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La géométrie analytique dans l'espace

Soient un répère orthonormé dans l'espace à trois dimensions \((O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})\).

Repère orthonormé dans l'espace à trois dimensions

Les droites et plans

Équation paramétrique d'une droite

Équation paramétrique d'une droite dans l'espace

L'équation paramétrique d'une droite \(\mathcal{D}\) dans l'espace, passant par un point \(A(x_0, y_0, z_0)\) et dirigée par un vecteur \(\vec{u}\begin{pmatrix} a\\ b \\c \end{pmatrix} \) (avec \(a, b, c \) non nuls tous les trois) est :

$$ M(x, y, z) \in \mathcal{D}(A, \vec{u}) \hspace{0.1em} \Longleftrightarrow \hspace{0.1em} \exists^{\infty} t \in \mathbb{R}, \enspace \begin{Bmatrix} x -x_0 = at\\ y - y_0 = bt \\z - z_0 = ct \end{Bmatrix} $$


Équation d'un plan

Équation d'un plan dans l'espace

L'équation d'un plan \((\mathcal{P})\) dans l'espace, passant par un point \(A(x_0, y_0, z_0)\) et orthogonal à un vecteur \(\vec{u}\begin{pmatrix} a\\ b \\c \end{pmatrix}\) est :

$$ M(x, y, z) \in \mathcal{P}(A, \vec{n}) \hspace{0.1em} \Longleftrightarrow \hspace{0.1em} ax + by + cz + d = 0$$

$$(avec \ d = -ax_0 - by_0 -c z_0)$$


Distance d'un point à un plan

Distance d'un point à un plan dans l'espace

La distance d'un point \(A(x_0, y_0, z_0)\) extérieur au plan \((\mathcal{P})\) se projettant orthogonalement sur ce même plan en \(H(x, y, z)\) vaut :

$$ d(A, \mathcal{P}) = \frac{\Bigl | -ax_0 - by_0 -c z_0 -d \Bigr |}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} $$


Les figures géométriques

Équation d'une sphère

Équation d'une sphère dans l'espace

La sphère \((\mathcal{S})\) de rayon \(R\) et centrée en \(A(x_0, y_0, z_0)\) a pour équation dans l'espace :

$$ M \in \mathcal{S}(A, R) \hspace{0.1em} \Longleftrightarrow \hspace{0.1em} R^2 = (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 $$


Équation d'un cylindre

Équation d'un cylindre dans l'espace

Le cylindre \((\mathcal{C})\) de rayon \(r\) et centré en \(A(x_0, y_0, z_0)\) a pour équation dans l'espace :

$$ M \in \mathcal{C}(A, r) \hspace{0.1em} \Longleftrightarrow \hspace{0.1em} r^2 = (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 $$


Équation d'un cône

Équation d'un cône dans l'espace

Le cône \((\mathcal{C})\) de demi-angle \( \theta\), et centré en \(A(x_0, y_0, z_0)\) a pour équation dans l'espace :

$$ M \in \mathcal{C}(A, r) \hspace{0.1em} \Longleftrightarrow \hspace{0.1em} (x- x_0)^2 + (y- y_0)^2 = k(z-z_0)^2 $$

$$(avec \ k = tan^2(\theta))$$


Démonstrations

Les droites et plans

Équation paramétrique d'une droite

Soit une droite \((\mathcal{D})\) dans l'espace, passant par un point \(A(x_0, y_0, z_0)\) et dirigée par un vecteur \(\vec{u}\begin{pmatrix} a\\ b \\c \end{pmatrix}\) (avec \(a, b, c \) non nuls tous les trois) .

