2 \\ g(x) = e^x \\ f(x) = \sqrt{x} \end{align*} \right \} $$
On calcule leur dérivée respective :
$$ \left \{ \begin{align*} h'(x) = 2x\\ g'(x) = e^x \\ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \end{align*} \right \} $$
Et on applique la formule deux fois de suite :
Soit :
Ceci est un tableau récapitulatif des fonctions composées de type \(f(u(x))\).
Dans tous ces différents cas, il faudra selon la fonction intermédiaire \(u\), restreindre le domaine de définition de \(f(u)\) au plus à celle de \(u\).
|
$$ \underline{condition} $$
|
$$ \underline{fonction \ compos\textit{é}e} $$
|
$$ \underline{condition} $$
|
$$ \underline{d\textit{é}riv\textit{é}e} $$
|
|---|---|---|---|
|
$$ \forall u \in \mathbb{R} $$
|
$$ f(u) = u^2 $$
|
$$ \forall u \in \mathbb{R} $$
|
$$ f'(u) = u' \times 2u $$
|
|
$$ lorsque \ x \ est \ d\textit{é}fini $$
|
$$ f(u) = u^n $$
|
$$ \forall u \in \hspace{0.03em}\mathcal{D}_{f} $$
|
$$ f'(u) = u' \times nu^{n-1} $$
|
|
$$ \forall u \in \hspace{0.03em}\mathcal{D}_{f} $$
|
$$ f(u) = n^u $$
|
$$ \forall u \in \hspace{0.03em}\mathcal{D}_{f} $$
|
$$ f'(u) = u' \times ln(n)n^u $$
|
|
$$ avec \hspace{0.4em} \mathcal{D}_{f} \hspace{0.05em} = \hspace{0.05em} \forall u \in \mathbb{R}, \enspace \forall n \in \mathbb{R_+^*} $$
|
|||
|
$$ \forall u \in \hspace{0.05em} \mathbb{R^+}$$
|
$$ f(u) = \sqrt{u} $$
|
$$ \forall u \in \hspace{0.05em} \mathbb{R^*_+}$$
|
$$ f'(u) = \frac{u'}{2\sqrt{u}} $$
|
|
$$ \forall u \in \hspace{0.05em} \mathbb{R^*}$$
|
$$ f(u) = \frac{1}{u} $$
|
$$ \forall u \in \hspace{0.05em} \mathbb{R^*}$$
|
$$ f'(u) = - \frac{u'}{u^2} $$
|
|
$$ \forall u \in \mathbb{R}$$
|
$$ f(u) = e^u $$
|
$$ \forall u \in \mathbb{R}$$
|
$$ f'(u) = u' \times e^u $$
|
|
$$ \forall u \in \mathbb{R^*_+}$$
|
$$ f(u) = ln(u) $$
|
$$ \forall u \in \mathbb{R^*_+}$$
|
$$ f'(u) = \frac{u'}{u} $$
|
|
$$ \forall u \in \mathbb{R^*}$$
|
$$ f(u) = ln|u| $$
|
$$ \forall u \in \mathbb{R^*}$$
|
$$ f'(u) = \frac{u'}{u} $$
|
|
$$ \forall u \in \hspace{0.03em}\mathcal{D}_{f} $$
|
$$ f(u) = log_n{u} $$
|
$$ \forall u \in \hspace{0.03em}\mathcal{D}_{f} $$
|
$$ f'(u) = \frac{u'}{u} \frac{1}{ln(n)} $$
|
|
$$ avec \hspace{0.4em} \mathcal{D}_{f} \hspace{0.05em} = \hspace{0.05em} \forall u \in \mathbb{R_+^*}, \enspace \forall n \in \mathbb{R^*_+} $$
|
|||
|
$$ \forall u \in \mathbb{R}$$
|
$$ f(u) = sin(u) $$
|
$$ \forall u \in \mathbb{R}$$
|
$$ f'(u) = u' \times cos(u) $$
|
|
$$ \forall u \in \mathbb{R}$$
|
$$ f(u) = cos(u) $$
|
$$ \forall u \in \mathbb{R}$$
|
$$ f'(u) = -u' \times sin(u) $$
|
|
$$ \forall u \in \hspace{0.03em}\mathcal{D}_{f} $$
|
$$ f(u) = tan(u) $$
|
$$ \forall u \in \hspace{0.03em}\mathcal{D}_{f} $$
|
$$ f'(u) = -u' \times (1 + tan^2(u)) $$
|
|
$$ avec \hspace{0.4em} \mathcal{D}_{f} \hspace{0.05em} = \hspace{0.05em} \forall k \in \mathbb{Z}, \enspace \forall u \in \biggl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \Bigl\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \Bigr\} \biggr] $$
|
|||
Soit une fonction \( f \) telle que :
On définit sa fonction réciproque par :
Nous allons repartir du résultat de la dérivée d'une fonction composée :
Ici, nous allons composer avec \( f \) et sa réciproque \( f^{-1} \) :
Or, on sait que par la définition d'une fonction réciproque que :
Soit :
On injecte le membre de droite de \( (1) \) dans celui de gauche de \( (2) \), on a :
Et finalement,
$$ ( f^{-1} )'= \frac{1}{ (f' \circ f^{-1})} $$
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