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Le lien entre intégrales et primitives

Soit une fonction \(f\) continue sur un intervalle \(I = [a, b]\).


À partir d'une intégrale définie, il est possible de déterminer une primitive \(S \) de \(f\).

Cette primitive sera la primitive de \(f\) qui s'annule en \(a\) :

$$ S(x)= \int_a^x \ f(t) dt $$

Inversement, à partir d'une primitive \(F\) de la fonction \(f\), il est possible de déterminer l'intégrale entre deux bornes \(a\) et \(x\).

$$ \int_a^x \ f(t) dt = F(x) - F(a) $$

Ou plus précisément, pour deux bornes \(a\) et \(b\) :

$$\int_a^x \ f(t) dt = F(b) - F(a) $$


Démonstration

Soit une fonction \(f : x \longmapsto f(x) \) continue, positive et croissante sur un intervalle \(I = [a, b]\).

Soit \( n \in \mathbb{N}\) un entier naturel.


  1. Notion d'intégrale définie

  2. Subdivisons cet intervalle en une série de points \(\bigl \{x_0, \ x_1, \ ...,\ x_i, \ x_{i+1}, \ ..., \ x_{n}, \ x_{n+1} \bigr\} \) théoriquement très petits, et telle que la figure suivante :

    Une fonction f continue avec des subdivisions x1, x2, ..., xi sur l'axe des abscisses

    On posera alors \(\Delta_{x} \), la différence formée entre un point et celui d'après :

    $$ \forall i \in n, \ \Delta_{x} = x_{i+1}- x_{i} $$

    Considérons à présent les termes \( m_i, \ M_i\), les minimum et maximum respectif des \( \Bigl\{ f(x_i), f(x_{i+1}) \Bigr \} \) :

    $$ \forall i \in n, \ \Biggl \{ \begin{gather*} m_i = min \Bigl\{ f(x_i), f(x_{i+1}) \Bigr \} \\ M_i = max \Bigl\{ f(x_i), f(x_{i+1}) \Bigr \} \\ \end{gather*}$$

    Considérons de même les sufaces \( s_i \) entre l'axe des abscisses et la courbe de \( f\) :

    Faisons apparaitre ces nouveaux éléments sur la figure suivante :

    La fonction f avec ses minimum/maximum et aires sous la courbe formées par ses extrema

    Par ce qui a été vu plus haut, il vient naturellement que :

    $$\forall i \in n, \ \forall x \in [x_i, \ x_{i+1}], \ m_i \leqslant f(x_i) \leqslant M_i$$

    En multipliant chaque membre par \( \Delta_{x} \), on encadre \( f(x_i) \Delta_{x} \) et \( f(x_{i+1}) \Delta_{x} \) par deux rectangles :

    $$ m_i \Delta_{x} \leqslant f(x_i) \Delta_{x} \leqslant M_i \Delta_{x}$$

    Effectuons la somme des ces élements de \( 0 \) jusque \( n \), afin de balayer l'ensemble de l'intervalle \([a, b]\).

    $$\ \sum_{i=0}^n m_i \Delta_{x} \ \leqslant \ \sum_{i=0}^n f(x_i) \Delta_{x} \ \leqslant \ \sum_{i=0}^n M_i \Delta_{x} $$

    En rétrecissons faisant tendre \( \Delta_{x} \to 0 \) (c'est-à-dire en faisant tendre \( n \to +\infty \)), les \( m_i \) et \( M_i \) vont tous deux tendre \( f(x_i) \) :

    $$ \underbrace {lim_{\Delta_{x} \to 0} \ \Biggl[ \sum_{i=0}^n f(x_i) \ \Delta_{x}\Biggr ] } _\text{ \( S_{m_i} \)} \ \leqslant S \ \leqslant \hspace{0.1em} \underbrace { lim_{\Delta_{x} \to 0} \ \Biggl[\sum_{i=0}^n f(x_i)\ \Delta_{x} \Biggr ] } _\text{ \( S_{M_i} \)} $$

    Alors, les sommes \( S_{m_i} \) et \( S_{M_i} \) vont tendre vers une limite commune, \( S \) qui est l'aire sous la courbe de \( f \) dans l'intervalle \([a, b]\).

    $$ S = lim_{\Delta_{x} \to 0} \ \sum_{i=0}^n f(x_i) \ \Delta_x $$

    On appellera \( S \) l'intégrale définie de la fonction \( S \) dans l'intervalle \([a, b]\), et on la notera :

    $$ S= \int_a^b \ f(x) dx $$

    Le notation \( \int \) symbolise la notion de somme.