Équation paramétrique d'une droite dans l'espace

Comme \(M \in \mathcal{D}\), alors les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\overrightarrow{AM}\) sont colinéaires. Soit :

$$ M(x, y, z) \in \mathcal{D}(A, \vec{u}) \hspace{0.1em} \Longleftrightarrow \hspace{0.1em} \overrightarrow{AM} = t \times \overrightarrow{u}$$

$$ \Longleftrightarrow \exists^{\infty} t \in \mathbb{R}, \enspace \begin{pmatrix} x -x_0 \\ y - y_0 \\z - z_0 \end{pmatrix} = \hspace{0.1em} \begin{pmatrix} ta \\ tb \\tc \end{pmatrix} $$

$$ \exists^{\infty} t \in \mathbb{R}, \enspace \begin{Bmatrix} x -x_0 = at\\ y - y_0 = bt \\z - z_0 = ct \end{Bmatrix} $$


L'équation paramétrique d'une droite \((\mathcal{D})\) dans l'espace, passant par un point \(A(x_0, y_0, z_0)\) et dirigée par un vecteur \(\vec{u}\begin{pmatrix} a\\ b \\c \end{pmatrix}\) est :

$$ M(x, y, z) \in \mathcal{D}(A, \vec{u}) \hspace{0.1em} \Longleftrightarrow \hspace{0.1em} \exists^{\infty} t \in \mathbb{R}, \enspace \begin{Bmatrix} x -x_0 = at\\ y - y_0 = bt \\z - z_0 = ct \end{Bmatrix} $$

Le paramètre \(t\) est un paramètre libre qui peut prendre n'importe quelle valeur.

En effet, la droite \((\mathcal{D})\) s'étendant à l'infini, on obtient une formation de cette derière en faisant varier \(t\), aboutissant à l'intersection de trois plans correspondant respectivement aux trois équations ; ce qui forme une suite de points dans l'espace.

Équation paramétrique d'une droite dans l'espace - superposition des plans formant une droite

Équation d'un plan

Soit un plan \((\mathcal{P})\) dans l'espace, passant par un point \(A(x_0, y_0, z_0)\) et orthogonal à un vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix} a\\ b \\c \end{pmatrix}\)(avec \(a, b, c \) non nuls tous les trois). On dit que \(\vec{n}\) est un vecteur normal au plan.

Équation d'un plan dans l'espace

Alors, tout point \(M(x, y, z)\) appartenant à ce plan est orthogonal à \(\vec{n}\).

$$ M(x, y, z) \in \mathcal{P}(A, \vec{n}) \hspace{0.1em} \Longleftrightarrow \hspace{0.1em} \overrightarrow{MA} \perp \vec{n}$$

Deux vecteur orthogonaux ont leur produit scalaire nul.

$$ \Longleftrightarrow \hspace{0.1em} \overrightarrow{MA} .\vec{n} = 0$$

$$ \Longleftrightarrow \begin{pmatrix} x -x_0 \\ y - y_0 \\z - z_0 \end{pmatrix} . \hspace{0.1em} \begin{pmatrix} a \\ b \\c \end{pmatrix} = 0$$

$$ a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0 $$

$$ ax - ax_0 + by - by_0 + cz -c z_0 = 0 $$

$$ ax + by + cz \hspace{0.1em} \underbrace{-ax_0 - by_0 -c z_0} _\text{\( (d \hspace{0.1em} \in \hspace{0.05em} \mathbb{R})\)} \hspace{0.1em} = 0 $$

$$ ax + by + cz + d = 0 $$


L'équation d'un plan \((\mathcal{P})\) dans l'espace, passant par un point \(A(x_0, y_0, z_0)\) et orthogonal à un vecteur \(\vec{u}\begin{pmatrix} a\\ b \\c \end{pmatrix}\) est :

$$ M(x, y, z) \in \mathcal{P}(A, \vec{n}) \hspace{0.1em} \Longleftrightarrow \hspace{0.1em} ax + by + cz + d = 0$$

$$(avec \ d = -ax_0 - by_0 -c z_0)$$


Distance d'un point à un plan

Soit un plan \((\mathcal{P})\) dans l'espace, orthogonal à un vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix} a\\ b \\c \end{pmatrix}\)(avec \(a, b, c \) non nuls tous les trois).

Soit un point \(A(x_0, y_0, z_0)\) en dehors du plan qui se projette orthogonalement sur \((\mathcal{P})\) en \(H(x, y, z)\).

Distance d'un point à un plan dans l'espace

On cherche à évaluer la distance \(HM\), distance la plus courte du point \(M\) au plan \((\mathcal{P})\).

