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Les dérivées des fonctions trigonométriques

Pour toutes ces fonctions trigonométriques, on aura pour chacune leur fonction réciproque.

Entre une fonction et sa fonction réciproque, on a la relation :

$$ f \circ f^{-1} = id$$

Un exemple avec la fonction \(sin(x)\) et \(arcsin(x)\) :

$$ \Biggl \{ \begin{align*} f : x \longmapsto sin(x), \hspace{3.1em} \mathbb{R } \longmapsto [-1, \enspace 1] \\ f^{-1} : x \longmapsto arcsin(x), \enspace [-1, \enspace 1] \longmapsto \mathbb{R } \end{align*} $$

$$ arcsin(sin(x)) = x \Longleftrightarrow sin(arcsin(x)) = x $$

Les fonctions trigonométriques de base : \(sin(x), cos(x), tan(x)\)

Les fonctions trigonométriques de base : sin, cos, tan

En appliquant le théorème de Thalès, on voit bien la relation :

$$ \frac{cos(\theta)}{1} = \frac{sin(\theta)}{tan(\theta)} \Longleftrightarrow tan(\theta) = \frac{sin(\theta)}{cos(\theta)} $$


La fonction sinus

La fonction \( sin(x) \) est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, \enspace f(x) = sin(x) $$

Elle admet pour dérivée :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$

$$ sin(x)' = cos(x) $$


La fonction cosinus

La fonction \( cos(x) \) est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, \enspace f(x) = cos(x) $$

Elle admet pour dérivée :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$

$$ cos(x)' = -sin(x) $$


La fonction tangente

La fonction \( tan(x) \) est définie de la manière suivante :

$$ \forall k \in \mathbb{Z}, \enspace \forall x \in \biggl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \Bigl\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \Bigr\} \biggr], \enspace f(x) = tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)} $$

Elle admet pour dérivée :

$$ \forall k \in \mathbb{Z}, \forall x \in \biggl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \Bigl\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \Bigr\} \biggr] $$

$$ tan(x)' = 1 + tan^2(x) = \frac{1}{cos^2(x)}= sec^2(x) $$


Les fonctions trigonométriques de base réciproques : \(arcsin(x)\), \(arccos(x)\), \( arctan(x)\)


La fonction arcsinus

La fonction \( arcsin(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( sin(x) \), elle est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in [-1, \hspace{0.2em} 1], \enspace f(x) = arcsin(x) = sin^{-1}(x) $$

Elle admet pour dérivée :

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} ]-1 ,\hspace{0.2em} 1[, $$

$$ arcsin(x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $$


La fonction arccosinus

La fonction \( arccos(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( cos(x) \), elle est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in [-1, \hspace{0.2em} 1], \enspace f(x) = arccos(x) = cos^{-1}(x) $$

Elle admet pour dérivée :

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} ]-1 , \hspace{0.2em}1[, $$

$$ arccos(x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $$


La fonction arctangente

La fonction \( arctan(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( tan(x) \), elle est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, \enspace f(x) = arctan(x) = tan^{-1}(x) $$

Elle admet pour dérivée :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$

$$ arctan(x)' = \frac{1}{1 + x^2} $$


Les fonctions trigonométriques sécantes : \(csc(x), sec(x), cot(x)\)

Les trois fonctions trigonométriques sécantes sont les fonctions \( csc(x), sec(x) \) et \( cot(x) \).

Elles sont respectivement les inverses des fonctions \( sin(x), cos(x) \) et \( tan(x) \).

Les fonctions trigonométriques sécantes : csc, sec, cot

En appliquant le théorème de Thalès, on voit bien les relations :

$$ \left \{ \begin{align*} \frac{csc(\theta)}{1} = \frac{1}{sin(\theta)} \Longleftrightarrow csc(\theta) = \frac{1}{sin(\theta)} \\ \frac{sec(\theta)}{1} = \frac{1}{cos(\theta)} \Longleftrightarrow sec(\theta) = \frac{1}{cos(\theta)} \\ \frac{cot(\theta)}{1} = \frac{csc(\theta)}{sec(\theta)} = \frac{1}{tan(\theta)} \Longleftrightarrow cot(\theta) = \frac{1}{tan(\theta)} \end{align*} \right \} $$


La fonction cosécante

La fonction \( csc(x) \) est définie de la manière suivante :

$$ \forall k \in \mathbb{Z}, \ \forall x \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \bigl\{ k\pi \bigr\} \Bigr], \enspace f(x) = csc(x) = \frac{1}{sin(x)} $$

