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Le téléscopage de termes d'une série numérique récurrente

Soit une suite numérique \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \).

Lorsque l'on souhaite calculer la série \( \sum \bigl [a_{k+1} - a_k \bigr] \), il y aura un téléscopage de termes tel que :

$$ \sum_{k=0}^n \Bigl [a_{k+1} - a_k \Bigr] = a_{n+1} - a_{0} $$

Il ne restera plus que le le dernier moins le premier de la série.


Démonstration

On souhaite calculer la série \( \sum \bigl [a_{k+1} - a_k \bigr] \) de \( k = 0 \) jusque \( n \).

On aura,

$$ \sum_{k=n_0}^n \Bigl [a_{k+1} - a_k \Bigr] = a_{1} - a_{0} + a_{2} - a_{1} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} a_{n_{k}} - a_{n_{k-1}} + a_{n_{k+1}} - a_{n_{k}} $$

Les termes vont s'annihiler un à un.

$$ \sum_{k=n_0}^n \Bigl [a_{k+1} - a_k \Bigr] = a_{k+1} + a_{k} - a_{k} + a_{k-1} - a_{k-1} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} + a_2 - a_2 + a_1 - a_1 - a_0 $$


Il ne restera plus que le le dernier moins le premier de la série.

$$\sum_{k=0}^n \Bigl [a_{k+1} - a_k \Bigr] = \underbrace{a_{n+1}} _\text{premier terme} - \underbrace{a_{0}} _\text{dernier terme} $$


Soit finalement :

$$ \sum_{k=0}^n \Bigl [a_{k+1} - a_k \Bigr] = a_{n+1} - a_{0} $$


Exemple


Calculons la somme partielle la série suivante :

$$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}$$

Pour effectuer ce calcul, il faut d'abord effectuer une décomposition en éléments simples de cette fraction.


  1. Décomposition en éléments simples

  2. Posons la fonction \(F(X) \) :

    $$F(X) = \frac{1}{X(X+1)} \qquad (F(X))$$

    Nous allons chercher les réels \( a \) et \(b\) tels que :

    $$F(X) = \frac{a}{X} + \frac{b}{X+1}$$

    En mettant au même dénominateur, on a :

    $$F(X) = \frac{a(X+1) + b X}{X(X+1)} \qquad (\tilde{F}(X)) $$

    L'idée est d'utiliser les deux formes \( (F(X)) \) et \( (\tilde{F}(X)) \) pour obtenir une équivalence et déterminer \( a \) et \(b\), on a :

    $$F(X) X = \frac{1}{(X+1)} \qquad (F(X))$$

    $$F(X) X = \frac{a(X+1) + b X}{(X+1)} \qquad (\tilde{F}(X)) $$

    Alors,

    $$ F(X) X = \frac{1}{(X+1)}= \frac{a(X+1) + b X}{(X+1)} $$

    $$ F(X) X = \frac{1}{(X+1)}= a + \frac{ b X}{(X+1)} $$


    En faisant \( (X = 0)\), on détermine \( a \) :

    $$ \underset{(X=0)}{F(X)} X = \frac{1}{(X+1)}= a \Longrightarrow (a = 1) $$

    On peut faire maintenant la même chose pour déterminer \(b\), en faisant \( (X = -1)\) il restera \( b \) :

    $$ \underset{(X=-1)}{F(X)} (X+1) = \frac{1}{X}= b \Longrightarrow (b = - 1) $$

    On alors notre couple de solutions :

    $$ \Biggl \{ \begin{align*} a = 1 \\ b = -1 \end{align*} $$

    Alors, \(F(X) \) peut s'écrire :

    $$F(X) = \frac{1}{X} - \frac{1}{X+1}$$

  3. Calcul de la somme partielle de la série par téléscopage

  4. Grâce à la décomposition en éléments simples :

    $$F(X) = \frac{1}{X(X+1)} =\frac{1}{X} - \frac{1}{X+1}$$

    Notre série :

    $$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}$$

    devient,

    $$S_n = \sum_{k=0}^n \Biggl[ \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \Biggr]$$

    On retire le signe \((-)\) pour avoir une suite de type \( \bigl [a_{k+1} - a_k \bigr] \).

    $$S_n = -\sum_{k=1}^n \Biggl[ \frac{1}{k+1} -\frac{1}{k} \Biggr]$$

    On pose :

    $$ a_k = \frac{1}{k} $$

    Pour avoir :

    $$\sum_{k=1}^n \Biggl[ \frac{1}{k+1} -\frac{1}{k} \Biggr] = \sum_{k=0}^n \Bigl [a_{k+1} - a_k \Bigr]$$


    Ensuite on applique :

    $$\sum_{k=0}^n \Bigl [a_{k+1} - a_k \Bigr] = a_{n+1} - a_{0} $$

    On peut maintenant effectuer le télescopage.

    $$S_n = -\Biggl[ \frac{1}{n+1} -\frac{1}{1} \Biggr]$$

    $$S_n = 1 -\frac{1}{n+1} $$

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