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L'identité géométrique

On appelle identité géométrique, ou formule de Bernouilli, l'expression suivante :

$$\forall n \in \mathbb{N}, \enspace \forall (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2,$$

$$a^n - b^n = (a-b) \sum_{p=0}^{n-1} a^{n-p-1}b^p $$


Démonstration

  1. Par divisions successives

  2. En effectuant les divisions euclidiennes successives du pôlynome \( (a^n - b^n) \) par \( (a - b) \), on s'aperçoit que :

    Les divisions successives de l'identité géométrique

    Soit finalement,

    $$\forall n \in \mathbb{N}, \enspace \forall (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2,$$

    $$a^n - b^n = (a-b) \sum_{p=0}^{n-1} a^{n-p-1}b^p $$


Exemples

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