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Exercices de type problème sur les suites récurrentes

Suite récurrente issue d'un polynôme du second degré

Soit la suite \((u_n)_{n \geqslant 0} \), définie de manière récurrente par :

1. Calculer les trois prochains termes la suite \((u_n)\).

$$u_{0+1} = u_0 - 3 \times 0 + 1 $$
$$u_1 = 1 + 1 $$
$$u_1 = 2 $$
$$u_{1+1} = u_1 - 3 \times 1 + 1 $$
$$u_2 = 2 - 3 + 1 $$
$$u_2 = 0 $$
$$u_{2+1} = u_2 - 3 \times 2 + 1 $$
$$u_3 = 0 - 6 + 1 $$
$$u_3 = - 5 $$

2. On suppose que la suite \((u_n)\) est de la forme :

   $$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_n = an^2 + bn + c \qquad \left( avec \ (a,b,c) \in \hspace{0.01em} \mathbb{R}^3 \right) $$

   Trouver les valeurs des trois coefficients \((a,b,c)\), et en déduire l'expression de \((u_n)\).

On calcule les premières valeurs avec cette nouvelle forme :

$$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_n = an^2 + bn + c \qquad \left( avec \ (a,b,c) \in \hspace{0.01em} \mathbb{R}^3 \right) $$

1. Pour \((n= 0) \)

$$ u_0 = a \times 0^2 + b \times 0 + c $$
$$ u_0 = 0 + 0 + c $$
$$ u_0 = c $$

Or on sait que :

$$ u_0 = 1$$

Alors,

$$ c = 1$$

2. Pour \((n > 0) \)

Ensuite, on sait que pour les deux prochains termes :

Pour \((n = 1) \)

$$ u_1 = a \times 1^2 + b \times 1 + \textcolor{#836190}{c} $$

$$ u_1 = a + b + \textcolor{#836190}{1} $$

Pour \((n = 2) \)

$$ u_2 = a \times 2^2 + b \times 2 + \textcolor{#836190}{c} $$

$$ u_2 = 4a + 2b + \textcolor{#836190}{1} $$

$$ u_2 = 4a + 2b + 1 $$

Or on sait que,

$$ u_1 = 2$$
$$ u_2 = 0$$

Alors,

$$ a + b + 1 = 2 $$
$$ a + b = 2 - 1 $$
$$ a + b = 1 $$
$$ 4a + 2b + 1 = 0 $$
$$ 4a + 2b = -1 $$

3. Résolution du système à deux inconnues

On obtient alors un système à deux inconnues :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} a + b = 1 \qquad(L_1) \\ 4a + 2b = -1 \qquad(L_2) \end{gather*} $$

On multiplie d'abord la première ligne par \(4\) :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} a + b = 1 \hspace{2em} \qquad(L_1) \qquad \textcolor{#6187B2}{ (\times 4)} \\ 4a + 2b = -1 \qquad(L_2) \end{gather*} $$
$$ \Longrightarrow$$
$$ \Biggl \{ \begin{gather*} \textcolor{#6187B2}{4} a + \textcolor{#6187B2}{4}b = \textcolor{#6187B2}{4} \hspace{0.8em} \qquad(4L_1) \\ 4a + 2b = -1 \qquad(L_2) \end{gather*} $$

Puis on effectue l'opération \( (4L_1) - (L_2)\) pour isoler \(b\) :

$$4a+4b - (4a +2b) = 4 - (-1)$$
$$4a+4b - 4a - 2 b = 5$$
$$2 b = 5$$
$$b = \frac{5}{2}$$

À présent, on prend une des deux lignes pour en déduire \(a\) :

$$a + b = 1 \qquad(L_1) $$
$$a + \frac{5}{2} = 1 $$
$$a = 1 -\frac{5}{2} $$
$$a = \frac{2}{2} -\frac{5}{2} $$
$$a = -\frac{3}{2} $$

On a alors trouvée les trois coefficients :

$$ \left \{ a = -\frac{3}{2} , \ b = \frac{5}{2} ,\ c = 1 \right \}$$



Alors, cette suite \((u_n)\) a pour expression :

$$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_n = -\frac{3}{2} n^2 + \frac{5}{2} n + 1 $$

3. Enfin, montrer que la suite \((u_n)\) vérifie bien la relation de récurrence avec cette forme.

Avec la valeur des trois coefficients \((a,b, c)\), cela signifie que :

$$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_n = -\frac{3}{2}n^2 + \frac{5}{2}n + 1 \qquad (u_n)$$

1. Calcul du premier terme :

Pour le premier terme avec \((n=0)\), on a :

$$u_0 = -\frac{3}{2} \times 0^2 + \frac{5}{2} \times 0 + 1 $$
$$u_0 = 1$$

La relation est bien vérifiée pour le premier terme \(u_0\).