Elle admet pour dérivée :

$$ \forall k \in \mathbb{Z}, \ \forall x \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \bigl\{ k\pi \bigr\} \Bigr], $$

$$ csc(x)' = - csc^2(x)cos(x) $$


La fonction sécante

La fonction \( sec(x) \) est définie de la manière suivante :

$$ \forall k \in \mathbb{Z}, \enspace \forall x \in \biggl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \Bigl\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \Bigr\} \biggr], \enspace f(x) = sec(x) = \frac{1}{cos(x)} $$

Elle admet pour dérivée :

$$ \forall k \in \mathbb{Z}, \enspace \forall x \in \biggl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \Bigl\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \Bigr\} \biggr], $$

$$ sec(x)' = sec^2(x) sin(x) $$


La fonction cotangente

La fonction \( cot(x) \) est définie de la manière suivante :

$$ \forall k \in \mathbb{Z}, \enspace \forall x \in \biggl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \Bigl\{ k\pi \Bigr\} \biggr] , \enspace f(x) = cot(x) = \frac{csc(x)}{sec(x)} = \frac{1}{tan(x)} $$

Elle admet pour dérivée :

$$ \forall k \in \mathbb{Z}, \enspace \forall x \in \biggl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \Bigl\{ k\pi \Bigr\} \biggr], $$

$$ cot(x)' = -(1 + cot^2(x)) $$


Les fonctions trigonométriques sécantes réciproques : \(arccsc(x)\), \(arcsec(x)\), \( arccot(x)\)

La fonction arccosécante

La fonction \( arccsc(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( csc(x) \), elle est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} ]-\infty, \hspace{0.1em} -1] \cup[1, \hspace{0.1em} +\infty[ , \enspace f(x) = arccsc(x) = csc^{-1}(x) $$

Elle admet pour dérivée :

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} ]-\infty, \hspace{0.1em} -1[\hspace{0.1em}\cup \hspace{0.1em}]1, \hspace{0.1em} +\infty[, $$

$$ arccsc(x)' = - \frac{1}{ x^2} \times \frac{1}{ \sqrt{1 - \frac{1}{ x^2}}} $$


La fonction arcsécante

La fonction \( arcsec(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( sec(x) \), elle est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} ]-\infty, \hspace{0.1em} -1] \cup[1, \hspace{0.1em} +\infty[ , \enspace f(x) = arcsec(x) = sec^{-1}(x) $$

Elle admet pour dérivée :

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} ]-\infty, \hspace{0.1em} -1[\hspace{0.1em}\cup \hspace{0.1em}]1, \hspace{0.1em} +\infty[, $$

$$ arcsec(x)' = \frac{1}{ x^2} \times \frac{1}{ \sqrt{1 - \frac{1}{ x^2}}} $$


La fonction arccotangente

La fonction \( arccot(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( cot(x) \), elle est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in \mathbb{R} , \enspace f(x) = arccot(x) = cot^{-1}(x) $$

Elle admet pour dérivée :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$

$$ arccot(x)' = - \frac{1}{ 1 + x^2} $$


Les fonctions hyperboliques : \(sinh(x), cosh(x), tanh(x)\)

Les trois fonctions hyperboliques sont fonctions \( sinh(x), cosh(x) \) et \( tanh(x) \).

Elles sont le pendant respectif des fonctions \( sin(x), cos(x) \) et \( tan(x) \), notamment au niveau des propriétés.


La fonction sinus hyperbolique

La fonction \( sinh(x) \) est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, \enspace f(x) = sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x} }{2} $$

Elle admet pour dérivée :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$

$$ sinh(x)' = cosh(x) $$


La fonction cosinus hyperbolique

La fonction \( cosh(x) \) est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, \enspace f(x) = cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x} }{2} $$

Elle admet pour dérivée :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$

$$ cosh(x)' = sinh(x) $$


La fonction tangente hyperbolique

La fonction \( tanh(x) \) est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, \enspace f(x) = tanh(x) = \frac{sinh(x)}{cosh(x)} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} $$

Elle admet pour dérivée :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$

$$ tanh(x)' = 1 - tanh^2(x) = \frac{1}{cosh^2(x)}= sech^2(x) $$


Les fonctions hyperboliques réciproques : \( arcsinh(x)\), \(arccosh(x)\), \( arctanh(x)\)

La fonction arcsinus hyperbolique

La fonction \( arcsinh(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( sinh(x) \), elle est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, \enspace f(x) = arcsinh(x)= sinh^{-1}(x) $$

Elle admet pour dérivée :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$

$$ arcsinh(x)' = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} $$


Par ailleurs, grâce au calcul de cette dérivée, on obtient une forme explicite de la définition,

$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$

$$ arcsinh(x) = ln \left(x + \sqrt{x^2 + a^2}\right) $$


La fonction arccosinus hyperbolique

La fonction \( arccosh(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( cosh(x) \), elle est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in [1, \hspace{0.1em} +\infty[, \enspace f(x) = arccosh(x) = cosh^{-1}(x) $$

