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Exercice sur l'étude des variations de suites

Soit la suite \((u_n)_{n \geqslant 1} \), définie par :

Variations de la suite \((u_n)\)

1. Calculer les cinq premiers termes la suite \((u_n)\).

   $$u_1 = \frac{1}{1} - \frac{1}{1+1}$$

   $$u_1 = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$$

   $$u_1 = \frac{1}{2}$$

   $$u_2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2+1}$$

   $$u_2 = \frac{1}{2}\textcolor{#6187B2}{\times \frac{3}{3}} - \frac{1}{3} \textcolor{#6187B2}{\times \frac{2}{2}}$$

   $$u_2 = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} $$

   $$u_2 = \frac{1}{6} $$

   $$u_3 = \frac{1}{3} - \frac{1}{3+1}$$

   $$u_2 = \frac{1}{3}\textcolor{#6187B2}{\times \frac{4}{4}} - \frac{1}{4} \textcolor{#6187B2}{\times \frac{3}{3}}$$

   $$u_2 = \frac{4}{12} - \frac{3}{12} $$

   $$u_2 = \frac{1}{12} $$

   $$u_4 = \frac{1}{4} - \frac{1}{4+1}$$

   $$u_4 = \frac{1}{4}\textcolor{#6187B2}{\times \frac{5}{5}} - \frac{1}{5} \textcolor{#6187B2}{\times \frac{4}{4}}$$

   $$u_4 = \frac{5}{20} - \frac{5}{20} $$

   $$u_4 = \frac{1}{20} $$

   $$u_5 = \frac{1}{5} - \frac{1}{5+1}$$

   $$u_5 = \frac{1}{6}\textcolor{#6187B2}{\times \frac{6}{6}} - \frac{1}{6} \textcolor{#6187B2}{\times \frac{5}{5}}$$

   $$u_5 = \frac{6}{36} - \frac{5}{36} $$

   $$u_5 = \frac{1}{36} $$

   Conjoncturer alors sur la tendance générale de cette suite.

   Cette suite semble être décroissante.

2. Vérifier que cette suite est décroissante, par les trois manière différentes :

   • par l'étude de la fonction :

     $$ \forall x \geqslant 1, \hspace{2em} f(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} $$

   On étudie la fonction :

   $$ \forall x \geqslant 1, \hspace{2em} f(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} $$

   On commence par calculer sa dérivée :

   $$ f'(x) = \left( \frac{1}{x} \right)' - \left(\frac{1}{x+1}\right)' $$

   $$ f'(x) = -\frac{1}{x^2} - \left( -\frac{1}{(x+1)^2}\right) $$

   $$ avec \ (f \circ g)' = g' \times (f' \circ g)$$

   $$ \Biggl \{ \begin{gather*} g(x) = x+1 \\ f(X) = \frac{1}{X} \end{gather*} $$

   $$ \Biggl \{ \begin{gather*} g'(x) = 1 \\ f'(X) = -\frac{1}{X^2} \end{gather*} $$

   D'où :

   $$\left(\frac{1}{x+1}\right)' = -\frac{1}{(x+1)^2} $$

   $$ f'(x) = -\frac{1}{x^2} +\frac{1}{(x+1)^2}$$

   On peut à présent mettre au même dénominateur :

   $$ f'(x) = -\frac{1}{x^2}\textcolor{#6187B2}{\times \frac{(x+1)^2}{(x+1)^2}} +\frac{1}{(x+1)^2} \textcolor{#6187B2}{\times \frac{x^2}{x^2}}$$

   $$ f'(x) = -\frac{(x+1)^2}{x^2(x+1)^2} +\frac{x^2}{x^2(x+1)^2} $$

   $$ f'(x) =\frac{ x^2- (x+1)^2 }{x^2(x+1)^2} $$

   $$ f'(x) =\frac{ \bigl(x-(x+1) \bigr) \bigl(x+(x+1 \bigr)) }{x^2(x+1)^2} $$

   $$ f'(x) =\frac{-1 \times (2x+1) }{x^2(x+1)^2} $$

   $$ f'(x) =\frac{\overbrace {-1} ^\text{ \(-\)} \hspace{0.1em}\times \hspace{0.1em} \overbrace { (2x+1) } ^\text{ \(+\)} }{ \underbrace { x^2(x+1)^2 } _\text{+} } $$

   On a :

   $$\forall x \geqslant 1, \ f'(x) < 0$$

   La dérivée étant tout le temps négative, la fonction \(f\) est tout le temps décroissante.