Par la définition du produit scalaire, on a :

$$ \overrightarrow{AH} .\vec{n} = ||\overrightarrow{AH} || \times ||\overrightarrow{n} || \times cos(\overrightarrow{AH}, \overrightarrow{n}) $$

$$ \overrightarrow{AH} .\vec{n} = AH \times \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \times (\pm 1) \qquad (1)$$

D'autre part, avec le calcul du produit scalaire par le produit des coordonnées, on a :

$$ \overrightarrow{AH} .\vec{n} = a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) $$

$$ \overrightarrow{AH} .\vec{n} = \hspace{0.1em} \underbrace{-ax - by -c z} _\text{\( -d \)} -ax_0 - by_0 -c z_0 $$

$$ \overrightarrow{AH} .\vec{n} = -ax_0 - by_0 -c z_0 -d \qquad (2) $$


Étant donné que \((1)\) et \((2)\) sont équivalents, étant le même produit scalaire, on a :

$$ AH \times \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \times (\pm 1) = -ax_0 - by_0 -c z_0 -d $$

Calculant une distance, on peut passer en valeur absolue :

$$ \Bigl | AH \times \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \times (\pm 1) \Bigr | = \Bigl | -ax_0 - by_0 -c z_0 -d \Bigr | $$

$$AH = \frac{\Bigl | -ax_0 - by_0 -c z_0 -d \Bigr |}{\Bigl |\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \times (\pm 1) \Bigr |} $$

$$AH = \frac{\Bigl | -ax_0 - by_0 -c z_0 -d \Bigr |}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} $$


La distance d'un point \(A(x_0, y_0, z_0)\) extérieur au plan \((\mathcal{P})\) se projettant orthogonalement sur ce même plan en \(H(x, y, z)\) vaut :

$$ d(A, \mathcal{P}) = \frac{\Bigl | -ax_0 - by_0 -c z_0 -d \Bigr |}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} $$


Les figures géométriques

Équation d'une sphère

Soit une sphère \((\mathcal{S})\) de rayon \(R\) et centrée en \(A(x_0, y_0, z_0)\).

Équation d'une sphère dans l'espace

Sur cette sphère, tout point tout point \(M(x, y, z)\) se situe à égale distance du point \(A\), qui est la rayon \(R\) :

$$ M \in \mathcal{S}(A, R) \hspace{0.1em} \Longleftrightarrow \hspace{0.1em} AM = \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 }$$

$$ R = \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 }$$

$$ R^2 = (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 $$


La sphère \((\mathcal{S})\) de rayon \(R\) et centrée en \(A(x_0, y_0, z_0)\) a pour équation dans l'espace :

$$ M \in \mathcal{S}(A, R) \hspace{0.1em} \Longleftrightarrow \hspace{0.1em} R^2 = (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 $$


Équation d'un cylindre

Soit un cylindre vertical \((\mathcal{C})\) de rayon \(r\) et centré en \(A(x_0, y_0, z_0)\).

Équation d'un cylindre dans l'espace

Dans le plan \((O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})\), le cylindre décrit un cercle, on a alors :

$$ M \in \mathcal{C}(A, r) \hspace{0.1em} \Longleftrightarrow \hspace{0.1em} AM = \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 }$$

$$ r = \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 }$$

$$ r^2 = (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 $$

L'axe vertical \(z\) peut lui prendre n'importe quelle valeur, c'est donc une variable libre.


Le cylindre \((\mathcal{C})\) de rayon \(r\) et centré en \(A(x_0, y_0, z_0)\) a pour équation dans l'espace :

$$ M \in \mathcal{C}(A, r) \hspace{0.1em} \Longleftrightarrow \hspace{0.1em} r^2 = (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 $$


Équation d'un cône

Soit un cône vertical \((\mathcal{C})\) de demi-angle \( \theta\), et centré en \(A(x_0, y_0, z_0)\).