    Les abscisses \(a \) et \(b \) sont respectivement les bornes inférieure et supérieure de l'intégrale.


    1. Cas d'une fonction décroissante

    2. Pour une fonction décroissante, on obtiendra le même résultat car les \( m_i \) et \( M_i \) seront intervertis, mais ils tendront de la même manière vers \( f(x) dx \).


    3. Cas d'une fonction négative

    4. Dans le cas d'une fonction négative, tous les termes \( f(x) dx \) seront eux aussi négatifs. On obtiendra alors une aire "négative".

      C'est la propriété de positivité de l'intégrale.


  3. Fonction définie par une intégrale

  4. À présent, considérons une borne supérieure variable \(x\).

    Pour éviter toute confusion entre \(x\) la variable représentant la borne supérieure de l'intégrale et \(x\) la variable de la fonction \(f(x)\), il est préférable d'introduire une nouvelle notation avec une variable \(t\) dans l'intégrande :

    $$ S(x)= \int_a^x \ f(t) dt $$

    \(t\) étant ici une variable muette, qui disparaîtra après intégration.

    Par ailleurs, on pourra utiliser \(t\) ou tout autre variable, toutes ces écritures sont équivalentes:

    $$ S(x)= \int_a^x \ f(t) \ dt = \int_a^x \ f(u) \ du = \int_a^x \ f(\phi) \ d \phi \ ... etc.$$


    Maintenant, donnons un accroissement \(h\) à la fonction \(S(x)\) tel que :

    $$ S(x + h)= \int_a^{x+h} \ f(t) dt $$

    On a par suite :

    $$ S(x + h)- S(x )= \int_a^{x+h} \ f(t) dt - \int_a^{x} \ f(t) dt $$

    On sait par les propriétés de l'intégrale que :

    $$ \forall (a,b) \in [a,b], $$

    $$ \int_{b}^a f(t) \hspace{0.2em}dt = -\int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt $$

    Soit,

    $$ S(x + h)- S(x )= \int_a^{x+h} \ f(t) dt + \int_x^{a} \ f(t) dt $$

    Avec la la relation de Chasles appliquée aux intégrales, on sait que :

    $$ \forall (a, b, \lambda) \in [a,b], \enspace a \leqslant \lambda \leqslant b, $$

    $$ \int_{a}^{\lambda} f(t) \hspace{0.2em}dt + \int_{\lambda}^b f(t) \hspace{0.2em}dt = \int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt $$

    Alors,

    $$ S(x + h)- S(x )= \int_x^{x+h} \ f(t) dt \qquad(1) $$

    Puisque l'on a une continuité de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([x, \ x + h ] \), on peut appliquer le théorème de la moyenne.

    Le le théorème de la moyenne nous dit que :

    $$ \forall (a,b) \in [a, b], \enspace a < b, $$

    $$ \exists c \in ]a,b[, \enspace f(c) = \frac{1}{(b-a)} \int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt$$

    Soit dans notre cas,

    $$ \exists c \in ]x, \ x+ h[, \enspace f(c) = \frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} f(t) \hspace{0.2em}dt \qquad(2) $$

    On injecte \((1)\) dans \((2)\) :

    $$ f(c) = \frac{S(x + h)- S(x )}{h}$$

    En passant à la limite de ce taux de variations quand \(h \to 0\), on obtient la dérivée.