Elle admet pour dérivée :

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} ]1, \hspace{0.1em} +\infty[, $$

$$ arccosh(x)' = \frac{1}{\sqrt{x^2 -1}} $$


Par ailleurs, grâce au calcul de cette dérivée, on obtient une forme explicite de la définition,

$$ \forall x \in [1, \hspace{0.1em} +\infty[, $$

$$ arccosh(x) = ln \Bigl| x + \sqrt{x^2 - 1}\Bigr| $$


La fonction arctangente hyperbolique

La fonction \( arctanh(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( tanh(x) \), elle est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} ]-1, \hspace{0.1em} 1[, \enspace f(x) = arctanh(x) = tanh^{-1}(x) $$

Elle admet pour dérivée :

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} ]-1, \hspace{0.1em} 1[, $$

$$ arctanh(x)' = \frac{1}{1 - x^2} $$


Par ailleurs, grâce au calcul de cette dérivée, on obtient une forme explicite de la définition,

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} ]-1, \hspace{0.1em} 1[, $$

$$ arctanh(x) = \frac{1}{2} ln \left| \frac{1 + x}{1 - x} \right| $$


Les fonctions sécantes hyperboliques : \(csch(x), sech(x), coth(x)\)

Les trois fonctions sécantes hyperboliques sont les fonctions \( csch(x), sech(x) \) et \(coth(x) \).

Elles sont respectivement les inverses des fonctions \( sinh(x), cosh(x) \) et \( tanh(x) \).


La fonction cosécante hyperbolique

La fonction \( csch(x) \) est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \bigl\{ 0 \bigr\} \Bigr], \enspace f(x) = csch(x) = \frac{1}{sinh(x)} $$

Elle admet pour dérivée :

$$ \forall x \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \bigl\{ 0 \bigr\} \Bigr], $$

$$ csch(x)' = - csch^2(x) cosh(x) $$


La fonction sécante hyperbolique

La fonction \( sech(x) \) est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, \enspace f(x) = sech(x) = \frac{1}{cosh(x)} $$

Elle admet pour dérivée :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$

$$ sech(x)' = -sech^2(x)sinh(x) $$



La fonction cotangente hyperbolique

La fonction \( coth(x) \) est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \bigl\{ 0 \bigr\} \Bigr], \enspace f(x) = coth(x) = \frac{1}{tanh(x)} $$

Elle admet pour dérivée :

$$ \forall x \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \bigl\{ 0 \bigr\} \Bigr], $$

$$ coth(x)' = 1 - cot^2(x)$$


Les fonctions sécantes hyperboliques réciproques : : \(arccsch(x)\), \(arcsech(x)\), \( arccoth(x)\)


La fonction arccosécante hyperbolique

La fonction \( arccsch(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( csch(x) \), elle est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} ]-\infty, \hspace{0.1em} -0[ \hspace{0.1em} \cup\hspace{0.1em}]0, \hspace{0.1em} +\infty[ , \enspace f(x) = arccsch(x) = csch^{-1}(x) $$

Elle admet pour dérivée :

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} ]-\infty, \hspace{0.1em} -0[ \hspace{0.1em} \cup\hspace{0.1em}]0, \hspace{0.1em} +\infty[ , $$

$$ arccsch(x)' = - \frac{1}{ x^2} \times \frac{1}{ \sqrt{1 + \frac{1}{ x^2}}} $$


La fonction arcsécante hyperbolique

La fonction \( arcsech(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( sech(x) \), elle est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} ]0, \hspace{0.1em} 1] , \enspace f(x) = arcsech(x) = sech^{-1}(x) $$

Elle admet pour dérivée :

$$ \forall x \in \hspace{0.1em} ]0, \hspace{0.1em} 1], $$

$$ arcsech(x)' = - \frac{1}{ x^2} \times \frac{1}{ \sqrt{1 + \frac{1}{ x^2}}} $$


La fonction arccotangente hyperbolique

La fonction \( arccoth(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( coth(x) \), elle est définie de la manière suivante :

$$ \forall \in \hspace{0.05em} ]-\infty, \hspace{0.1em} -1[ \hspace{0.1em} \cup \hspace{0.1em} ]1, \hspace{0.1em} +\infty[ , \enspace f(x) = arccoth(x) =coth^{-1}(x) $$

Elle admet pour dérivée :

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} ]-\infty, \hspace{0.1em} -1[ \hspace{0.1em} \cup \hspace{0.1em} ]1, \hspace{0.1em} +\infty[, $$

$$ arccoth(x)' = \frac{1}{ 1 - x^2} $$



Récapitulatif des dérivées de fonctions trigonométriques

Cliquez sur le titre ci-dessus pour accéder aux tableau récapitulatif.


