Index des cours

La puissance d'un point par rapport à un cercle

Cas 1 : Intersections de cordes à l'intérieur du cercle

Si un point \( O\) est l'intersection entre deux cordes \( (AB )\) et \( (CD )\) d'un cercle à l'intérieur de celui-ci, et telles que la figure suivante :

Puissance d'un point par rapport à un cercle - point intérieur (avec les angles)

Alors, les deux triangles \( AOC \) et \( DOB \) sont semblables, et le produit entre les longueurs respectivement proportionnelles en partant du point \(O\) vaut :

$$\overline{OA} \times \hspace{0.05em} \overline{OB} =\hspace{0.05em} \overline{OC} \times \overline{OD}$$


Cas 2 : Intersections de cordes à l'extérieur du cercle

Si un point \( O\) est l'intersection entre deux cordes \( (AC )\) et \( (DB )\) d'un cercle à l'extérieur de celui-ci, et telles que la figure suivante :

Puissance d'un point par rapport à un cercle - point extérieur (avec les angles)

Alors, les deux triangles \( ABO \) et \( DCO \) sont semblables, et le produit entre les longueurs respectivement proportionnelles en partant du point \(O\) vaut :

$$\overline{OA} \times \hspace{0.05em} \overline{OB} =\hspace{0.05em} \overline{OC} \times \overline{OD}$$


Cas 3 : Intersections d'une corde et d'une tangente à l'extérieur du cercle

Si un point \( O\) est l'intersection entre une corde \( (AC )\) du cercle une tangente au cercle passant par \( T\), et telles que la figure suivante :

Puissance d'un point par rapport à un cercle - point extérieur et une tangente (avec les angles)

Alors, les deux triangles \( OAT \) et \( CTO \) sont semblables, et le produit entre les longueurs respectivement proportionnelles en partant du point \(O\) vaut :

$$\overline{OA} \times \hspace{0.05em} \overline{OC} =\hspace{0.05em} \overline{OT} ^2$$


Cas 4 : Intersections de deux tangentes à l'extérieur du cercle

Si un point \( O\) est l'intersection entre deux tangentes au cercle passant respectivement par \( T\) et \( T'\), et telles que la figure suivante :

Puissance d'un point par rapport à un cercle - point extérieur et deux tangentes (avec les angles)

Alors, le triangle \( OTT' \) est un triangle isocèle, et dans ce cas :

$$\overline{OT} = \hspace{0.05em} \overline{OT'}$$


Démonstration

Cas 1 : Intersections de cordes à l'intérieur du cercle

Soit un cercle et deux cordes \(AB\) et \(CD\) telle que la figure suivante :

Puissance d'un point par rapport à un cercle - point intérieur

Le point \(O\) est le point d'intersection entre les droites \((AB)\) et \((CD)\) à l'intérieur du cercle.

Les angles \( \widehat{BAC}\) et \( \widehat{BDC}\) inteceptent le même arc \( \overset{\frown}{BC}\) sur le cercle. Ils sont donc égaux.

$$ \widehat{BAC} = \widehat{BDC} = \alpha $$

De la même manière, les angles \( \widehat{ABD}\) et \( \widehat{ACD}\) inteceptent le même arc \( \overset{\frown}{AD}\) sur le cercle.

$$ \widehat{ABD} = \widehat{ACD} = \beta $$

Puissance d'un point par rapport à un cercle - point intérieur (avec les angles)

Les deux triangles \( AOC \) et \( DOB \) ayant deux angles deux-à-deux respectivement égaux, ils sont semblables.

On alors les proportions suivantes :

$$ \frac{OA}{OC} = \frac{OD}{OB} $$


Soit finalement,

$$\overline{OA} \times \hspace{0.05em} \overline{OB} =\hspace{0.05em} \overline{OC} \times \overline{OD}$$


Cas 2 : Intersections de cordes à l'extérieur du cercle

Soit un cercle et deux cordes \(AB\) et \(CD\) telle que la figure suivante :

Puissance d'un point par rapport à un cercle - point extérieur

Le point \(O\) est le point d'intersection entre les droites \((AC)\) et \((BD)\) à l'extérieur du cercle, cette intersection forme un sommet d'angle \(\theta\).

Les angles \( \widehat{BAC}\) et \( \widehat{BDC}\) inteceptent le même arc \( \overset{\frown}{BC}\) sur le cercle. Ils sont donc égaux.

$$ \widehat{BAC} = \widehat{BDC} = \alpha $$

Par suite, les angles \( \widehat{ABO}\) et \( \widehat{DCO}\) sont équivalents, étant le troisième angle des deux triangles respectifs :

$$ \widehat{ABO} = \widehat{DCO} = \beta = \pi - (\alpha + \theta) $$

Puissance d'un point par rapport à un cercle - point extérieur (avec les angles)

Les deux triangles \( ABO \) et \( DCO \) ayant deux angles deux-à-deux respectivement égaux, ils sont semblables.

On alors les proportions suivantes :

$$ \frac{OA}{OC} = \frac{OD}{OB} $$


Soit finalement,

$$\overline{OA} \times \hspace{0.05em} \overline{OB} =\hspace{0.05em} \overline{OC} \times \overline{OD}$$


Cas 3 : Intersections d'une corde et d'une tangente à l'extérieur du cercle

En reprenant notre figure précédente en faisant tendre les points \(B\) et \(D\) vers un nouveau point \(T\), pour que la droite \((OT)\) doit tangente au cercle.

Puissance d'un point par rapport à un cercle - point extérieur (construction d'une tangente T)

En construisant ce nouveau point \(T\), on a conservé l'équivalence entre les deux angles \(\alpha\).

Puissance d'un point par rapport à un cercle - point extérieur et une tangente (avec les angles)

Les deux triangles \( OAT \) et \( CTO \) ayant deux angles deux-à-deux respectivement égaux, ils sont semblables.

On alors les proportions suivantes :

$$ \frac{OA}{OT} = \frac{OT}{OC} $$


Soit finalement,

$$\overline{OA} \times \hspace{0.05em} \overline{OC} =\hspace{0.05em} \overline{OT} ^2$$


Cas 4 : Intersections de deux tangentes à l'extérieur du cercle

En reprenant notre figure précédente et en faisant tendre cette fois les points \(A\) et \(C\) vers un nouveau point \(T'\), pour que la droite \((OT)\) doit tangente au cercle.

Puissance d'un point par rapport à un cercle - point extérieur (construction d'une tangente T)

En construisant ce nouveau point \(T'\), on a conservé l'équivalence entre les deux angles \(\alpha\).

Puissance d'un point par rapport à un cercle - point extérieur et deux tangentes (avec les angles)

Les deux triangles semblables s'étant confondus lors du glissement, on se retrouve alors avec un seul triangle \(OTT'\) isocèle.


Alors,

$$\overline{OT} = \hspace{0.05em} \overline{OT'}$$

Index des cours
Retour en haut de page