    $$ lim_{h \to 0} \ f(c) = lim_{h \to 0} \ \frac{S(x + h)- S(x )}{h}$$

    Lorsque \(h \to 0\), \(c \to x\), soit :

    $$ f(x) = S'(x)$$

    Alors, si la fonction \(f\) est continue sur l'intervalle \([a, b]\), elle admettra pour primitive dans cet intervalle l'intégrale :

    $$ S(x)= \int_a^x \ f(t) dt $$

    \(S(x)\) est la primitive de la fonction \(f\) qui s'annule au point \(a\) :

    $$ S(a)= \int_a^a \ f(t) dt = 0$$

    Or, la fonction \(f\) admet une infinité de primitives toute à une constante près. Sa primitive générale sera donc de la forme :

    $$ F(x)= \int_a^x \ f(t) dt + C \qquad (C \in \mathbb{R}) \qquad(3) $$


  5. Notion d'intégrale indéfinie

  6. Soit \( \lambda \) une valeur comprise dans l'intervalle \([a, x]\). Effectuons la relation de la relation de Chasles entre \( a \) et \(x\) à partir de l'expression \((3)\).

    $$ F(x)= \int_{a}^\lambda \ f(t) dt + \int_{\lambda}^x \ f(t) dt + C \qquad (C \in \mathbb{R})$$

    $$ F(x)= F(\lambda) + \int_{\lambda}^x \ f(t) dt + C \qquad (C \in \mathbb{R})$$

    On voit qu'indépendamment de la borne inférieure, la fonction \( F \) est toujours une primitive de \( f \).

    $$ F(x)= \int_{\lambda}^x \ f(t) dt + \hspace{0.2em} \underbrace {C + F(\lambda)} _\text{\( C_2 \hspace{0.2em} \in \hspace{0.2em} \mathbb{R} \)} \qquad (C \in \mathbb{R})$$

    $$ F(x)= \int_{\lambda}^x \ f(t) dt + \hspace{0.2em} C_2 \qquad (C_2 \in \mathbb{R})$$

    On peut donc considérer que la fonction \(f\) admet pour primitive générale :

    $$ F(x)= \int^x \ f(t) dt$$

    Qui est exprimée uniquement en fonction de sa borne supérieure.


  7. Formule du théorème fondamental du calcul intégral

  8. Par conséquent, si l'on sait calculer l'intégrale définie d'une fonction \(f\) continue sur un intervalle \([a, x]\), on sait trouver une primitive de \(f\).

    Inversement, en trouvant une primitive de \(f\), on sait calculer l'intégrale définie sur tout intervalle \([a, x]\).

    Même si dans la pratique, il est plus facile de trouver une primitive, puis de calculer son intégrale.


    En effet, puisque \(f\) est continue sur \([a, b]\), elle admet pour primitive l'intégrale définie :

    $$ S(x)= \int_a^x \ f(t) dt $$

    Mais \(F\) est aussi une primitive de \(f\) sur \([a, b]\).

    $$ F(x)= \int_a^x \ f(t) dt + C \qquad (C \in \mathbb{R}) \qquad(3) $$

    $$ F(x)= S(x) + C $$

    Et comme \(S\) est la primitive de \(f\) qui s'annule en \(a\),

    $$ F(a)= S(a) + C \Longrightarrow F(a)= C $$

    Alors, l'expression \((3)\) devient :

    $$ F(x)= \int_a^x \ f(t) dt + F(a) $$

    Et plus particulièrement, entre les bornes \(a\) et \(b \) :

    $$ F(b) - F(a) = \int_a^b \ f(t) dt $$


Exemple


Nous allons étudier l'intégrale suivante de la fonction \(f : x \longmapsto x^2\).

$$ S(x)= \int_a^x \ t^2 \ dt $$

La fonction \(f\) est continue et strictement positive sur \([a, x]\).

On a vu que sachant calculer l'intégrale définie d'une fonction \(f\) continue sur un intervalle \([a, x]\), on sait trouver une primitive de \(f\). On va donc pouvoir déterminer une primitive de \(f : x \longmapsto x^2\) sur l'intervalle \([a, x]\).

Et inversement, en trouvant une primitive de \(f\), on sait calculer l'intégrale définie sur tout intervalle \([a, x]\).

Nous allons alors effectuer ces deux procédés.


  1. Détermination d'une primitive en calculant l'intégrale définie

  2. Nous allons calculer l'intégrale \(S(x)\) par la méthodes des sommes de Riemann.

    Une des façons de faire est de calculer une somme par la gauche.

