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Le théorème de Thalès et sa réciproque

Dans un triangle, le théorème de Thalès implique des rapports de proportionnalité entre les longueurs.

Soit un triangle quelconque, dans lequel on trace une parallèle à un des côtes, et tel que le figure suivante :

Un triangle quelconque avec une parallèle à un des côtés

Théorème de Thalès

Le théorème de Thalès nous dit que, dans un triangle \(ABD\), si il existe une droite \(BC\) coupant \(AD\) et \(AE\) respectivement en \(B\) et \(C\) telle que \(BC \parallel DE\), alors cela implique les rapports suivants entre les longueurs :

$$ BC \parallel DE \Longrightarrow \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \qquad \bigl(Thal\textit{è}s \enspace(th \textit{é} or \textit{è} me) \bigr) $$


Il est de même possible de l'appliquer dans un triangle inversé, telle que la figure suivante :

Un triangle quelconque renversé

Réciproque du théorème de Thalès

La réciproque du théorème de Thalès nous dit que si dans un triangle \( ADE \), avec une droite \( BC \) coupant \( AD \) et \( AE \) respectivement en \( B \) et \( C \), tel que la figure suivante :

Un triangle quelconque avec une parallèle à un des côtés

Alors cela implique une relation de parallélisme :

$$ \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \Longrightarrow BC \parallel DE \qquad \bigl(Thal\textit{è}s \enspace(réciproque) \bigr) $$


Équivalence du théorème de Thalès

Les deux implications forment l'équivalence :

$$ BC \parallel DE \Longleftrightarrow \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \qquad \bigl(Thal\textit{è}s \enspace(\textit{é}quivalence) \bigr) $$


Démonstration

Soit un triangle ordinaire, dans lequel nous avons ajouté une droite \( BC \) coupant \( AD \) et \( AE \) respectivement en \( B \) et \( C \).

Un triangle quelconque avec une parallèle à un des côtés

Théorème de Thalès

Partons de l'hypothèse que :

$$BC \parallel DE \qquad (H) $$


Pour prouver la véracité du thèorème, ajoutons à ce triangle la hauteur \( AG \) coupant \( BC \) et \( DE \), respectivement en \( F \) et \( G \).

Un triangle quelconque dans lequel on a ajouté une hauteur d'un des côtés

Cela va nous permettre d'y appliquer les lois de la trigonométrie.


  1. Trigonométrie dans la partie de gauche du triangle

  2. On a pour les triangles \( ADG \) et \( ABF \) :

    $$ cos(\alpha) = \frac{DG}{DA} = \frac{BF}{BA} $$

    On peut alors dire que :

    $$ \frac{DG}{DA} = \frac{BF}{BA} $$

    Soit que :

    $$ \frac{AB}{AD} = \frac{BF}{DG} \qquad (1) $$


    De même, on a :

    $$ sin(\alpha) = \frac{AG}{AD} = \frac{AF}{AB} $$

    $$ \frac{AG}{AD} = \frac{AF}{AB} $$

    $$ \frac{AB}{AD} = \frac{AF}{AG} \qquad (2) $$


    Or, on remarque un terme en commun \( \frac{AB}{AD} \) dans les équations \( (1) \) et \( (2) \), on peut alors obtenir une triple égalité :

    $$ \frac{AB}{AD} = \frac{BF}{DG} = \textcolor{#446e4f}{\frac{AF}{AG}} \qquad (3) $$

    Nous allons effectuer le même procédé dans la partie droite du triangle.


  3. Trigonométrie dans la partie de droite du triangle

  4. En répétant le même schéma que précédemment, on obtient une nouvelle triple égalité :

    $$ \frac{AC}{AE} = \frac{FC}{GE} = \textcolor{#446e4f}{\frac{AF}{AG}} \qquad (4) $$


  5. Égalité générale entre les rapports

  6. On remarque à présent que dans \( (3) \) et \( (4) \), on a un terme en commun \( \frac{AF}{AG} \), tous ces rapports sont donc égaux entre eux :

    $$ \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BF}{DG} = \frac{FC}{GE} = \textcolor{#446e4f}{\frac{AF}{AG}} \qquad (5) $$

    Nous avons alors déjà prouvé que :

    $$ \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} $$

    Un triangle quelconque avec une parallèle à un des côtés, plus une hauteur

    Il reste alors à prouver que ces deux rapports sont aussi égaux au troisième rapport : \( \frac{BC}{DE} \).


    On sait par la propriété d'addition des numérateurs et dénominateurs entre eux d'une fraction que :

    $$ \forall (a, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.05em} (\mathbb{R}^*)^2, \enspace \ \Bigl \{ (b+d) \Bigr \} \ \neq 0, $$

    $$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d} $$

    .

