T^le Sciences et Techniques de l'Agronomie et du Vivant

Entraînement sur les suites récurrentes

(exercices type pour l'évaluation régulière)

Analyse

Fonctions de référence

Cours

Les fonctions de référence (jusqu'en seconde)
: \(x^2, x^3, \sqrt{x}, \frac{1}{x}...etc.\)

Les fonctions de référence (complément de première-terminale) : \(e^x, ln(x)...etc.\)

Activités

Activités sur les puissances et logarithmes :'évolution de la population, gamme tempérée \( : P_3 = P_0 \times (1-t)^3 \)
Activité sur les fonctions du second degré : champ à surface variable

Exercices

Exercices d'entraînement à la résolution d'équations générales

Méthodes

Isoler une variable \(X\)
Formules de puissances et écriture scientifique : \( x^a \times x^b = x^{a+b} \)
Manipuler les formules de puissances \( : a^{-n} = \left(a^{-1} \right)^{n} = \left(a^{n} \right)^{-1} \)
Résoudre une équation du second degré : \(aX^2 + bX + c = 0\)
Reconnaître un décalage de fonction : \(g(x) = f(x-a) + b\)

Dérivées

Cours

Définition de la dérivée : \(f'(x) = lim_{h \to 0} \enspace \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\)

Activités

Exercices

Exercices d'entraînement aux calculs de dérivées

Méthodes

Méthodes de calcul d'une dérivée : \((x^n)' = n \ x^{n-1}\)
Méthode générale pour l'étude d'une fonction (variations, convexité) : \( f' \geqslant 0 \Longleftrightarrow f \nearrow\)

Méthodes d'ajustement affine

Activités

Activité sur les regressions linéaires : le taux de nitrates dans l'eau d'une rivière

Méthodes

Faire un régression linéaire : \( f(x) = \frac{covar(X, \ Y)}{var(X)} x \ + \Bigl[ \bar{y} - a \bar{x} \Bigr] \)

Suites

Nature et sens de variations des suites

Exercices

Méthodes

Déterminer le sens de variations d'une suite : \( u_{n+1} - u_n > 0 \hspace{1em} / \hspace{1em} \frac{u_{n+1}}{u_n} > 1 \)

Suites récurrentes

Activités

La suite de Fibonacci et le nombre d'or \( : \phi^2 = \phi + 1 \)

Exercices

Méthodes

Le raisonnement par récurrence : \( \Bigl[ P_0 \land (P_n \Longrightarrow P_{n+1}) \Bigr] \Longrightarrow \Bigl[ \forall n \geqslant n_0, \ P_n \Bigr] \)

Suites arithmétiques et géométriques

Cours

Les suites arithmétiques et géométriques : \( u_n = u_0 + nr \hspace{1em} / \hspace{1em} v_n = v_0 \ q^n \)

Activités

L'évolution de naissances d'animaux \( : L_n = L_1 + nr \)
Le prêt immobilier à annuités constantes \( : K_1 = K_0 \times (1+t) \)

Exercices

Méthodes

Méthodes de calcul de la somme des termes d'une suite arithmétique ou géométrique : \( {\displaystyle \sum_{k =a}^n (u_0 + kr)} \hspace{1em} / \hspace{1em} {\displaystyle \sum_{k =a}^n (v_0 \ q^n)} \)

Méthodes diverses

Règles générales de calculs (sans calculatrice) : \( a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) \)
Convertir des unités : \(1 \ km^2 = 10^6 \ m^2\)
Dresser un tableau de signes : \( (a_1 x + b_1)(a_2 x + b_2) ...\leqslant 0\)