Dans un triangle, le théorème de Thalès implique des rapports de proportionnalité entre les longueurs.
Soit un triangle quelconque, dans lequel on trace une parallèle à un des côtes, et tel que le figure suivante :
Le théorème de Thalès nous dit que, dans un triangle \(ABD\), si il existe une droite \(BC\) coupant \(AD\) et \(AE\) respectivement en \(B\) et \(C\) telle que \(BC \parallel DE\), alors cela implique les rapports suivants entre les longueurs :
$$ BC \parallel DE \Longrightarrow \Biggl( \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \Biggr) \qquad \bigl(Thal\textit{è}s \enspace(th \textit{é} or \textit{è} me) \bigr) $$
Il est de même possible de l'appliquer dans un triangle inversé, telle que la figure suivante :
Enfin, par extension du théorème de Thalès, si nous avons établi les égalités suivantes entre les rapports :
$$ \frac{AB}{AD} = \frac{AB'}{AD'} = \frac{BB'}{DD'} $$
Ces rapports s'appliqueront de même à toutes les droites projetées (orthogonalement ou non) sur le côté \( DD' \).
$$ \frac{AB}{AD} = \frac{AB_1}{AD_1} = \frac{AB_2}{AD_2}= \frac{AB'}{AD'} $$
Réciproque du théorème de Thalès
La réciproque du théorème de Thalès nous dit que si dans un triangle \( ADE \), avec une droite \( BC \) coupant \( AD \) et \( AE \) respectivement en \( B \) et \( C \), tel que la figure suivante :
Alors cela implique une relation de parallélisme :
$$ \Biggl( \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \Biggr) \Longrightarrow BC \parallel DE \qquad \bigl(Thal\textit{è}s \enspace(réciproque) \bigr) $$
Par ailleurs, dans ce cas-ci seulement une des trois égalités des rapports est suffisante pour impliquer un parallélisme, et :
$$ \Biggl( \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}\Biggr) \ ou \ \Biggl(\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DE} \Biggr) \ ou \ \Biggl(\frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE}\Biggr) \Longrightarrow BC \parallel DE \qquad \bigl(Thal\textit{è}s \enspace(réciproque^*) \bigr) $$
Équivalence du théorème de Thalès
Les deux implications forment l'équivalence :
$$ BC \parallel DE \Longleftrightarrow \Biggl( \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \Biggr) \qquad \bigl(Thal\textit{è}s \enspace(\textit{é}quivalence) \bigr) $$
Soit un triangle ordinaire, dans lequel nous avons ajouté une droite \( BC \) coupant \( AD \) et \( AE \) respectivement en \( B \) et \( C \).
Partons de l'hypothèse que :
$$BC \parallel DE \qquad (H_1) $$
Pour prouver la véracité du thèorème, ajoutons à ce triangle la hauteur \( AG \) coupant \( BC \) et \( DE \), respectivement en \( F \) et \( G \).
Cela va nous permettre d'y appliquer les lois de la trigonométrie.
On a pour les triangles \( ADG \) et \( ABF \) :
$$ cos(\alpha) = \frac{DG}{DA} = \frac{BF}{BA} $$
On peut alors dire que :
$$ \frac{DG}{DA} = \frac{BF}{BA} $$
Soit que :
$$ \frac{AB}{AD} = \frac{BF}{DG} \qquad (1) $$
De même, on a :
$$ sin(\alpha) = \frac{AG}{AD} = \frac{AF}{AB} $$
$$ \frac{AG}{AD} = \frac{AF}{AB} $$
$$ \frac{AB}{AD} = \frac{AF}{AG} \qquad (2) $$
Or, on remarque un terme en commun \( \frac{AB}{AD} \) dans les équations \( (1) \) et \( (2) \), on peut alors obtenir une triple égalité :
$$ \frac{AB}{AD} = \frac{BF}{DG} = \textcolor{#446e4f}{\frac{AF}{AG}} \qquad (3) $$
Nous allons effectuer le même procédé dans la partie droite du triangle.
