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Exercices de type problème sur les suites récurrentes

Suite récurrente issue d'un polynôme du second degré

Soit la suite \((u_n)_{n \geqslant 0} \), définie de manière récurrente par :

$$\forall n \geqslant 0, \hspace{1em} \Biggl \{ \begin{gather*} u_{n+1} = u_n - 3n + 1 \\ u_0 = 1 \end{gather*} $$

  1. Calculer les trois prochains termes la suite \((u_n)\).

    2. $$u_1 = u_0 - 3 \times 0 + 1 $$
    $$u_1 = 1 + 1 $$
    $$u_1 = 2 $$
    $$u_2 = u_1 - 3 \times 1 + 1 $$
    $$u_2 = 2 - 3 + 1 $$
    $$u_2 = 0 $$
    $$u_3 = u_2 - 3 \times 2 + 1 $$
    $$u_3 = 6 - 6 + 1 $$
    $$u_3 = 1 $$

  2. On suppose que la suite \((u_n)\) est de la forme :

    $$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_n = an^2 + bn + c \qquad \left( avec \ (a,b,c) \in \hspace{0.01em} \mathbb{R}^3 \right) $$

    Trouver les valeurs des trois coefficients \((a,b,c)\), et en déduire l'expression de \((u_n)).

    1. Pour \((n= 0) \)

      2. Comme on sait que :

      $$ u_0 = 1$$

      Alors,

      $$ a \times 0^2 + b \times 0 + c = 1 $$
      $$ \Longrightarrow c = 1$$

    2. Pour \((n > 0) \)

      3. Ensuite, on sait que pour les deux prochains termes :

      Pour \((n = 1) \)

      $$ u_1 = 2$$

      Pour \((n = 2) \)

      $$ u_2 = 0$$

      Alors,

      $$ a \times 1^2 + b \times 1 + c = 2 $$
      $$ a + b + c = 2$$
      $$ a + b + 1 = 2$$
      $$ a + b = 1$$
      $$ a \times 2^2 + b \times 2 + c = 0 $$
      $$ 4a + 2b + c = 0$$
      $$ 4a + 2b + 1 = 0$$
      $$ 4a + 2b = -1 $$

    3. Résolution du système à deux inconnues

      4. On obtient alors un système à deux inconnues :

      $$ \Biggl \{ \begin{gather*} a + b = 1 \qquad(L_1) \\ 4a + 2b = -1 \qquad(L_2) \end{gather*} $$

      On multiplie d'abord la première ligne par \(4\) :

      $$ \Biggl \{ \begin{gather*} a + b = 1 \hspace{2em} \qquad(L_1) \qquad \textcolor{#6187B2}{ (\times 4)} \\ 4a + 2b = -1 \qquad(L_2) \end{gather*} $$
      $$ \Longrightarrow$$
      $$ \Biggl \{ \begin{gather*} \textcolor{#6187B2}{4} a + \textcolor{#6187B2}{4}b = \textcolor{#6187B2}{4} \hspace{0.8em} \qquad(4L_1) \\ 4a + 2b = -1 \qquad(L_2) \end{gather*} $$

      Puis on effectue l'opération \( (4L_1) - (L_2)\) pour isoler \(b\) :

      $$4a+4b - (4a +2b) = 4 - (-1)$$
      $$4a+4b - 4a - 2 b = 5$$
      $$2 b = 5$$
      $$b = \frac{5}{2}$$

      À présent, on prend une des deux lignes pour en déduire \(a\) :

      $$a + b = 1 \qquad(L_1) $$
      $$a + \frac{5}{2} = 1 $$
      $$a = 1 -\frac{5}{2} $$
      $$a = \frac{2}{2} -\frac{5}{2} $$
      $$a = -\frac{3}{2} $$

      On a alors trouvée les trois coefficients :

      $$ \left \{ a = -\frac{3}{2} , \ b = \frac{5}{2} ,\ c = 1 \right \}$$

      Alors, cette suite \((u_n)\) a pour expression :

      $$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_n = -\frac{3}{2} n^2 + \frac{5}{2} n + 1 $$

  3. Enfin, montrer que la suite \((u_n)\) vérifie bien la relation de récurrence avec cette forme.

    4. Avec la valeur des trois coefficients \((a,b, c)\), cela signifie que :

    $$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_n = -\frac{3}{2}n^2 + \frac{5}{2}n + 1 \qquad (u_n)$$

    1. Calcul du premier terme :

      2. Pour le premier terme avec \((n=0)\), on a :

      $$u_0 = -\frac{3}{2} \times 0^2 + \frac{5}{2} \times 0 + 1 $$
      $$u_0 = 1$$

      La relation est bien vérifiée pour le premier terme \(u_0\).