Démonstrations

Les fonctions trigonométriques de base \( : sin(x), cos(x), tan(x)\)

La fonction sinus

La fonction \( sin(x) \) est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, \enspace f(x) = sin(x) $$


Avec la définition de la dérivée, on a :

$$ sin(x)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ sin(x + h) - sin(x)}{h} $$

Avec les formules d'addition trigonométriques, on sait que :

$$ \forall (\alpha, \beta) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, $$

$$ sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha) cos(\beta) + cos(\alpha) sin(\beta) $$

Soit :

$$ sin(x)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ sin(x) cos(h) + cos(x) sin(h) - sin(x)}{h} $$

Lorsque \( h \to 0\), \( cos(h) \to 1\) et \( sin(h) \to h\).

Et,

$$ sin(x)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ sin(x) + cos(x). h - sin(x)}{h} $$

$$ sin(x)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{cos(x). h }{h} $$

Soit finalement,

$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$

$$ sin(x)' = cos(x) $$


La fonction cosinus

La fonction \( cos(x) \) est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, \enspace f(x) = cos(x) $$


Avec la définition de la dérivée, on a :

$$cos(x)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ cos(x + h) - cos(x)}{h} $$

Avec les formules d'addition trigonométriques, on sait que :

$$ \forall (\alpha, \beta) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, $$

$$ cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha) cos(\beta) - sin(\alpha) sin(\beta) $$

Soit :

$$cos(x)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ cos(x) cos(h) - sin(x) sin(h) - cos(x)}{h} $$

Lorsque \( h \to 0\), \( cos(h) \to 1\) et \( sin(h) \to h\).

Et,

$$cos(x)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ cos(x) - sin(x). h - cos(x)}{h} $$

$$cos(x)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ - sin(x). h }{h} $$

Soit finalement,

$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$

$$ cos(x)' = -sin(x) $$


La fonction tangente

La fonction \( tan(x) \) est définie de la manière suivante :

$$ \forall k \in \mathbb{Z}, \enspace \forall x \in \biggl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \Bigl\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \Bigr\} \biggr], \enspace f(x) = tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)} $$


Par définition,

$$ tan(x)' = \left( \frac{sin(x)}{cos(x)} \right)' $$

Avec la dérivée d'un quotient, on sait que :

$$ \forall f \in F(\mathbb{R}, \mathbb{R}), \ \forall g \in F\Bigl( \mathbb{R} , \ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \bigl\{ 0 \bigr\} \Bigr), $$

$$ \left ( f \over g \right)' = \frac{f'g - g'f}{g^2} $$

Soit dans notre cas :

$$ tan(x)' = \frac{cos(x)cos(x) + sin(x)sin(x)}{cos^2(x)} $$

$$ tan(x)' = \frac{cos^2(x) + sin^2(x)}{cos^2(x)} $$

$$ tan(x)' = \frac{cos^2(x) + sin^2(x)}{cos^2(x)} $$

Et finalement,

$$ \forall k \in \mathbb{Z}, \forall x \in \biggl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \Bigl\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \Bigr\} \biggr] $$

$$ tan(x)' = 1 + tan^2(x) = \frac{1}{cos^2(x)} = sec^2(x) $$


Les fonctions trigonométriques de base réciproques \( : arcsin(x), arccos(x), arctan(x)\)

La fonction arcsinus

La fonction \( arcsin(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( sin(x) \), elle est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in [-1, \hspace{0.2em} 1], \enspace f(x) = arcsin(x) = sin^{-1}(x) $$


On peut calculer cette dérivée en passant par la dérivée d'une fonction réciproque :

$$ ( f^{-1} )'= \frac{1}{ (f' \circ f^{-1})} $$

$$ avec \ \Biggl \{ \begin{align*} f(x) = sin(x) \\ f'(x) = cos(x) \\ f^{-1}(x) = arcsin(x) \end{align*} $$

Par suite,

$$ arcsin(x)' = \frac{1}{cos(arcsin(x))} $$

Par ailleurs,

$$ cos^2(x) + sin^2(x) = 1$$

$$ cos^2(x) = 1 - sin^2(x) $$

$$ cos(x) = \sqrt{1 - sin^2(x)} $$

Donc,

$$ arcsin(x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - sin^2(arcsin(x))}} $$


Soit finalement,

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} ]-1 ,\hspace{0.2em} 1[, $$

$$ arcsin(x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $$


La fonction arccosinus

La fonction \( arccos(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( cos(x) \), elle est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in [-1, \hspace{0.2em} 1], \enspace f(x) = arccos(x) = cos^{-1}(x) $$


