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La loi des sinus

Dans un contexte d'un triangle quelconque \(\{a, b, c\}\), avec chaque angle opposé respectivement à sa longueur, tel que :

$$ \left \{ \begin{gather*} \alpha \enspace opposé \enspace à \enspace a \\ \beta \enspace opposé \enspace à \enspace b \\ \gamma \enspace opposé \enspace à \enspace c \end{gather*} \right \} $$

Et tel que la figure suivante :

Un triangle quelconque

La loi des sinus nous dit que :

$$\forall (a, b, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^3, \enspace (\alpha, \beta, \gamma) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^3, $$

$$ \frac{sin(\alpha)}{a} = \frac{sin(\beta)}{b} = \frac{sin(\gamma)}{c} $$


Démonstration

Pour le démontrer, projectons une hauteur \( h_c \) sur la longueur \( c \), et telle que la figure suivante :

Projection d'une hauteur sur une des longueurs du triangle

Immédiatement, il vient les relations suivantes :

$$ sin(\alpha) = \frac{h_c}{b} \qquad (1) $$

$$ sin(\beta) = \frac{h_c}{a} \qquad (2) $$


En divisant l'égalité \( (1) \) par \( a \), on a :

$$ \frac{sin(\alpha)}{a} = \frac{h_c}{ab} \qquad (3) $$

De la même manière, on divise \( (2) \) par \( b \) :

$$ \frac{sin(\beta)}{b} = \frac{h_c}{ab} \qquad (4) $$

On voit que les membres de droite de \( (3) \) et \( (4) \) sont équivalents, il s'en suit que :

$$ \frac{sin(\alpha)}{a} = \frac{sin(\beta)}{b} \qquad (5) $$


En reproduisant cette opération sur les deux autres longueurs du triangle, on aura deux nouvelles équations :

$$ \frac{sin(\beta)}{b} = \frac{sin(\gamma)}{c} \qquad (6) $$

$$ \frac{sin(\gamma)}{c} = \frac{sin(\alpha)}{a} \qquad (7) $$

Les égalités \( (5), (6), (7) \) ayant un membre commun deux-à-deux, elles sont toutes les trois égales.


Et finalement,

$$\forall (a, b, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^3, \enspace (\alpha, \beta, \gamma) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^3, $$

$$ \frac{sin(\alpha)}{a} = \frac{sin(\beta)}{b} = \frac{sin(\gamma)}{c} $$

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