    2. Hérédité

      3. À partir de la forme de \((u_n)\) suivante :

      $$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_n = -\frac{3}{2}n^2 + \frac{5}{2}n + 1 \qquad (u_n)$$

      On cherche à montrer que :

      $$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_{n+1} = -\frac{3}{2}(n+1)^2 + \frac{5}{2}(n+1) + 1 $$
      $$u_{n+1} = -\frac{3}{2}(n^2 + 2n + 1) + \frac{5}{2}n + \frac{5}{2} + 1 $$
      $$u_{n+1} = -\frac{3}{2}n^2 + -\frac{3}{2} \times 2n -\frac{3}{2} + \frac{5}{2}n + \frac{5}{2} + \textcolor{#6187B2}{\frac{2}{2} \times} 1 $$
      $$u_{n+1} = -\frac{3}{2}n^2 + -\frac{6}{2}n -\frac{3}{2} + \frac{5}{2}n + \frac{5}{2} + \frac{2}{2} $$
      $$u_{n+1} = -\frac{3}{2}n^2 -\frac{1}{2}n + 2 \qquad (u_{n+1}) $$

      Alors, vérifions que cela correspond bien à notre expression de départ, en y injectant la valeur \((u_n)\) :

      $$u_{n+1} = u_n - 3n + 1$$
      $$u_{n+1} = -\frac{3}{2}n^2 + \frac{5}{2}n + 1 - 3n + 1$$
      $$u_{n+1} = -\frac{3}{2}n^2 + \frac{5}{2}n + 1 - \textcolor{#6187B2}{\frac{2}{2} \times } 3n + 1$$
      $$u_{n+1} = -\frac{3}{2}n^2 + \frac{5}{2}n + 1 - \frac{6}{2}n + 1$$
      $$u_{n+1} = -\frac{3}{2}n^2 - \frac{1}{2}n + 1 \qquad (u_{n+1})$$

    3. Conclusion

      4. La forme de \(u_n\) est vraie pour le premier terme \(u_0\), et est bien héréditaire de proche en proche.

      Alors, on a montré que la suite \((u_n)\) admet bien une relation de récurrence.

Suite récurrente issue d'une puissance

Soit la suite \((u_n)_{n \geqslant 0} \), définie de manière récurrente par :

$$\forall n \geqslant 0, \hspace{1em} \Biggl \{ \begin{gather*} u_{n+1} = 4u_n + 3n - 1 \\ u_0 = 1 \end{gather*} $$

  1. Calculer les trois prochains termes la suite \((u_n)\).

    2. $$u_1 = 4u_0 + 3 \times 0 - 1 $$
    $$u_1 = 4 -1 $$
    $$u_1 = 3 $$
    $$u_2 = 4u_1 + 3 \times 1 - 1 $$
    $$u_2 = 4 \times 3 + 3 - 1 $$
    $$u_2 = 14 $$
    $$u_3 = 4u_2 + 3 \times 2 - 1 $$
    $$u_3 = 4 \times 14 + 6 - 1 $$
    $$u_3 = 61 $$

  2. En admettant que :

    $$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_n \geqslant 0 $$

    Montrer que la suite \((u_n)\) est croissante.

    3. Pour déterminer le sens de variations de \((u_n)\), étduions le signe de \((\Delta u_n)\) :

    $$ \Delta u_n = u_{n+1} - u_n \qquad (\Delta u_n) $$
    $$ \Delta u_n = 4u_n + 3n - 1 - u_n $$
    $$ \Delta u_n = 3u_n + 3n - 1 $$

    Étudions les signes de deux éléments qui compose ce résultat :

    Signe de \(3u_n \)

    $$ u_n \geqslant 0 $$
    $$ 3u_n \geqslant 0 $$

    Signe de \( (3n - 1) \)

    $$ n \geqslant 0 $$
    $$ 3n \geqslant 0 $$
    $$ 3n - 1 \geqslant - 1 $$

    Soit,

    $$ 3n - 1 \geqslant 0 $$

    Alors,

    $$ \Delta u_n = \underbrace{ 3u_n } _\text{ \(> 0 \)} + \underbrace{ (3n - 1) } _\text{ \(> 0 \)}$$

    On en conclue que

    $$ \Delta u_n > 0$$

    Ce qui signifie que :

    $$ u_{n+1} - u_n > 0 \Longrightarrow u_{n+1} > u_n $$

    Donc, la suite \((u_n) \) est monotone et croissante.

  3. On suppose que la suite \((u_n)\) équivaut à :

    $$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_n = 4^n - n $$

    Montrer que la suite \((u_n)\) vérifie bien la relation de récurrence.

    4. Avec la valeur de la suite \((u_n) \):

    $$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_n = 4^n - n $$

    1. Calcul du premier terme :

      2. Pour le premier terme avec \((n=0)\), on a :

      $$u_n = 4^0 - 0 $$
      $$u_0 = 1$$

      La relation est bien vérifiée pour le premier terme \(u_0\).

