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La méthode de Newton

Cette méthode consiste à calculer une certaine valeur plus ou moins connue, mais que l'on souhaiterait approximer plus précisément. La méthode se fait par itération successive.

Soit une fonction \( f \) convexe (resp. concave) et strictement croissante (resp. décroissante) sur un intervalle \( I \) et \( a_0 \) un réel appartenant à \( I \) tel que \( f(a_0) > 0 \).

Et \( x_0 \in I \) un réel à déterminer tel que : \( f(x_0) = 0 \)

Présentation de la méthode de Newton par dérivations successives

La méthode de Newton est utile pour déterminer la valeur \( x_0 \) pour laquelle \( f \) va s'annuler sur \( I \).

Cette valeur équivaut à :

$$ x_0 = lim_{n \to +\infty} \enspace (a_n) $$

Avec \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \) une suite récurrente telle que :

$$ a_{n + 1} = a_n - \frac{f(a_n)}{f'(a_n)} $$


Démonstration

Nous allons reprendre le cas de la figure précédente.

Nous savons que cette fonction va s'annuler à un moment donné, mais nous ne savons pas exactement pour quelle valeur \( x_0 \).

Nous avons représenté la tangente à cette courbe au point \( x = a_0 \), et répondant à l'équation :

$$ T_{a_0}(x) = f'(a_0)(x - a_0) + f(a_0)$$

Nous allons chercher à savoir lorsque cette fonction va s'annuler.

$$ T_{a_0}(x) = 0 $$

$$ f'(a_0)(x - a_0) + f(a_0) = 0 $$

$$ f'(a_0).x - f'(a_0).a_0 + f(a_0) = 0 $$

$$ f'(a_0).x = f'(a_0).a_0 - f(a_0) $$

On sait ici que \( f'(a_0) > 0 \), donc on peut diviser par \( f'(a_0) \).

$$ x = \frac{f'(a_0).a_0 - f(a_0)}{f'(a_0)} $$

$$ x = a_1 = a_0 - \frac{ f(a_0)}{f'(a_0)} $$


Si l'on continue et que l'on fait la même chose ne partant cette fois-ci de \( a_1 \), nous obtiendrons :

$$ a_2 = a_1 - \frac{ f(a_1)}{f'(a_1)} $$

Présentation de la méthode de Newton par dérivations successives - 2

Nous obtenons alors une suite récurrente \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \) une suite récurrente telle que :

$$ \enspace a_{n + 1} = a_n - \frac{f(a_n)}{f'(a_n)} $$

Plus on établira d'itérations successives et plus l'on va tendre vers la valeur souhaitée, soit :

$$ x_0 = lim_{n \to +\infty} \enspace (a_n) $$

Avec \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \) une suite récurrente telle que :

$$ a_{n + 1} = a_n - \frac{f(a_n)}{f'(a_n)} $$


Exemple

Nous allons tenter de chercher une valeur approchée de \( \sqrt{2} \) par cette méthode.

Soit \( f \) une fonction et \( x_0 = \sqrt{2}\) soit solution de \( f(x_0) = 0 \).

Partons de cette hypothèse et cherchons cette fonction.

$$ x_0 = \sqrt{2} $$

$$ x_0^2 = 2 $$

$$ x_0^2 - 2 = 0 $$

Nous allons alors étudier la fonction \( f \) définie par :

$$ f(x) = x^2 - 2 $$

Et ainsi trouver une valeur approchée de \( x_0 \) pour laquelle \( f(x_0) = 0 \).

Nous sommes bien dans le cas d'une fonction convexe et strictement croissante, nous pouvons alors appliquer la méthode.

Il va s'agit de computer les différentes valeurs de la suite :

$$ a_{n + 1} = a_n - \frac{f(a_n)}{f'(a_n)} $$

Avec \( f(x) = x^2 - 2 \) et sa fonction dérivée \( f'(x) = 2x \).

Soit,

$$ a_{n + 1} = a_n - \frac{a_n^2 - 2}{2a_n} $$


Voici le résultat de la computation avec différentes valeur pour \( a_0 \) :

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