    Dans notre cas, cela nous permet de dire que :

    $$ \frac{BF}{DG} = \textcolor{#446e4f}{\frac{FC}{GE}} = \frac{BF +FC}{DG + DE} $$

    Et par suite :

    $$ \frac{BF}{DG} = \textcolor{#446e4f}{\frac{FC}{GE}} = \frac{BC}{DE} \qquad (6) $$


    Comme avec la suite d'égalités \( (5) \), nous avions :

    $$ \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BF}{DG} = \textcolor{#446e4f}{\frac{FC}{GE}} = \frac{AF}{AG} \qquad (5) $$

    Les suites d'égalités dans \( (5) \) et \( (6) \) ayant au moins un terme en commun \( \frac{FC}{GE} \), alors le terme \( \frac{BC}{DE} \) est lui aussi bien égal à tous les autres, et :

    $$ \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BF}{DG} = \frac{FC}{GE} = \frac{AF}{AG} = \frac{BC}{DE} \qquad (5') $$

    Nous avons alors déjà prouvé que :

    $$ \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} $$


    Et finalement,

    $$ BC \parallel DE \Longrightarrow \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \qquad \bigl(Thal\textit{è}s \enspace(th \textit{é} or \textit{è} me) \bigr) $$

    Un triangle quelconque avec une parallèle à un des côtés

Réciproque du théorème de Thalès

Pour démontrer maintenant sa réciproque, nous allons reprendre la même figure, et y projeter la même hauteur \( AG \) sur \( DE \), coupant \( BC \) et \( DE \) respectivement en \( F \) et \( G \), et telle que la figure suivante :

Un triangle quelconque avec une parallèle à un des côtés, plus une hauteur

Nous avons alors le triangle \( AGE \) qui est rectangle en \( G \).

Nous allons démontrer que c'est aussi le cas pour le triangle \( AFC \) en \( F \). Alors, nous aurons prouvé que :

$$ BC \parallel DE $$


Partons maintenant l'hypothèse que :

$$ \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \qquad (H') $$


  1. Application du théorème de Thalès

  2. Par extension du théorème de Thalès, si nous avons les égalités suivantes entre les rapports :

    $$ \frac{AB}{AD} = \frac{AB'}{AD'} = \frac{BB'}{DD'} $$

    Ces rapports s'appliqueront de même à toutes les droites projetées (orthogonalement ou non) sur le côté \( DE \).

    Un triangle quelconque avec plusieurs droites projetées

    $$ \frac{AB}{AD} = \frac{AB_1}{AD_1} = \frac{AB_2}{AD_2}= \frac{AB'}{AD'} $$

    Grâce à cela, on peut alors dire que :

    $$ \frac{AC}{AE} = \frac{AF}{AG} = \frac{FC}{GE} \qquad (7) $$

    De l'équation \( (7) \), grâce au produit en croix, on tire deux nouvelles équations :

    $$ AF = \frac{AC.AG}{AE} \qquad (8) $$

    $$ FC = \frac{AC.GE}{AE} \qquad (9) $$


  3. Application du théorème de Pythagore pour prouver le parallélisme

  4. On calcule \( FC^2 + AF^2 \) en injectant \( (8) \) et \( (9) \) :

    $$ FC^2 + AF^2 = \left( \frac{AC.AG}{AE} \right)^2 + \ \left( \frac{AC.GE}{AE} \right)^2 $$

    On sort \( AC^2 \) :

    $$ FC^2 + AF^2 = AC^2\left( \frac{AG}{AE} \right)^2 + \ AC^2\left( \frac{GE}{AE} \right)^2 $$

    Puis on factorise :

    $$ FC^2 + AF^2 = AC^2\left( \frac{AG^2 + GE^2}{AE^2} \right) \qquad (10) $$

    Mais comme \( AGE \) est un triangle rectangle, par le théorème de Pythagore, on a :

    $$ AG^2 + GE^2 = AE^2 \qquad (11) $$

    En injectant \( (11) \) dans \( (10) \) :

    $$ FC^2 + AF^2 = AC^2\left( \frac{AE^2}{AE^2} \right) $$

    $$ FC^2 + AF^2 = AC^2 $$


    Par ailleurs, par la réciproque du théorème de Pythagore, que :

    $$ FC^2 + AF^2 = AC^2 \Longrightarrow AF \perp FC $$


    Or, nous savons de même que si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, elles sont parallèles entre elles.

    Et comme \( AG \perp GE \) et \( AF \perp FC \), alors \( FC \parallel GE \).


    Un triangle quelconque avec une parallèle à un des côtés, plus une hauteur

    Les droites \( BC \) et \(DE \) n'étant que les prolongements respectifs de \( FC \) et \( GE \), nous avons bien prouvé que :

    $$ BC \parallel DE $$


    Soit finalement,

    $$ \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \Longrightarrow BC \parallel DE \qquad \bigl(Thal\textit{è}s \enspace(réciproque) \bigr) $$


Équivalence du théorème de Thalès

Deux implications alors une équivalence.

Alors, étant données les deux implications \((I_1)\) et \((I_2)\) :

$$ \left \{ \begin{align*} BC \parallel DE \Longrightarrow \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \qquad (I_1) \\ \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \Longrightarrow BC \parallel DE \qquad (I_2) \end{align*} \right \} $$

On peut les rassembler dans une l'équivalence :

$$ BC \parallel DE \Longleftrightarrow \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \qquad \bigl(Thal\textit{è}s \enspace(\textit{é}quivalence) \bigr) $$

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