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Exercices de type problème sur les suites récurrentes (arithmétique ou géométrique)

Suite récurrente avec suite associée arithmétique

Soit la suite \((u_n)_{n \geqslant 0} \), définie de manière récurrente par :

$$\forall n \geqslant 0, \hspace{1em} \Biggl \{ \begin{gather*} u_{n+1} = u_n + 2n - 3 \\ u_0 = 1 \end{gather*} $$

  1. Calculer les trois premiers termes la suite \((u_n)\).

  2. Soit une nouvelle suite \((v_n)_{n \geqslant 0}\) définie en fonction de la précédente :

    $$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} v_n = u_n - n^2 $$

    Montrer alors que la suite \((v_n)\) est une suite arithmétique, et préciser sa raison \(r\).

    Ainsi, en déduire une expression générale pour \((v_n)\).

  3. Déduire de l'expression de précédemment établie de \((v_n)\), une expression pour \((u_n)\).

  4. Grâce à son expression générale, déterminer le sens de variations de cette suite.

Suite récurrente avec suite associée géométrique (1)

Soit la suite \((u_n)_{n \geqslant 1} \), définie de manière récurrente par :

$$\forall n \geqslant 1, \hspace{1em} \Biggl \{ \begin{gather*} u_{n+1} = \frac{2}{3}u_n \times \left( \frac{n + 1}{n} \right) \\ u_1 = 1 \end{gather*} $$

  1. Calculer les trois premiers termes la suite \((u_n)\).

  2. Soit une nouvelle suite \((v_n)_{n \geqslant 1}\) définie en fonction de la précédente :

    $$\forall n \geqslant 1, \hspace{2em} v_n = \frac{u_n}{n} $$

    Montrer alors que la suite \((v_n)\) est une suite géométrique, et préciser sa raison \(r\).

    Ainsi, en déduire une expression générale pour \((v_n)\).

  3. Déduire de l'expression de précédemment établie de \((v_n)\), une expression pour \((u_n)\).

  4. Grâce à son expression générale, déterminer le sens de variations de cette suite.

Suite récurrente avec suite associée géométrique (2)

Soit la suite \((u_n)_{n \geqslant 0} \), définie de manière récurrente par :

$$\forall n \geqslant 0, \hspace{1em} \Biggl \{ \begin{gather*} u_{n+1} = \frac{3}{4}u_n +\frac{1}{4}n + 1 \\ u_0 = 1 \end{gather*} $$

  1. Calculer les trois premiers termes la suite \((u_n)\).

  2. Soit une nouvelle suite \((v_n)_{n \geqslant 0}\) définie en fonction de la précédente :

    $$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} v_n = u_n - n $$

    Montrer alors que la suite \((v_n)\) est une suite géométrique, et préciser sa raison \(q\).

    Ainsi, en déduire une expression générale pour \((v_n)\).

  3. Déduire de l'expression de précédemment établie de \((v_n)\), une expression pour \((u_n)\).

  4. Grâce à son expression générale, déterminer le sens de variations de cette suite.

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