   
   

   Il en est alors de même pour la suite \((u_n)\), définie de manière explicite par :

   $$\forall n \geqslant 1, \ u_n = f(n)$$

   • en étudiant le signe de la différence \(\Delta u_n\) :

     $$ \Delta u_n = u_{n+1} - u_n \qquad (\Delta u_n) $$

   Dans un premier temps, on peut arranger la forme de \((u_n)\) :

   $$\forall n \geqslant 1, \hspace{2em} u_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} $$

   $$ u_n = \frac{1}{n}\textcolor{#6187B2}{\times \frac{n+1}{n+1}} - \frac{1}{n+1}\textcolor{#6187B2}{\times \frac{n}{n}} $$

   $$ u_n = \frac{n+1}{n(n+1)} - \frac{n}{n(n+1)} $$

   $$ u_n = \frac{1}{n(n+1)} \qquad(u_n^*) $$

   Calcul de \((\Delta u_n)\)

   $$ \Delta u_n = u_{n+1} - u_n \qquad (\Delta u_n) $$

   On utilise la forme factorisée \((u_n^*)\) :

   $$ \Delta u_n = \frac{1}{(n+1) \bigl((n+1)+1 \bigr)} - \frac{1}{n(n+1)} $$

   $$ \Delta u_n = \frac{1}{(n+1) (n+2)} - \frac{1}{n+2} $$

   $$ \Delta u_n = \frac{1}{(n+1) (n+2)} - \frac{1}{n+2} \textcolor{#6187B2}{\times \frac{n+1}{n+1}} $$

   $$ \Delta u_n = \frac{1}{(n+1) (n+2)} - \frac{n+1}{(n+1) (n+2)} $$

   $$ \Delta u_n = -\frac{1}{(n+1) (n+2)} < 0 $$

   Comme on a \((\Delta u_n < 0 )\), alors :

   $$ u_{n+1} - u_n < 0 \Longrightarrow u_{n+1} < u_n $$

   Donc, la suite \((u_n) \) est bien monotone et décroissante.

   • en étudiant la valeur du rapport \(\Phi u_n\) :

     $$ \frac{u_{n+1}}{u_n} \qquad(\Phi u_n) $$

   On réutilise la forme arrangée \((u_n^*)\) :

   $$ \Phi u_n = \frac{\frac{1}{(n+1) (n+2)}}{\frac{1}{n(n+1)}} $$

   $$ \Phi u_n = \frac{1}{(n+1) (n+2)} \times \frac{n(n+1)}{1}$$

   $$ \Phi u_n = \frac{1}{\cancel{(n+1)} (n+2)} \times n\cancel{(n+1)}$$

   $$ \Phi u_n = \frac{n}{(n+2)}$$

   Ici, il est évident que le numérateur est toujours inférieur au dénominateur :

   $$ \forall n \geqslant 1, \qquad n < n+2$$

   
   

   Arrangeons la forme pour faire apparaître la fraction en deux parties distinctes :

   $$ \Phi u_n = \frac{n}{(n+2)}$$

   $$ \Phi u_n = \frac{n + 2 - 2}{(n+2)}$$

   $$ \Phi u_n = \frac{n + 2}{(n+2)} - \frac{2}{(n+2)}$$

   $$ \Phi u_n = 1 - \frac{2}{ \underbrace { (n+2) } _\text{ + }} < 1 $$

   Comme on a \((\Phi u_n < 1 )\), alors :

   $$ \frac{u_{n+1}}{u_n} < 1 \Longrightarrow u_{n+1} < u_n $$

   Donc, la suite \((u_n) \) est bien monotone et décroissante.