Exactement par le même procédé que pour le calcul de \(arcsin(x)'\) ci-dessus :

$$ arccos(x)' = - \frac{1}{\sqrt{1 - cos^2(arccos(x))}} $$


Soit finalement,

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} ]-1 , \hspace{0.2em}1[, $$

$$ arccos(x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $$


La fonction arctangente

La fonction \( arctan(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( tan(x) \), elle est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, \enspace f(x) = arctan(x) = tan^{-1}(x) $$


Exactement par le même procédé que pour le calcul de \(arcsin(x)'\) ci-dessus :

$$ arctan(x)' = \frac{1}{1 + tan^2(arctan(x))} $$


Soit finalement,

$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$

$$ arctan(x)' = \frac{1}{1 + x^2} $$


Les fonctions trigonométriques sécantes \( : csc(x), sec(x), cot(x)\)


La fonction cosécante

La fonction \( csc(x) \) est définie de la manière suivante :

$$ \forall k \in \mathbb{Z}, \ \forall x \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \bigl\{ k\pi \bigr\} \Bigr], \enspace f(x) = csc(x) = \frac{1}{sin(x)} $$


Par définition, on a :

$$ csc(x)' = \biggl(\frac{1}{sin(x)} \biggr)' $$

On sait que la dérivée de l'inverse d'une fonction est :

$$ \forall g \in F\Bigl( \mathbb{R} , \ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \bigl\{ 0 \bigr\} \Bigr), $$

$$ \left ( 1 \over g \right)' = -\frac{ g' }{g^2}$$

Soit ici,

$$ csc(x)' = -\frac{cos(x)}{sin^2(x)} $$

Et finalement,

$$ \forall k \in \mathbb{Z}, \ \forall x \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \bigl\{ k\pi \bigr\} \Bigr], $$

$$ csc(x)' = - csc^2(x)cos(x) $$


La fonction sécante

La fonction \( sec(x) \) est définie de la manière suivante :

$$ \forall k \in \mathbb{Z}, \enspace \forall x \in \biggl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \Bigl\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \Bigr\} \biggr], \enspace f(x) = sec(x) = \frac{1}{cos(x)} $$


Par définition :

$$ sec(x)' = \biggl(\frac{1}{cos(x)} \biggr)' $$

On applique encore la dérivée de l'inverse d'une fonction :

$$ sec(x)' = \frac{sin(x)}{cos^2(x)} $$


Et finalement,

$$ \forall k \in \mathbb{Z}, \enspace \forall x \in \biggl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \Bigl\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \Bigr\} \biggr], $$

$$ sec(x)' = sec^2(x) sin(x) $$


La fonction cotangente

La fonction \( cot(x) \) est définie de la manière suivante :

$$ \forall k \in \mathbb{Z}, \enspace \forall x \in \biggl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \Bigl\{ k\pi \Bigr\} \biggr] , \enspace f(x) = cot(x) = \frac{csc(x)}{sec(x)} = \frac{1}{tan(x)} $$


Par définition :

$$ cot(x)' = \biggl(\frac{1}{tan(x)} \biggr)' $$

On applique encore la dérivée de l'inverse d'une fonction.

$$ cot(x)' = - \frac{1 + tan^2(x)}{tan^2(x)} $$


Et finalement,

$$ \forall k \in \mathbb{Z}, \enspace \forall x \in \biggl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \Bigl\{ k\pi \Bigr\} \biggr], $$

$$ cot(x)' = -(1 + cot^2(x)) $$


Les fonctions trigonométriques sécantes réciproques \( : arccsc(x), arcsec(x), arccot(x)\)


La fonction arccosécante

La fonction \( arccsc(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( csc(x) \), elle est définie de la manière suivante :


On peut calculer cette dérivée en passant par la dérivée d'une fonction réciproque :

$$ ( f^{-1} )'= \frac{1}{ (f' \circ f^{-1})} $$

$$ avec \ \Biggl \{ \begin{align*} f(x) = csc(x) \\ f'(x) = - csc^2(x)cos(x) \\ f^{-1}(x) = arccsc(x) \end{align*} $$

$$ arccsc(x)' = -\frac{1}{csc^2(arccsc(x)) \times cos(arccsc(x))} $$

Par ailleurs,

$$ cos^2(x) + sin^2(x) = 1$$

$$ cos^2(x) = 1 - sin^2(x) $$

$$ cos(x) = \sqrt{1 - sin^2(x)} $$

$$ arccsc(x)' = -\frac{1}{csc^2(arccsc(x)) \times \sqrt{1 - sin^2(arccsc(x))}} $$