    2. Hérédité

      3. À partir de la forme de \((u_n)\) suivante :

      $$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_n = 4^n - n $$

      On cherche à montrer que :

      $$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_{n+1} = 4^{n+1} - (n+1) \qquad (u_{n+1}) $$

      Alors, vérifions que cela correspond bien à notre expression de départ, en y injectant la valeur \((u_n)\) :

      $$u_{n+1} = 4u_n + 3n - 1$$
      $$u_{n+1} = 4(4^n - n) + 3n - 1$$
      $$u_{n+1} = 4^{n+1} -4n + 3n - 1 $$
      $$u_{n+1} = 4^{n+1} - n - 1 $$
      $$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_{n+1} = 4^{n+1} - (n+1) \qquad (u_{n+1}) $$

    3. Conclusion

      4. La forme de \(u_n\) est vraie pour le premier terme \(u_0\), et est bien héréditaire de proche en proche.

      Alors, on a montré que la suite \((u_n)\) admet bien une relation de récurrence.

Suite récurrente périodique

Soit la suite \((u_n)_{n \geqslant 0} \), définie de manière récurrente par :

$$\forall n \geqslant 0, \hspace{1em} \Biggl \{ \begin{gather*} u_{n+1} = -u_n + 6 \\ u_0 = 1 \end{gather*} $$

  1. Calculer les trois prochains termes la suite \((u_n)\).

    2. $$u_1 = -u_0 +6 $$
    $$u_1 = -1 + 6 $$
    $$u_1 = 5 $$
    $$u_2 = -u_1 + 6 $$
    $$u_2 = -5 + 6 $$
    $$u_2 = 1 $$
    $$u_3 = -u_2 + 6 $$
    $$u_3 = -1 + 6 $$
    $$u_3 = 5 $$

  2. Conjecturer sur les valeurs des termes de rang pair et impair : \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\).

    3. On peut conjecturer que :

    $$\forall n \geqslant 0, \hspace{1em} \Biggl \{ \begin{gather*} u_{2n} = 1 \\ u_{2n + 1} = 5 \end{gather*} $$

  3. Démontrer que la suite \((u_n)\) est périodique, telle que :

    $$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_{n+2} = u_n $$

    4. À partir de l'expression de départ de \((u_{n+1})\):

    $$u_{n+1} = -u_n + 6$$

    On calcule l'expression de \((u_{n+2})\) :

    $$u_{n+2} = -u_{n+1} + 6$$
    $$u_{n+2} = -(-u_n + 6) + 6$$
    $$u_{n+2} = u_n - 6 + 6$$
    $$u_{n+2} = u_n $$

  4. On suppose que la suite \((u_n)\) est de la forme :

    $$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_n = \alpha \ cos \left(\pi n \right) + \beta \qquad \left( avec \ (\alpha, \beta) \in \hspace{0.01em} \mathbb{R}^2 \right) $$

    Trouver les valeurs des deux coefficients \((\alpha, \beta)\), et en déduire l'expression de \((u_n)\).

    1. Pour \((n= 0) \)

      2. Comme on sait que :

      $$ u_0 = 1$$

      Alors,

      $$ \alpha \ cos \left(\pi \times 0 \right) + \beta = 1 $$
      $$ \alpha \ cos \left(0 \right) + \beta = 1 $$
      $$ \alpha \times 1 + \beta = 1 $$
      $$ \alpha + \beta = 1$$

    2. Pour \((n = 1) \)

      3. Ensuite, on sait que pour le prochain terme :

      $$ u_1 = 5$$

      Alors,

      $$ \alpha \ cos \left(\pi \times 1 \right) + \beta = 5 $$
      $$ \alpha \ cos \left(\pi \right) + \beta = 5 $$
      $$ \alpha \times (-1) + \beta = 5 $$
      $$ -\alpha + \beta = 5 $$

    3. Résolution du système à deux inconnues

      4. On obtient alors un système à deux inconnues :

      $$ \Biggl \{ \begin{gather*} \alpha + \beta = 1 \hspace{0.4em} \qquad(L_1) \\ -\alpha + \beta = 5 \qquad(L_2) \end{gather*} $$

      On effectue l'opération \( (L_1) + (L_2)\) pour isoler \(\beta\) :

      $$\alpha + \beta + (-\alpha + \beta) = 5 + 1$$
      $$\alpha + \beta -\alpha + \beta = 6$$
      $$2 \beta = 6 $$
      $$\beta = \frac{6}{2}$$
      $$\beta = 3 $$

      Maintenant, à partir de \((L_1)\), on détermine \(\alpha\) :

      $$\alpha + \beta = 1 \hspace{0.4em} \qquad(L_1) $$

      Soit,

      $$\alpha + 3= 1 $$
      $$\alpha = 1 - 3 $$
      $$\alpha = -2 $$

      On a alors trouvée les deux coefficients :

      $$ \Bigl \{ \alpha = -2 , \ \beta = 3\Bigr \}$$

      On a donc comme expression pour \((u_n) \)

      $$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_n = -2 \ cos \left(\pi n \right) + 3 \qquad $$
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