3. Démontrer que :

   $$\forall n \geqslant 1, \hspace{2em} u_n \geqslant 0 $$

   En reprenant la forme arrangée \((u_n^*)\) :

   $$ u_n = \frac{1}{n(n+1)} \qquad(u_n^*) $$

   $$ n \geqslant 1 \Longrightarrow n \geqslant 0 $$

   $$ n \geqslant 1 $$

   $$ n + 1 \geqslant 2 \Longrightarrow n + 1 \geqslant 0 $$

   On a les deux facteurs du dénominateur qui sont tout le temps positif, alors :

   $$\forall n \geqslant 1, \hspace{2em} u_n \geqslant 0 $$

4. Conjecturer alors sur la limite éventuelle de cette suite.

Comme cette suite est décroissante, et minorée par \((m=0)\), elle converge vers une certaine limite, qui semble être \(0\).

5. Enfin, calculer la limite de la suite \((S_n)\).

Avec la forme \((u_n^{*})\) de la suite \((u_n)\), on peut plus facilement calculer la limite :

$$ lim_{n \to \infty} \ \bigl[ u_n \bigr] = lim_{n \to \infty} \ \left[\frac{1}{n(n+1)} \right]$$

$$ lim_{n \to \infty} \ \bigl[ u_n \bigr] = 0^+$$

Variations de la suite \((S_n)\)

Soit une nouvelle suite \(S_n\), définie par une série issue de la suite \((u_n)\) telle que :

$$\forall n \geqslant 1, \hspace{2em} S_n = \sum_{k = 1}^n u_k $$

1. Calculer les cinq premiers termes la suite \((S_n)\).

$$S_1 = u_1 $$
$$S_1 = \frac{1}{2}$$
$$S_2 = u_1 + u_2 $$
$$S_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} $$
$$S_2 = \frac{1}{2}\textcolor{#6187B2}{\times \frac{3}{3}} + \frac{1}{6}$$
$$S_2 = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} $$
$$S_2 = \frac{4}{6} $$
$$S_2 = \frac{2}{3} $$
$$S_3 = u_1 + u_2 + u_3 $$
$$S_3 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} $$
$$S_3 = \frac{1}{2}\textcolor{#6187B2}{\times \frac{6}{6}} + \frac{1}{6}\textcolor{#6187B2}{\times \frac{2}{2}} + \frac{1}{12} $$
$$S_3 = \frac{6}{12} + \frac{2}{12} + \frac{1}{12} $$
$$S_3 = \frac{9}{12} $$
$$S_3 = \frac{3}{4} $$
$$S_4 = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 $$
$$S_4 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} $$
$$S_4 = \frac{1}{2}\textcolor{#6187B2}{\times \frac{30}{30}} + \frac{1}{6}\textcolor{#6187B2}{\times \frac{10}{10}} + \frac{1}{12}\textcolor{#6187B2}{\times \frac{5}{5}} + \frac{1}{20}\textcolor{#6187B2}{\times \frac{3}{3}} $$
$$S_4 = \frac{30}{60} + \frac{10}{60} + \frac{5}{60} + \frac{3}{60} $$
$$S_4 = \frac{48}{60} $$
$$S_4 = \frac{4 \times 12 }{5 \times 12 } $$
$$S_4 = \frac{4 \times \cancel{12} }{5 \times \cancel{12} } $$
$$S_4 = \frac{4 }{5 } $$
$$S_5 = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + u_5 $$
$$S_5 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{36} $$
$$S_5 = ... $$
$$S_5 = \frac{5 }{6} $$

2. Conjoncturer alors sur la tendance générale de cette suite, et sa limite éventuelle.

Cette suite semble être croissante, et converger vers \(1\).

3. Par un téléscopage, simplifier l'expression de la suite \((S_n)\).

   Un téléscopage peut se faire lorsque l'on est face à la une somme de termes récurrents d'une suite quelconque \((a_n)\) :

   $$ \sum_{k = 1}^n \bigl[ a_{k+1} - a_k \bigr] = a_{1} - a_0 + a_{2} - a_1 \ + \ ... \ + \ a_{n} - a_{n-1} + a_{n+1} - a_n $$

   $$ \sum_{k = 1}^n \bigl[ a_{k+1} - a_k \bigr] = a_{n+1} - a_0 $$

On a :

$$\forall n \geqslant 1, \hspace{2em} S_n = \sum_{k = 1}^n u_k $$

$$ S_n = \sum_{k = 1}^n \left[ \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right] $$

On inverse l'ordre des deux pour avoir la forme souhaitée \((a_{k+1} - a_k)\).