    Soit une fonction \(f\) et \(n \in \mathbb{N}\) un entier naturel la subdivision de l'intervalle \((x-a)\). On a :

    $$ I_n(x)= \biggl(\frac{x-a}{n} \biggr) \sum_{k=0}^{n-1} \Biggl[ f\biggl(a + k \Bigl(\frac{x-a}{n} \Bigr) \biggr) \Biggr] $$

    Par simplicité, on peut poser pour le pas :

    $$ \Delta_{x, n} = \frac{x-a}{n} $$

    Ce qui donne :

    $$ I_n(x)= \Delta_{x, n} \sum_{k=0}^{n-1} \Biggl[ f\bigl(a + k \Delta_{x, n} \bigr) \Biggr] $$

    Calcul d'une intégrale de Riemann par la gauche

    À partir de là, on peut réduire le pas de manière infinitésimal en faisant tendre \(n \to +\infty\).

    Et :

    $$ \int_a^x \ f(t)\ dt = lim_{n \to +\infty} \ \Bigl[ I_n(x) \Bigr] $$


    Calculons dans notre cas :

    $$ S_n(x)= \Delta_{x, n} \sum_{k=0}^{n-1} \Biggl[ \bigl(a + k \Delta_{x, n} \bigr)^2 \Biggr] $$

    $$ S_n(x)= \Delta_{x, n} \Biggl[ a^2 + a^2 + 2a \Delta_{x, n} + \Delta_{x, n}^2 + a^2 + 4a \Delta_{x, n} + 4\Delta_{x, n}^2 \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} a^2 + 2(n-1)a \Delta_{x, n} + (n-1)^2 \Delta_{x, n}^2 \Biggr] $$

    En mettant un peu d'ordre, on a :

    $$ S_n(x)= \Delta_{x, n} \Biggl[ (n-1)a^2 + 2a \Delta_{x, n} + 4a \Delta_{x, n} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} 2(n-1)a \Delta_{x, n} + \Delta_{x, n}^2 + 2^2\Delta_{x, n}^2 \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} (n-1)^2 \Delta_{x, n}^2 \Biggr] $$

    $$ S_n(x)= \Delta_{x, n} \Biggl[ (n-1)a^2 + 2a \Delta_{x, n} \Bigl(1 + 2 + \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} (n-1)\Bigr ) + \Delta_{x, n}^2 \Bigl(1 + 2^2 \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} + (n-1)^2 \Bigr) \Biggr] $$

    On remarque la présence de la somme des premiers entiers naturels et la somme des premiers carrés d'entiers naturels de \(0\) à \((n-1)\).

    $$ S_n(x)= \Delta_{x, n} \Biggl[ (n-1)a^2 + 2a \Delta_{x, n} \Biggl[ \sum_{k=0}^{n-1} k \Biggr] + \Delta_{x, n}^2 \Biggl[ \sum_{k=0}^{n-1} k^2 \Biggr] \Biggr] \qquad (1) $$

    Il va falloir adapter ces deux sommes.

    La somme des premiers entiers naturels de \(0\) à \(n\) vaut :

    $$ \sum_{k = 0}^n k = 1 + 2 \hspace{0.1em} + \hspace{0.1em} ... \hspace{0.1em} + \hspace{0.1em} (n-1) + n \hspace{0.1em} \hspace{0.1em} = \frac{n(n+1)}{2} $$

    Alors, de \(0\) à \((n-1)\),

    $$ \sum_{k = 0}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2} \qquad (2) $$

    De la même manière, on va adapter la somme des premiers carrés d'entiers naturels :

    $$ \sum_{k = 0}^n k^2 = \hspace{0.2em} 1 + \hspace{0.2em} 2^2 \hspace{0.1em} + \hspace{0.1em} ... \hspace{0.1em} + \hspace{0.1em} (n-1)^2 + n^2 \hspace{0.1em} \hspace{0.1em} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$

    Alors, de \(0\) à \((n-1)\),

    $$ \sum_{k = 0}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)n(2n)}{6} \qquad (3) $$

    Injectons \( (2) \) et \( (3) \) dans \( (1) \) :

    $$ S_n(x)= \Delta_{x, n} \Biggl[ (n-1)a^2 + 2a \Delta_{x, n} \frac{(n-1)n}{2} + \Delta_{x, n}^2 \frac{(n-1)n(2n)}{6} \Biggr] $$