Équation d'un cône dans l'espace

Sur la figure ci-dessous, on peut voir que :

$$ M \in \mathcal{C}(A, \theta) \hspace{0.1em} \Longleftrightarrow \hspace{0.1em} tan(\theta) = \frac{AM'}{AM} $$

$$ \Longleftrightarrow \hspace{0.1em} tan(\theta) = \frac{\sqrt{ (x- x_0)^2 + (y- y_0)^2} }{|z-z_0|} $$

$$ tan^2(\theta) = \ \frac{ (x- x_0)^2 + (y- y_0)^2 }{(z-z_0)^2} $$

$$ (x- x_0)^2 + (y- y_0)^2 = (z-z_0)^2 tan^2(\theta) $$


Le cône \((\mathcal{C})\) de demi-angle \( \theta\), et centré en \(A(x_0, y_0, z_0)\) a pour équation dans l'espace :

$$ M \in \mathcal{C}(A, r) \hspace{0.1em} \Longleftrightarrow \hspace{0.1em} (x- x_0)^2 + (y- y_0)^2 = k(z-z_0)^2 $$

$$(avec \ k = tan^2(\theta))$$


Exemples

  1. Intersection de deux plans \( : \mathcal{P} \cap \mathcal{P}' \)

  2. Cherchons l'intersection \((\mathcal{P} \cap \mathcal{P}') \) entre les deux plans \((\mathcal{P}) \) et \((\mathcal{P}') \).

    $$ (\mathcal{S}) \ \Biggl \{ \begin{align*} \ \ 3x \ - \ y \ + z \hspace{1.8em}= 0 \qquad (\mathcal{P}) \\ -2x +2y + z + 1 = 0 \qquad (\mathcal{P}') \end{align*} $$

    On échelonne le système \((\mathcal{S})\) en faisant \( 2(\mathcal{P}) \) + \( 3(\mathcal{P}') \).

    $$ (\mathcal{S}) \ \Biggl \{ \begin{align*} 3x - y \ + z = 0 \hspace{5em} (\mathcal{P}) \\ \ \ \ \ 4y +5 z = -3 \qquad \qquad (2(\mathcal{P}) + 3(\mathcal{P}') ) \end{align*} $$

    Le système est de rang \(2\), alors l'intersection est une droite qu'on notera \( (\mathcal{D})\). Le paramètre \( z \) est une variable libre et :

    $$z = \frac{4y-3}{5} \Longleftrightarrow y = \frac{-5z-3}{4} $$

    Alors, on résout le système par remontée et on trouve :

    $$ \left \{ \begin{align*} x = \frac{-3z-1}{4} \\ y = \frac{-5z-3}{4} \\ z= z \end{align*} \right \} $$

    On choisit comme valeur \( z = 0 \) pour fixer un point de la droite \( (\mathcal{D})\). Alors le point \( A\left(-\frac{1}{4},-\frac{3}{4}, 0 \right) \in \mathcal{D}\).

    Par ailleurs, on voit que le vecteur \(\vec{u}\begin{pmatrix} -\frac{3}{4} \\ - \frac{5}{4} \\ \hspace{1em} 1 \end{pmatrix}\) dirige la droite \( (\mathcal{D})\), alors celle-ci a pour équation :

    $$ M(x, y, z) \in \mathcal{D}(A, \vec{u}) \hspace{0.1em} \Longleftrightarrow \hspace{0.1em} \exists^{\infty} t \in \mathbb{R}, \enspace \begin{Bmatrix} x + \frac{1}{4} = -\frac{3}{4}t\\ y + \frac{3}{4} = -\frac{5}{4}t \\z = t \end{Bmatrix} $$

    Soit,

    $$(\mathcal{P} \cap \mathcal{P}')=(\mathcal{D}) \Longleftrightarrow \exists^{\infty} t \in \mathbb{R}, \enspace \begin{Bmatrix} x = -\frac{3}{4}t - \frac{1}{4}\\ y = -\frac{5}{4}t -\frac{3}{4} \\z = t \end{Bmatrix} $$


  3. Intersection d'une droite et d'un plan \( : \mathcal{D} \cap \mathcal{P} \)

  4. Cherchons l'intersection \((\mathcal{D} \cap \mathcal{P}) \) entre une droite \((\mathcal{D}) \) et un plan \((\mathcal{P}) \).