En répétant le même schéma que précédemment, on obtient une nouvelle triple égalité :
$$ \frac{AC}{AE} = \frac{FC}{GE} = \textcolor{#446e4f}{\frac{AF}{AG}} \qquad (4) $$
On remarque à présent que dans \( (3) \) et \( (4) \), on a un terme en commun \( \frac{AF}{AG} \), tous ces rapports sont donc égaux entre eux :
$$ \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BF}{DG} = \frac{FC}{GE} = \textcolor{#446e4f}{\frac{AF}{AG}} \qquad (5) $$
Nous avons alors déjà prouvé que :
$$ \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} $$
Il reste alors à prouver que ces deux rapports sont aussi égaux au troisième rapport : \( \frac{BC}{DE} \).
On sait par la propriété d'addition des numérateurs et dénominateurs entre eux d'une fraction que :
$$ \forall (a, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.05em} \bigl[\mathbb{R}^* \bigr]^2, \enspace \ \Bigl \{ (b+d) \Bigr \} \ \neq 0, $$
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d} $$
.Dans notre cas, cela nous permet de dire que :
$$ \frac{BF}{DG} = \textcolor{#446e4f}{\frac{FC}{GE}} = \frac{BF +FC}{DG + DE} $$
Et par suite :
$$ \frac{BF}{DG} = \textcolor{#446e4f}{\frac{FC}{GE}} = \frac{BC}{DE} \qquad (6) $$
Comme avec la suite d'égalités \( (5) \), nous avions :
$$ \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BF}{DG} = \textcolor{#446e4f}{\frac{FC}{GE}} = \frac{AF}{AG} \qquad (5) $$
Les suites d'égalités dans \( (5) \) et \( (6) \) ayant au moins un terme en commun \( \frac{FC}{GE} \), alors le terme \( \frac{BC}{DE} \) est lui aussi bien égal à tous les autres, et :
$$ \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BF}{DG} = \frac{FC}{GE} = \frac{AF}{AG} = \frac{BC}{DE} \qquad (5') $$
Nous avons alors déjà prouvé que :
$$ \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} $$
Et finalement,
$$ BC \parallel DE \Longrightarrow \Biggl( \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \Biggr) \qquad \bigl(Thal\textit{è}s \enspace(th \textit{é} or \textit{è} me) \bigr) $$
Enfin, par extension du théorème de Thalès, si nous avons établi les égalités suivantes entre les rapports :
$$ \frac{AB}{AD} = \frac{AB'}{AD'} = \frac{BB'}{DD'} $$
Ces rapports s'appliqueront de même à toutes les droites projetées (orthogonalement ou non) sur le côté \( DD' \).
$$ \frac{AB}{AD} = \frac{AB_1}{AD_1} = \frac{AB_2}{AD_2}= \frac{AB'}{AD'} $$
Pour démontrer maintenant sa réciproque, partons de ces trois hypothèses différentes :
On sait grâce à la propriété suivante de la similarité de deux triangles que :
Deux triangles sont semblables s'ils ont un angle commun et qu'ils ont les deux longueurs respectives proportionnelles .
En conséquence de quoi, dans les trois hypothèses \((H_2)\), \((H_2')\) et \((H_2'')\) on aura toujours le cas de deux triangles semblables. Et ces deux triangles étant imbriqués l'un dans l'autre, il est logique de conclure que dans les trois cas de figure :
$$ BC \parallel DE $$
On a montré que une seule égalité des rapports sur trois était suffisante pour prouver le parallélisme, et :
$$ \Biggl( \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}\Biggr) \ ou \ \Biggl(\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DE} \Biggr) \ ou \ \Biggl(\frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE}\Biggr) \Longrightarrow BC \parallel DE \qquad \bigl(Thales \enspace(r \textit{é} ciproque^*) \bigr) $$
Et si ces trois rapports sont égaux, on peut écrire que :
$$ \Biggl( \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \Biggr) \Longrightarrow BC \parallel DE \qquad \bigl(Thales \enspace(r \textit{é} ciproque) \bigr) $$
Deux implications alors une équivalence.
Alors, étant données les deux implications \((I_1)\) et \((I_2)\) :
$$ \left \{ \begin{align*} BC \parallel DE \Longrightarrow \Biggl( \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \Biggr) \qquad (I_1) \\ \\ \Biggl( \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \Biggr) \Longrightarrow BC \parallel DE \qquad (I_2) \end{align*} \right \} $$
On peut les rassembler dans une l'équivalence :
$$ BC \parallel DE \Longleftrightarrow \Biggl( \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \Biggr) \qquad \bigl(Thal\textit{è}s \enspace(\textit{é}quivalence) \bigr) $$
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