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Le triangle rectangle inscrit dans le cercle

Dans un cercle, si un triangle inscrit a pour plus grand côté le diamètre du cercle, alors celui-ci est rectangle.

Dans le cas général, lorsqu'une corde d'un cercle intercepte deux côtés d'un triangle inscrit, l'angle opposé formé est égal à la moitié de l'arc formé par la corde.

Un triangle rectangle inscrit dans un cercle avec un côté comme corde du cercle

$$ \alpha = \frac{\overset{\frown}{BC}}{2} $$

Comme dans le cas où la corde est la diamètre du cercle, l'arc \( \overset{\frown}{BC} \enspace = \pi \), tel que la figure suivante :

Un triangle rectangle inscrit dans un cercle

Alors \( \alpha = \frac{\pi}{2}\), et le triangle sera rectangle.

Mais il est possible de le montrer par le calcul.


Démonstration

Pour cela, on se munit d'un repère orthonomé \( \vec{x}, \vec{y} \) centré en \( (0, 0) \).

Démonstration du triangle rectangle inscrit dans un cercle

On a appelé les côtés du triangles \( a, b, c \), et on y a projeté une hauteur \( h \) sur la longueur \( c \), avec comme point d'intersection \( x_R \) .

De même, on a tracé le rayon \( R \) du cercle pointant vers le sommet entre \( a \) et \( b \) du triangle.

On va chercher à démontrer que le triangle \( \{a, b, c \} \) est rectangle entre \( a \) et \( b \).


On sait par la réciproque du théorème de Pythagore que :

Si :

$$ a^2 + b^2 = c^2 $$

Alors le triangle \( \{a, b, c \} \) est rectangle entre \( a \) et \( b \).

C'est ce que nous allons démontrer.

On applique le théorème de Pythagore sur les trois rectangles :

- celui formé par \( \{h, (R - x_r), a \} \)

- celui formé par \( \{h, (R + x_r), b\} \)

- celui formé par \( \{h, x_R, R \} \)

On alors les égalités suivantes :

$$ h^2 + (R - x_R)^2 = a^2 \qquad (1) $$

$$ h^2 + (R + x_R)^2 = b^2 \qquad (2) $$

$$ h^2 + x_R^2 = R^2 \Longleftrightarrow h^2 = R^2 - x_R^2\qquad (3) $$


Injectons l'expression de \( h^2 \) de \( (3) \) dans \( (1) \) et \( (2) \), on obtient alors un nouveau couple d'égalité :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} R^2 - x_R^2 + (R - x_R)^2 = a^2 \qquad (4) \\ R^2 - x_R^2 + (R + x_R)^2 = b^2 \qquad (5) \end{gather*} $$


Calculons maintenant \( a^2 + b^2 \) en additionnant \( (4) \) et \( (5) \).

$$ a^2 + b^2 = R^2 - x_R^2 + (R - x_R)^2 + R^2 - x_R^2 + (R + x_R)^2 $$

$$ a^2 + b^2 = R^2 - x_R^2 + R^2 - 2R.x_R + x_R^2 + R^2 - x_R^2 + R^2 + 2R.x_R + x_R^2 $$

De nombreux termes s'annulent, et on obtient :

$$ a^2 + b^2 = 4R^2 $$

$$ a^2 + b^2 = (2R)^2 $$

Or on sait que :

$$ c = 2R $$

Car c'est notre diamètre par hypothèse.

Soit finalement :

$$ a^2 + b^2 = c^2 $$

Avec la la réciproque du théorème de Pythagore, on a montré que le triangle \( \{a, b, c \} \) est rectangle entre \( a \) et \( b \).

Démonstration du triangle rectangle inscrit dans un cercle

Soit pour conclure, que lorsqu'un triangle inscrit dans un cercle a pour diamètre le plus grand côté, ce dernier est rectangle et le diamètre du cercle est son hypoténuse.

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