$$ S_n = \sum_{k = 1}^n \left[ - \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) \right] $$

$$ S_n = - \sum_{k = 1}^n \left[ \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k} \right] $$

On pose alors une nouvelle suite \((a_n)\) :

$$\forall n \geqslant 1, \hspace{2em} a_n = \frac{1}{n} $$

Pour que :

$$ S_n = -\sum_{k = 1}^n \bigl[ a_{k+1} - a_k \bigr] $$

Et effectuer le téléscopage :

$$ S_n = -(a_{n+1} - a_1) $$

$$ S_n = - \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{1} \right)$$

$$ S_n = 1 - \frac{1}{n+1} $$

$$ S_n = \textcolor{#6187B2}{\times \frac{n+1}{n+1}} - \frac{1}{n+1} $$

$$ S_n = \frac{n+1}{n+1}- \frac{1}{n+1}$$

$$ S_n = \frac{n}{n+1} \qquad(S_n^*) $$

4. Avec cette nouvelle expression de \((S_n)\), calculer son sens de variations avec les trois méthodes.

• par l'étude de la fonction :

  $$ \forall x \geqslant 1, \hspace{2em} S(x) = \frac{x}{x+1} $$

  La dérivée d'un quotient est :

  $$\forall f, \ \forall g \neq 0, $$

  $$ \left(\frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$$

On calcule la dérivée de \(g(x)\) :

$$ S'(x) = \left(\frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} $$

$$ avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} f(x) = x \\ g(x) = x + 1 \end{gather*} $$

$$ avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} f'(x) = 1 \\ g'(x) = 1 \end{gather*} $$

$$ S'(x) = \frac{x+1 - x}{(x+1)^2} $$

$$ S'(x) = \frac{1}{(x+1)^2} $$

$$ S'(x) = \frac{1}{\underbrace{ (x+1)^2} } _\text{\(>0\) } $$

Comme on a la dérivée \((S'(x) > 0 )\), alors la fonction \(S(x)\) est croissante.

Alors, la suite \((S_n) \) est bien monotone et croissante.

• par l'étude du signe de \((\Delta S_n)\) :

  $$ \Delta S_n = S_{n+1} - S_n \qquad(\Delta S_n) $$
$$ \Delta S_n = S_{n+1} - S_n \qquad(\Delta S_n) $$

$$ \Delta S_n =\frac{(n+1)}{(n+1) + 1} - \frac{n}{n+1} $$

$$ \Delta S_n =\frac{(n+1)}{n+2} - \frac{n}{n+1} $$

On met au même dénominateur :

$$ \Delta S_n =\frac{(n+1)}{n+2}\textcolor{#6187B2}{ \frac{n+1}{n+1} } - \frac{n}{n+1}\textcolor{#6187B2}{ \frac{n+2}{n+2}} $$

$$ \Delta S_n =\frac{(n+1)^2}{(n+1)(n+2)} - \frac{n(n+2)}{(n+1)(n+2)} $$

$$ \Delta S_n =\frac{(n+1)^2 - n(n+2)}{(n+1)(n+2)} $$

Puis on développe :

$$ \Delta S_n =\frac{n^2 + 2n + 1 - n^2 - 2n }{(n+1)(n+2)} $$

$$ \Delta S_n =\frac{1}{\underbrace{ (n+1) } _\text{\(>0\) } \underbrace{ (n+2) } _\text{\(>0\) }} $$

Comme on a \((\Delta S_n > 0 )\), alors :

$$ S_{n+1} - S_n > 0 \Longrightarrow S_{n+1} > S_n $$

Donc, la suite \((S_n) \) est bien monotone et croissante.