2. Hérédité

À partir de la proposition \((P_n)\) suivante supposée vraie :

$$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_n = -\frac{3}{2}n^2 + \frac{5}{2}n + 1 \qquad (P_n)$$

On cherche à montrer qu'elle est aussi vraie au rang suivant :

$$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_{n+1} = -\frac{3}{2}(n+1)^2 + \frac{5}{2}(n+1) + 1 $$
$$u_{n+1} = -\frac{3}{2}(n^2 + 2n + 1) + \frac{5}{2}n + \frac{5}{2} + 1 $$
$$u_{n+1} = -\frac{3}{2}n^2 + -\frac{3}{2} \times 2n -\frac{3}{2} + \frac{5}{2}n + \frac{5}{2} + \textcolor{#6187B2}{\frac{2}{2} \times} 1 $$
$$u_{n+1} = -\frac{3}{2}n^2 + -\frac{6}{2}n -\frac{3}{2} + \frac{5}{2}n + \frac{5}{2} + \frac{2}{2} $$
$$u_{n+1} = -\frac{3}{2}n^2 -\frac{1}{2}n + 2 \qquad (P_{n+1}) $$



Alors, vérifions que cela correspond bien à notre expression de départ, en y injectant la valeur supposée vraie de \((u_n)\) :

$$u_{n+1} = \textcolor{#836190}{u_n} - 3n + 1$$
$$u_{n+1} = \textcolor{#836190}{-\frac{3}{2}n^2 + \frac{5}{2}n + 1} - 3n + 1$$
$$u_{n+1} = -\frac{3}{2}n^2 + \frac{5}{2}n + 1 - \textcolor{#6187B2}{\frac{2}{2} \times } 3n + 1$$
$$u_{n+1} = -\frac{3}{2}n^2 + \frac{5}{2}n + 1 - \frac{6}{2}n + 1$$
$$u_{n+1} = -\frac{3}{2}n^2 - \frac{1}{2}n + 1 \qquad (u_{n+1})$$

3. Conclusion

La forme de \(u_n\) est vraie pour le premier terme \(u_0\), et est bien héréditaire de proche en proche.

Alors, on a montré que la suite \((u_n)\) admet bien une relation de récurrence, et vaut bien :

$$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_n = -\frac{3}{2}n^2 + \frac{5}{2}n + 1 \qquad (u_n)$$

4. Avec la nouvelle formule pour \((u_n)\), recalculer les termes de la suite avec cette nouvelle formule, et comparer avec les résultats précédents, afin de valider ou d'invalider le modèle.

On recalcule toutes les valeurs avec la formule explicite.

$$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_n = -\frac{3}{2}n^2 + \frac{5}{2}n + 1 \qquad (u_n)$$

Pour \(u_0\) :

$$ u_0 = -\frac{3}{2}\times 0^2 + \frac{5}{2}\times 0 + 1 $$

$$ u_ 0 = 1 $$

Pour \(u_1\) :

$$ u_1 = -\frac{3}{2}\times 1^2 + \frac{5}{2}\times 1 + 1 $$

$$ u_1 = -\frac{3}{2} + \frac{5}{2}+ 1 $$

$$ u_1 = \frac{2}{2} + 1 $$

$$ u_1 = 2 $$

Pour \(u_2\) :

$$ u_2 = -\frac{3}{2}\times 2^2 + \frac{5}{2}\times 2 + 1 $$

$$ u_2 = -\frac{12}{2} + \frac{10}{2}+ 1 $$

$$ u_2 = -\frac{2}{2} + \frac{10}{2}+ 1 $$

$$ u_2 = 0 $$

Pour \(u_3\) :

$$ u_3 = -\frac{3}{2}\times 3^2 + \frac{5}{2}\times 3 + 1 $$

$$ u_3 = -\frac{27}{2} + \frac{15}{2} + 1 $$

$$ u_3 = -\frac{12}{2} + 1 $$

$$ u_3 = -5 $$

Toutes les valeurs collent bien à l'expression explicite de la suite \((u_n)\).