    $$ (\mathcal{D}) \ \Biggl \{ \begin{align*} x = t-1 \\ y = -2t + 3 \\ z= -t+5 \end{align*} $$

    $$ 2x + y -3z + 6 = 0 \qquad (\mathcal{P})$$

    On injecte les coordonnées de \((\mathcal{D}) \) dans celles de \((\mathcal{P}) \), et on résout \((\mathcal{S}) \) :

    $$ 2(t-1) -2t + 3 -3(-t+5) + 6 = 0 \qquad (\mathcal{S})$$

    $$ 2t-2-2t+3+3t -15 +6 = 0 \qquad (\mathcal{S})$$

    $$ 3t-8 = 0 \Longleftrightarrow t = \frac{8}{3} \qquad (\mathcal{S})$$

    Comme \(t \) est unique, il y a un point d'intersection, qu'on notera \(A\).

    On détermine ce point grâce à l'équation paramétrique de la droite \((\mathcal{D}) \).

    Ce point d'intersection est :

    $$ (\mathcal{D} \cap \mathcal{P}) = A\left(\frac{5}{3}; -\frac{7}{3}; \frac{7}{3} \right)$$


  5. Intersection de deux droites \( : \mathcal{D} \cap \mathcal{D}' \)

  6. Cherchons l'intersection \((\mathcal{D} \cap \mathcal{D}') \) entre deux droites \((\mathcal{D}) \) et \((\mathcal{D}') \).

    $$ (\mathcal{D}) \ \Biggl \{ \begin{align*} x = 2t-1 \\ y = -t-2 \\ z= t+2 \end{align*} $$

    $$ (\mathcal{D}') \ \Biggl \{ \begin{align*} x = s+1 \\ y = 3s-1\\ z= 2s+1\end{align*} $$

    $$ (\mathcal{D} \cap \mathcal{D}') \ \Longleftrightarrow \Biggl \{ \begin{align*} 2t-1 = s+1 \\ -t-2 = 3s-1\\ t +2 = 2s+1\end{align*} $$

    $$ (\mathcal{D} \cap \mathcal{D}') \ \Longleftrightarrow \ \Biggl \{ \begin{align*} 2t-s = 5 \ \ \qquad (L_1) \\ -t-3s = 1 \qquad (L_2) \\ t-2s = -1 \qquad (L_3) \end{align*} $$

    On résout d'abord les deux premières équations. On effectue \( (L_1 + 2 L_2)\) :

    $$-7s = 7 \qquad (L_1 + 2 L_2) \ \Longrightarrow \ s = -1 \ \Longrightarrow \ t = 2 $$

    Cette solution ne convient pas à la troisième car :

    $$2 - 2\times(-1) = 4\neq -1 $$

    Alors, comme il n'existe aucun couple \( (t, s) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2\) qui conviennent aux deux équations paramétriques des deux droites \((\mathcal{D}) \) et \((\mathcal{D}') \), elles n'ont pas de point d'intersection.

    $$(\mathcal{D} \cap \mathcal{D}') = \emptyset $$


  7. Intersection entre un plan et une sphère \( : \mathcal{P} \cap \mathcal{S} \)

  8. Cherchons l'intersection \((\mathcal{P} \cap \mathcal{S}) \) entre un plan \((\mathcal{P}) \) et une sphère \((\mathcal{S}) \).

    $$ z = \frac{1}{2} \qquad (\mathcal{P}) $$

    $$ x^2 + y^2 + z^2 = 1 \qquad (\mathcal{S}) $$

    On injecte \((\mathcal{P}) \) dans \((\mathcal{S}) \) :

    $$ x^2 + y^2 = \frac{3}{4} $$

    Alors, on obtient une équation pour les coordonnées \((x,y) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2 \). C'est en revanche l'équation d'un cône de rayon \(R = \frac{\sqrt{3}}{2}\), il faut alors conserver l'équation du plan \((\mathcal{P}) \) pour fixer le cône et obtenir un cercle.

    Alors, l'intersection entre \((\mathcal{P}) \) et \((\mathcal{S}) \) est la double équation :

    $$ (\mathcal{P} \cap \mathcal{S}) \ \Longleftrightarrow \ \Biggl \{ \begin{align*} x^2 + y^2 = \frac{3}{4} \\ z = \frac{1}{2} \end{align*} $$

    Intersection entre un plan et une sphère
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