    Ce qui équivaut sous une forme développée à :

    $$ S_n(x)= \Delta_{x, n}(n-1)a^2 + 2a \Delta_{x, n}^2 \frac{(n-1)n}{2} + \Delta_{x, n}^3 \frac{(n-1)n(2n)}{6} $$

    $$ S_n(x)= \Delta_{x, n}(n-1)a^2 + 2a \Delta_{x, n}^2 \frac{(n^2 -n)}{2} + \Delta_{x, n}^3 \frac{(2n^3 - n^2)}{6} $$

    Remplaçons \( \Delta_{x, n} \) par sa valeur.

    $$ S_n(x)= \frac{x-a}{n}(n-1)a^2 + 2a \biggl( \frac{x-a}{n}\biggr)^2 \frac{(n^2 -n)}{2} + \biggl( \frac{x-a}{n} \biggr)^3 \frac{(2n^3 - n^2)}{6} $$

    $$ S_n(x)= a^2(x-a) \biggl[ \frac{n-1}{n} \biggr] + a(x-a)^2\biggl[ \frac{n^2 -n}{n^2} \biggr] + \frac{1}{6}(x-a)^3 \biggl[ \frac{2n^3 - n^3}{n^3} \biggr] $$

    En passant à la limite quand \(n \to +\infty\) :

    $$ S(x)= \int_a^x \ t^2 \ dt = lim_{n \to +\infty} \ S_n(x) $$

    $$ S(x)= a^2(x-a) + a(x-a)^2+ \frac{1}{3}(x-a)^3 $$

    $$ S(x)= a^2x - a^3 + a(x^2 - 2ax + a^2)+ \frac{1}{3}(x^3 - 3x^2 a + 3 xa^2 -a^3) $$

    $$ S(x)= a^2x - a^3 + ax^2 - 2a^2x + a^3+ \frac{x^3}{3} -x^2 a + xa^2 - \frac{a^3}{3} $$

    $$ S(x)= \frac{x^3}{3} - \frac{a^3}{3} + \hspace{0.2em} \underbrace { a^2x + xa^2 - 2a^2x } _\text{ \( = 0\)} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \underbrace { a^3 - a^3 } _\text{ \( = 0\)} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \underbrace { ax^2 + -x^2 a } _\text{ \( = 0\)} $$

    $$ S(x)= \int_a^x \ t^2 \ dt = \frac{x^3}{3} - \frac{a^3}{3} \qquad (4) $$

    $$ S(x)= \int_a^x \ t^2 \ dt = F(x) - F(a)$$

    On a déterminé la primitive générale \(F\) de la fonction \(f\), et celle-ci vaut :

    $$ F(x) = \int^x \ t^2 \ dt = \frac{x^3}{3} $$


  3. Détermination d'une intégrale définie à partir d'une primitive

  4. La primitive générale d'une fonction de type \( x^n \) peut se calculer avec la formule :

    $$ \int^x t^n \ dt = \frac{1}{n+1} x^{n+1} $$

    Alors, pour notre fonction d'étude \(f : x \longmapsto x^2\), on a comme primitive générale :

    $$ \int^x t^2 \ dt = \frac{1}{3} x^{3} $$

    À partir de cette expression, on peut calculer l'intégrale définie :

    $$ S(x) = \int_a^x t^2 \ dt =\frac{x^3}{3} - \frac{a^3}{3} \qquad (4) $$

  5. Calcul de l'intégrale \(S(x)\) de \(0\) à \(1\)
  6. Grâce à l'expression \((4) \) précédemment trouvée, on peut calculer l'aire sous la courbe de la fonction \(f : x \longmapsto x^2\) entre \(0\) et \(1\).

    $$ S_{0, 1} = \int_0^1 t^2 \ dt = \Biggl[ \frac{1}{3} x^{3} \Biggr]_0^1 $$

    $$ S_{0, 1} = \int_0^1 t^2 \ dt =\frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} $$

    $$ S_{0, 1} =\frac{1}{3} $$

    Calcul de l'intégrale de la fonction carrée entre les bornes 0 et 1
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