Suite récurrente issue d'une puissance

Soit la suite \((u_n)_{n \geqslant 0} \), définie de manière récurrente par :

1. Calculer les trois prochains termes la suite \((u_n)\).

$$u_{0+1} = 4u_0 + 3 \times 0 - 1 $$
$$u_1 = 4 -1 $$
$$u_1 = 3 $$
$$u_{1+1} = 4u_1 + 3 \times 1 - 1 $$
$$u_2 = 4 \times 3 + 3 - 1 $$
$$u_2 = 14 $$
$$u_{2+1} = 4u_2 + 3 \times 2 - 1 $$
$$u_3 = 4 \times 14 + 6 - 1 $$
$$u_3 = 61 $$

2. On suppose que la suite \((u_n)\) est de la forme :

   $$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_n = \alpha^n - n \qquad \left( avec \ \alpha \in \mathbb{R} \right) $$

   Trouver la valeurs du coefficient \(\alpha\), et en déduire l'expression de \((u_n)\).

On calcule les premières valeurs avec cette nouvelle forme :

$$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_n = \alpha^n - n \qquad \left( avec \ \alpha \in \mathbb{R} \right) $$

1. Pour \((n= 1) \)

Comme on sait que :

$$ u_1 = 3$$

Alors,

$$ \alpha^1 - 1 = 3 $$
$$ \alpha = 4$$

Alors, la forme explicite de la suite \((u_n)\) est :

$$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_n = 4^n - n $$

3. On suppose que la suite \((u_n)\) vaut :

   $$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_n = 4^n - n $$

   Montrer que la suite \((u_n)\) vérifie bien la relation de récurrence.

Avec la valeur de la suite \((u_n) \):

$$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_n = 4^n - n $$

1. Calcul du premier terme :

Pour le premier terme avec \((n=0)\), on a :

$$u_n = 4^0 - 0 $$
$$u_0 = 1$$

La relation est bien vérifiée pour le premier terme \(u_0\).

2. Hérédité

À partir de la proposition \((P_n)\) suivante supposée vraie :

$$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_n = 4^n - n \qquad (P_{n}) $$

On cherche à montrer qu'elle est vraie au rang suivant :

$$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_{n+1} = 4^{n+1} - (n+1) \qquad (P_{n+1}) $$



Alors, vérifions que cela correspond bien à notre expression de départ, en y injectant la valeur \((u_n)\) :

$$u_{n+1} = 4\textcolor{#836190}{u_n} + 3n - 1$$
$$u_{n+1} = 4\textcolor{#836190}{(4^n - n)} + 3n - 1$$
$$u_{n+1} = 4^{n+1} -4n + 3n - 1 $$
$$u_{n+1} = 4^{n+1} - n - 1 $$
$$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_{n+1} = 4^{n+1} - (n+1) \qquad (P_{n+1}) $$

3. Conclusion

La forme de \(u_n\) est vraie pour le premier terme \(u_0\), et est bien héréditaire de proche en proche.

Alors, on a montré que la suite \((u_n)\) admet bien une relation de récurrence.

4. Avec la nouvelle formule pour \((u_n)\), recalculer les termes de la suite avec cette nouvelle formule, et comparer avec les résultats précédents, afin de valider ou d'invalider le modèle.

On recalcule toutes les valeurs avec la formule explicite.

$$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_n = 4^n - n $$

Pour \(u_0\) :

$$ u_0 = 4^0 - 0 $$

$$ u_ 0 = 1 $$

Pour \(u_1\) :

$$ u_1 = 4^1 - 1 $$

$$ u_1 = 4 - 1 $$

$$ u_1 = 3 $$

Pour \(u_2\) :

$$ u_2 = 4^2 - 2 $$

$$ u_2 = 16 - 2 $$

$$ u_2 = 14 $$

Pour \(u_3\) :

$$ u_3 = 4^3 - 3 $$

$$ u_3 = 64 - 3 $$

$$ u_3 = 61 $$

Toutes les valeurs collent bien à l'expression explicite de la suite \((u_n)\).

Suite récurrente périodique

Soit la suite \((u_n)_{n \geqslant 0} \), définie de manière récurrente par :

1. Calculer les trois prochains termes la suite \((u_n)\).

$$u_{0+1} = -u_0 +6 $$
$$u_1 = -1 + 6 $$
$$u_1 = 5 $$
$$u_{1+1} = -u_1 + 6 $$
$$u_2 = -5 + 6 $$
$$u_2 = 1 $$
$$u_{2+1} = -u_2 + 6 $$
$$u_3 = -1 + 6 $$
$$u_3 = 5 $$

2. Conjecturer sur les valeurs des termes de rang pair et impair : \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\).