Mais :

$$ csc(x) = \frac{1}{sin(x)} \Longleftrightarrow sin(x) = \frac{1}{csc(x)} $$

Soit,

$$ arccsc(x)' = - \frac{1}{ x^2} \times \frac{1}{ \sqrt{1 - \frac{1}{csc^2(arccsc(x))}}} $$


Soit finalement,

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} ]-\infty, \hspace{0.1em} -1[\hspace{0.1em}\cup \hspace{0.1em}]1, \hspace{0.1em} +\infty[, $$

$$ arccsc(x)' = - \frac{1}{ x^2} \times \frac{1}{ \sqrt{1 - \frac{1}{ x^2}}} $$


La fonction arcsécante

La fonction \( arcsec(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( sec(x) \), elle est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} ]-\infty, \hspace{0.1em} -1] \cup[1, \hspace{0.1em} +\infty[ , \enspace f(x) = arcsec(x) = sec^{-1}(x) $$


Exactement par le même procédé que pour le calcul \(arccsc(x)'\) ci-dessus :

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} ]-\infty, \hspace{0.1em} -1[\hspace{0.1em}\cup \hspace{0.1em}]1, \hspace{0.1em} +\infty[, $$

$$ arcsec(x)' = \frac{1}{ x^2} \times \frac{1}{ \sqrt{1 - \frac{1}{ x^2}}} $$


La fonction arccotangente

La fonction \( arccot(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( cot(x) \), elle est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in \mathbb{R} , \enspace f(x) = arccot(x) = cot^{-1}(x) $$


Exactement par le même procédé que pour le calcul de \(arccsc(x)'\) ci-dessus :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$

$$ arccot(x)' = - \frac{1}{ 1 + x^2} $$


Les fonctions hyperboliques \( : sinh(x), cosh(x), tanh(x)\)

La fonction sinus hyperbolique

La fonction \( sinh(x) \) est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, \enspace f(x) = sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x} }{2} $$


Ici, on va juste faire varier les exponentielles en utilisant la dérivation en chaîne :

$$ sinh(x)' = \biggl(\frac{e^x - e^{-x}}{2} \biggr)' $$

$$ sinh(x)' = \frac{1}{2} \bigl( e^x + e^{-x} \bigr) $$

$$ sinh(x)' = \biggl(\frac{e^x + e^{-x}}{2} \biggr) $$


Et finalement,

$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$

$$ sinh(x)' = cosh(x) $$


La fonction cosinus hyperbolique

La fonction \( cosh(x) \) est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, \enspace f(x) = cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x} }{2} $$


On utilise exactement le même procédé que pour le calcul de \(sinh(x)'\) :

$$ cosh(x)' = \biggl(\frac{e^x + e^{-x}}{2} \biggr)' $$

$$ cosh(x)' = \frac{1}{2} \bigl( e^x - e^{-x} \bigr) $$

$$ cosh(x)' = \biggl(\frac{e^x - e^{-x}}{2} \biggr) $$


Et finalement,

$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$

$$ cosh(x)' = sinh(x) $$


La fonction tangente hyperbolique

La fonction \( tanh(x) \) est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, \enspace f(x) = tanh(x) = \frac{sinh(x)}{cosh(x)} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} $$


Par définition, on a :

$$ tanh(x)' = \biggl(\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \biggr)' $$

On applique la dérivée d'un quotient :

$$ tanh(x)' = \frac{(e^x + e^{-x}) (e^x + e^{-x}) - (e^x - e^{-x})(e^x - e^{-x})}{(e^x + e^{-x})^2} $$

$$ tanh(x)' = \frac{(e^x + e^{-x})^2 - (e^x - e^{-x})^2}{(e^x + e^{-x})^2} $$

$$ tanh(x)' = 1 - \frac{(e^x - e^{-x})^2}{(e^x + e^{-x})^2} $$


Et finalement,

$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$

$$ tanh(x)' = 1 - tanh^2(x) = \frac{1}{cosh^2(x)}= sech^2(x) $$


Les fonctions hyperboliques réciproques \( : arcsinh(x), arccosh(x) ,arctanh(x)\)

La fonction arcsinus hyperbolique

La fonction \( arcsinh(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( sinh(x) \), elle est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, \enspace f(x) = arcsinh(x)= sinh^{-1}(x) $$


On peut calculer cette dérivée en passant par la dérivée d'une fonction réciproque :

$$ ( f^{-1} )'= \frac{1}{ (f' \circ f^{-1})} $$

$$ avec \ \Biggl \{ \begin{align*} f(x) = sinh(x) \\ f('x) = cosh(x) \\ f^{-1}(x) = arcsinh(x) \end{align*} $$

$$ arcsinh(x)' = \frac{1}{cosh(arcsinh(x))} $$

Par ailleurs,

$$ cosh^2(x) -sinh^2(x) = 1$$

$$ cosh^2(x) = 1 + sinh^2(x) $$

$$ cosh(x) = \sqrt{1 +sinh^2(x)} $$

Soit,

$$ arcsinh(x)' = \frac{1}{\sqrt{1 + sinh^2(arcsinh(x))}} $$


Soit finalement,

$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$

$$ arcsinh(x)' = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} $$


En outre, on peut remarquer qu'avec le calcul de cette dérivée, on peut obtenir une nouvelle définition de cette fonction.

