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Exercices de type problème sur les suites homographiques

Suite homographique avec suite auxiliaire arithmétique

Soit la suite \((u_n)_{n \geqslant 0} \), définie de manière récurrente par :

1. Calculer les trois premiers termes la suite \((u_n)\).

2. Montrer par récurrence que la proposition \((P_n)\) est vraie :

   $$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} 0 \leqslant u_n \leqslant 1 \qquad (P_n)$$

3. Soit une nouvelle suite \((v_n)_{n \geqslant 0}\) définie en fonction de la précédente :

   $$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} v_n = \ \frac{1}{u_n}$$

   Montrer alors que la suite \((v_n)\) est une suite arithmétique, et préciser sa raison \(r\).

   Ainsi, en déduire une expression générale pour \((v_n)\).

4. Déduire de l'expression de précédemment établie de \((v_n)\), une expression pour \((u_n)\).

Suite homographique avec suite auxiliaire géométrique

Soit la suite \((u_n)_{n \geqslant 0}\), définie de manière récurrente par :

1. Calculer les trois premiers termes la suite \((u_n)\).

2. Soit une nouvelle suite \((v_n)_{n \geqslant 0}\) définie en fonction de la précédente :

   $$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} v_n = \frac{u_n - 1}{u_n - 3}$$

   Montrer alors que la suite \((v_n)\) est une suite géométrique, et préciser sa raison \(q\).

   Ainsi, en déduire une expression générale pour \((v_n)\).

3. Déduire de l'expression de précédemment établie de \((v_n)\), une expression pour \((u_n)\).

4. Grâce à son expression générale, déterminer le sens de variations de cette suite.