On peut conjecturer que :

$$\forall n \geqslant 0, \hspace{1em} \Biggl \{ \begin{gather*} u_{2n} = 1 \\ u_{2n + 1} = 5 \end{gather*} $$

3. Démontrer que la suite \((u_n)\) est périodique, telle que :

   $$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_{n+2} = u_n $$

À partir de l'expression de départ de \((u_{n+1})\):

$$u_{n+1} = -u_n + 6$$

On calcule l'expression de \((u_{n+2})\) :

$$u_{n+2} = -u_{n+1} + 6$$

$$u_{n+2} = -(-u_n + 6) + 6$$

$$u_{n+2} = u_n - 6 + 6$$

$$u_{n+2} = u_n $$

4. On suppose que la suite \((u_n)\) est de la forme :

   $$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_n = \alpha \ cos \left(\pi n \right) + \beta \qquad \left( avec \ (\alpha, \beta) \in \hspace{0.01em} \mathbb{R}^2 \right) $$

   Trouver les valeurs des deux coefficients \((\alpha, \beta)\), et en déduire l'expression de \((u_n)\).

1. Pour \((n= 0) \)

$$ u_0 = \alpha \ cos \left(\pi \times 0 \right) + \beta $$
$$ u_0 = \alpha \ cos \left(0 \right) + \beta $$
$$ u_0 = \alpha \times 1 + \beta $$

Or on sait que :

$$ u_0 = 1$$

Donc,

$$ \alpha + \beta = 1$$

2. Pour \((n = 1) \)

Ensuite, on sait que pour le prochain terme :

$$ u_1 = \alpha \ cos \left(\pi \times 1 \right) + \beta $$
$$ u_1 = \alpha \ cos \left(\pi \right) + \beta $$
$$ u_1 = -\alpha + \beta $$

Or on sait que :

$$ u_1 = 5$$

Alors,

$$ -\alpha + \beta = 5 $$

3. Résolution du système à deux inconnues

On obtient alors un système à deux inconnues :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} \alpha + \beta = 1 \hspace{0.4em} \qquad(L_1) \\ -\alpha + \beta = 5 \qquad(L_2) \end{gather*} $$

On effectue l'opération \( (L_1) + (L_2)\) pour isoler \(\beta\) :

$$\alpha + \beta + (-\alpha + \beta) = 5 + 1$$
$$\alpha + \beta -\alpha + \beta = 6$$
$$2 \beta = 6 $$
$$\beta = \frac{6}{2}$$
$$\beta = 3 $$

Maintenant, à partir de \((L_1)\), on détermine \(\alpha\) :

$$\alpha + \beta = 1 \hspace{0.4em} \qquad(L_1) $$

Soit,

$$\alpha + 3= 1 $$
$$\alpha = 1 - 3 $$
$$\alpha = -2 $$

On a alors trouvée les deux coefficients :

$$ \Bigl \{ \alpha = -2 , \ \beta = 3\Bigr \}$$



On a donc comme expression pour \((u_n) \)

$$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_n = -2 \ cos \left(\pi n \right) + 3 $$

5. Avec la nouvelle formule pour \((u_n)\), recalculer les termes de la suite avec cette nouvelle formule, et comparer avec les résultats précédents, afin de valider ou d'invalider le modèle.

On recalcule toutes les valeurs avec la formule explicite.

$$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_n = -2 \ cos \left(\pi n \right) + 3 $$

Pour \(u_0\) :

$$ u_0 = -2 \ cos \left(\pi \times 0 \right) + 3 $$

$$ u_0 = -2 \ cos \left(0 \right) + 3 $$

$$ u_0 = -2 + 3 $$

$$ u_ 0 = 1 $$

Pour \(u_1\) :

$$ u_1 = -2 \ cos \left(\pi \times 1 \right) + 3 $$

$$ u_1 = -2 \ cos \left(\pi \right) + 3 $$

$$ u_1 = 2 + 3 $$

$$ u_1 = 3 $$

Pour \(u_2\) :

$$ u_2 = -2 \ cos \left(\pi \times 2 \right) + 3 $$

$$ u_2 = -2 \ cos \left(2\pi \right) + 3 $$

$$ u_2 = -2 + 3 $$

$$ u_2 = 1 $$

Pour \(u_3\) :

$$ u_3 = -2 \ cos \left(\pi \times 3 \right) + 3 $$

$$ u_3 = -2 \ cos \left(3\pi \right) + 3 $$

$$ u_3 = 2 + 3 $$

$$ u_3 = 5 $$

Toutes les valeurs collent bien à l'expression explicite de la suite \((u_n)\).