Avec le résultat calcul de primitive suivant,

$$ \forall (a, x) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, $$

$$ \int^x \frac{1}{\sqrt{t^2 +a^2}} \ dt = ln \left(x + \sqrt{x^2 + a^2}\right) $$

On trouve alors une forme explicite pour \(arcsinh(x)\) :

$$ arcsinh(x) = \int^x arcsinh(t)' \ dt = \int^x \frac{1}{\sqrt{t^2 +1}} \ dt $$

Soit,

$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$

$$ arcsinh(x) = ln \left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right) $$


La fonction arccosinus hyperbolique

La fonction \( arccosh(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( cosh(x) \), elle est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in [1, \hspace{0.1em} +\infty[, \enspace f(x) = arccosh(x) = cosh^{-1}(x) $$


Exactement par le même procédé que pour le calcul de \(arcsinh(x)'\) ci-dessus :

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} ]1, \hspace{0.1em} +\infty[, $$

$$ arccosh(x)' = \frac{1}{\sqrt{x^2 -1}} $$


En outre, on peut remarquer qu'avec le calcul de cette dérivée, on peut obtenir une nouvelle définition de cette fonction.

Avec le résultat calcul de primitive suivant,

$$ \forall a \in \mathbb{R}, \ \forall x \in \hspace{0.05em} ]-\infty, \hspace{0.1em} -a[ \hspace{0.1em} \cup\hspace{0.1em}]a, \hspace{0.1em} +\infty[, $$

$$ \int^x \frac{1}{\sqrt{t^2 - a^2}} \ dt = ln \Bigl| x + \sqrt{x^2 - a^2}\Bigr| $$

On trouve alors une forme explicite pour \(arccosh(x)\) :

$$ arccosh(x) = \int^x arccosh(t)' \ dt = \int^x \frac{1}{\sqrt{t^2 - 1}} \ dt $$

Soit,

$$ \forall x \in [1, \hspace{0.1em} +\infty[, $$

$$ arccosh(x) = ln \Bigl| x + \sqrt{x^2 - 1}\Bigr| $$


La fonction arctangente hyperbolique

La fonction \( arctanh(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( tanh(x) \), elle est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} ]-1, \hspace{0.1em} 1[, \enspace f(x) = arctanh(x) = tanh^{-1}(x) $$


Exactement par le même procédé que pour le calcul de \(arcsinh(x)'\) ci-dessus :

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} ]-1, \hspace{0.1em} 1[, $$

$$ arctanh(x)' = \frac{1}{1 - x^2} $$


En outre, on peut remarquer qu'avec le calcul de cette dérivée, on peut obtenir une nouvelle définition de cette fonction.

Avec le résultat calcul de primitive suivant,

$$ \forall a \in \mathbb{R}, \ \forall x \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \bigl\{ \pm a \bigr\} \Bigr], $$

$$ \int^x \frac{1}{a^2 - t^2}\ dt =\frac{1}{2a} ln \left| \frac{a + x}{a - x} \right| $$

On trouve alors une forme explicite pour \(arctanh(x)\) :

$$ arctanh(x) = \int^x arctanh(t)' \ dt = \int^x \frac{1}{1 - t^2}\ dt $$

Soit,

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} ]-1, \hspace{0.1em} 1[, $$

$$ arctanh(x) = \frac{1}{2} ln \left| \frac{1 + x}{1 - x} \right| $$


Les fonctions sécantes hyperboliques \( : csch(x), sech(x), coth(x)\)

La fonction cosécante hyperbolique

La fonction \( csch(x) \) est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \bigl\{ 0 \bigr\} \Bigr], \enspace f(x) = csch(x) = \frac{1}{sinh(x)} $$


Par définition, on a :

$$ csch(x)' = \biggl(\frac{1}{sinh(x)} \biggr)' $$

On sait que la dérivée de l'inverse d'une fonction est :

$$ \forall g \in F\Bigl( \mathbb{R} , \ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \bigl\{ 0 \bigr\} \Bigr), $$

$$ \left ( 1 \over g \right)' = -\frac{ g' }{g^2}$$

Soit ici,

$$ csch(x)' = -\frac{cosh(x)}{sinh^2(x)} $$


Et finalement,

$$ \forall x \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \bigl\{ 0 \bigr\} \Bigr], $$

$$ csch(x)' = - csch^2(x) cosh(x) $$


La fonction sécante hyperbolique

La fonction \( sech(x) \) est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, \enspace f(x) = sech(x) = \frac{1}{cosh(x)} $$


