les démonstrations par récurrence
Démontrer par récurrence les différentes propositions.
Pour rappel :
$$ \sum_{k=0}^n \ f(k) = f(0) + f(1) \hspace{0.03em}+ \hspace{0.03em} ... \hspace{0.03em}+\hspace{0.03em} f(n) $$
Exemple :
$$ \sum_{k = 0}^n k^2 = \hspace{0.2em} 1^2 + \hspace{0.2em} 2^2 \hspace{0.1em} + \hspace{0.1em} ... \hspace{0.1em} + \hspace{0.1em} (n-1)^2 + n^2 $$
La suite des premiers entier naturels
$$ \forall n \in \mathbb{N}, $$
$$ \sum_{k = 0}^n k = \frac{n(n+1)}{2} \qquad(P_n) $$
La suite des premiers carrés naturels
$$ \forall n \in \mathbb{N}, $$
$$ \sum_{k = 0}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \qquad (Q_n) $$
La suite des premiers cubes naturels
$$ \forall n \in \mathbb{N}, $$
$$ \sum_{k = 0}^n k^3 = \frac{n^2 (n+1)^2 }{4} \qquad (R_n) $$
La suite des premiers nombres impairs
$$ \forall n \in \mathbb{N}, $$
$$ \sum_{k = 0}^n (2k +1) = (n+1)^2 \qquad (S_n) $$
La suite des premiers nombres pairs
$$ \forall n \in \mathbb{N}, $$
$$ \sum_{k = 0}^n (2k) = n(n+1) \qquad (T_n) $$
La suite des premieres puissances naturelles
$$ \forall n \in \mathbb{N}, \enspace \forall q \in \hspace{0.05em} \Bigl[ \mathbb{R} \ \backslash \bigl \{0,1 \bigr \} \Bigr] , $$
$$ \sum_{k = 0}^n q^k = \frac{q^{n+1} - 1}{q-1} \qquad (U_n)$$
Suite récurrente
$$ \forall n \in \mathbb{N}, $$
$$ u_{n+1} = 3u_n + 2 \qquad (Y_n) $$
$$ avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*}
u_0 = 0 \\
u_n = 3^n - 1
\end{gather*} $$
La formule de la dérivée d'une puissance de x (réduite aux exposants naturels)
$$ \forall n \in \mathbb{N}, \ \forall x \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}^*, $$
$$ (x^n)' = n \ x^{n-1} \qquad (Z_n) $$
L'inégalité de Bernouilli
$$ \forall n \geqslant 2, \ \forall x \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}^+, $$
$$ (1 + x)^n \geqslant (1 + nx) \qquad (A_n) $$
Divisibilité par \(9\)
$$ \forall n \geqslant 1, $$
$$ 9 / (10^n - 1) \qquad (B_n) $$
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