Par définition, on a :

$$ sech(x)' = \biggl(\frac{1}{cosh(x)} \biggr)' $$

On applique encore la dérivée de l'inverse d'une fonction.

$$ sech(x)' = -\frac{sinh(x)}{cosh^2(x)} $$


Et finalement,

$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$

$$ sech(x)' = -sech^2(x)sinh(x) $$


La fonction cotangente hyperbolique

La fonction \( coth(x) \) est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \bigl\{ 0 \bigr\} \Bigr], \enspace f(x) = coth(x) = \frac{1}{tanh(x)} $$


Par définition, on a :

$$ coth(x)' = \biggl(\frac{1}{tanh(x)} \biggr)' $$

On applique encore la dérivée de l'inverse d'une fonction.

$$ coth(x)' = - \frac{1 - tanh^2(x)}{tanh^2(x)} $$


Et finalement,

$$ \forall x \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \bigl\{ 0 \bigr\} \Bigr], $$

$$ coth(x)' = 1 - cot^2(x)$$


Les fonctions sécantes hyperboliques réciproques \( : arccsch(x), arcsech(x),arccoth(x)\)


La fonction arccosécante hyperbolique

La fonction \( arccsch(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( csch(x) \), elle est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} ]-\infty, \hspace{0.1em} -0[ \hspace{0.1em} \cup\hspace{0.1em}]0, \hspace{0.1em} +\infty[ , \enspace f(x) = arccsch(x) = csch^{-1}(x) $$


On peut calculer cette dérivée en passant par la dérivée d'une fonction réciproque :

$$ ( f^{-1} )'= \frac{1}{ (f' \circ f^{-1})} $$

$$ avec \ \Biggl \{ \begin{align*} f(x) = csch(x) \\ f'(x) = - csch^2(x) \ cosh(x) \\ f^{-1}(x) = arccsch(x) \end{align*} $$

$$ arccsch(x)' = \frac{1}{-csch^2(arccsch(x)) \times cosh(arccsch(x))} $$

Par ailleurs,

$$ cosh^2(x) -sinh^2(x) = 1$$

$$ cosh^2(x) = 1 + sinh^2(x) $$

$$ cosh(x) = \sqrt{1 +sinh^2(x)} $$

Soit,

$$ arccsch(x)' = -\frac{1}{csch^2(arccsch(x)) \times \sqrt{1 +sinh^2(arccsch(x))}} $$

Mais :

$$ csch(x) = \frac{1}{sinh(x)} \Longleftrightarrow sinh(x) = \frac{1}{csch(x)} $$

Soit,

$$ arccsch(x)' = - \frac{1}{ x^2} \times \frac{1}{ \sqrt{1+ \frac{1}{csch^2(arccsch(x))}}} $$


Soit finalement,

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} ]-\infty, \hspace{0.1em} -0[ \hspace{0.1em} \cup\hspace{0.1em}]0, \hspace{0.1em} +\infty[ , $$

$$ arccsch(x)' = - \frac{1}{ x^2} \times \frac{1}{ \sqrt{1 + \frac{1}{ x^2}}} $$


La fonction arcsécante hyperbolique

La fonction \( arcsech(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( sech(x) \), elle est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} ]0, \hspace{0.1em} 1] , \enspace f(x) = arcsech(x) = sech^{-1}(x) $$


Exactement par le même procédé que pour le calcul de \(arccsch(x)'\) ci-dessus :

$$ \forall x \in \hspace{0.1em} ]0, \hspace{0.1em} 1], $$

$$ arcsech(x)' = - \frac{1}{ x^2} \frac{1}{ \sqrt{1 + \frac{1}{ x^2}}} $$


La fonction arccotangente hyperbolique

La fonction \( arccoth(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( coth(x) \), elle est définie de la manière suivante :

$$ \forall \in \hspace{0.05em} ]-\infty, \hspace{0.1em} -1[ \hspace{0.1em} \cup \hspace{0.1em} ]1, \hspace{0.1em} +\infty[ , \enspace f(x) = arccoth(x) =coth^{-1}(x) $$

Exactement par le même procédé que pour le calcul de \(arccsch(x)'\) ci-dessus :

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} ]-\infty, \hspace{0.1em} -1[ \hspace{0.1em} \cup \hspace{0.1em} ]1, \hspace{0.1em} +\infty[, $$

$$ arccoth(x)' = \frac{1}{ 1 - x^2} $$


Récapitulatif des dérivées de fonctions trigonométriques

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