• par l'étude du rapport \((\Phi S_n)\) :

  $$ \Phi S_n = \frac{S_{n+1}}{S_n} $$
$$ \Phi S_n = \frac{S_{n+1}}{S_n} $$

$$ \Phi S_n = \frac{n}{n+1} \times \frac{1}{\frac{n+1}{(n+1)+1}} $$

$$ \Phi S_n = \frac{n}{n+1} \times \frac{1}{\frac{n+1}{n+2}} $$

$$ \Phi S_n = \frac{n}{n+1} \times \frac{n+2}{n+1} $$

$$ \Phi S_n = \frac{n^2 + 2n}{n^2 + 2n + 1 } $$

$$ \Phi S_n = \frac{n^2 + 2n}{n^2 + 2n} + \frac{1}{n^2 + 2n + 1 } $$

$$ \Phi S_n = 1 + \frac{1}{ \underbrace{ n^2 + 2n + 1 } _\text{\(>0\) } } > 1 $$

Comme on a \((\Phi S_n > 1 )\), alors :

$$ \frac{S_{n+1}}{S_n} > 1 \Longrightarrow S_{n+1} > S_n $$

Donc, la suite \((S_n) \) est bien monotone et croissante.

5. Démontrer pa récurrence que :

   $$\forall n \geqslant 1, \hspace{2em} S_n \leqslant 1 \qquad(P_n)$$
$$\forall n \geqslant 1, \hspace{2em} S_n \leqslant 1 \qquad(P_n)$$
On arrange l'expression en injectant l'expression \((S_n^*)\) :
$$\forall n \geqslant 1, \hspace{2em} \frac{n}{n+1} \leqslant 1 \qquad(P_n^*)$$
1. Calcul du premier terme

$$ S_1 = \frac{1}{2} < 1 $$

Alors, \(P_1\) est vraie.

2. Vérification de l'hérédité

Prenons comme hypothèse que \((P_n^*)\) est vraie :

$$\forall n \geqslant 1, \hspace{2em} \frac{n}{n+1} \leqslant 1 \qquad(P_n^*)$$

On souhaite alors vérifier à partir de celle-ci que c'est le cas aussi pour \((P_{n+1}^*)\)

$$\forall n \geqslant 1, \hspace{2em} \frac{n+1}{n+2} \leqslant 1 \qquad(P_{n+1}^*)$$



On repart alors de \((P_n^*)\) supposée vraie :

$$\forall n \geqslant 1, \hspace{2em} \frac{n}{n+1} \leqslant 1 \qquad(P_n^*)$$
$$\frac{n}{n+1}\textcolor{#6187B2}{\times \frac{n+1}{n} \times \frac{n+1}{n + 2} } \leqslant \textcolor{#6187B2}{ \frac{n+1}{n} \times \frac{n+1}{n + 2} } $$
$$\frac{n+1}{n+2} \leqslant \frac{n+1}{n} \times \frac{n+1}{n + 2} $$
$$\frac{n+1}{n+2} \leqslant \frac{n^2 + 2 n + 1}{n^2 + 2n} $$
$$\frac{n+1}{n+2} \leqslant 1 + \frac{1}{ \underbrace{ n^2 + 2n + 1 } _\text{\(>0\) } } $$
$$\frac{n+1}{n+2} \leqslant 1 $$

Soit,

$$\forall n \geqslant 1, \hspace{2em} \frac{n+1}{n+2} \leqslant 1 \qquad(P_{n+1}^*)$$

Alors, si la proposition \((P_n)\) est vraie, elle est aussi héréditaire.

3. Conclusion

Comme on a montré que la proposition \((P_n)\) était vraie pour son terme de rang iniital \((n = 1)\) et que, supposée vraie, elle était aussi héréditaire, alors elle est alors vraie pour tout \((n \geqslant 1)\).

On a alors montré par récurrence que :

$$\forall n \geqslant 1, \hspace{2em} S_n \leqslant 1 $$

6. Conjecturer alors sur la limite éventuelle de cette suite.

Comme cette suite est croissante, et majorée par \((M=1)\), elle converge vers une certaine limite, qui semble être \(1\).

7. Enfin, calculer la limite de la suite \((S_n)\).

Avec la forme \((S_n^{**})\) de la suite \((S_n)\), on peut plus facilement calculer la limite :

$$ lim_{n \to +\infty} \ \bigl[ S_n \bigr] = lim_{n \to +\infty} \ \left[\frac{n}{n+1} \right]$$

$$ lim_{n \to +\infty} \ \bigl[ S_n \bigr] = lim_{n \to +\infty} \ \left[\frac{n + 1 - 1}{n+1} \right]$$

$$ lim_{n \to +\infty} \ \bigl[ S_n \bigr] = lim_{n \to +\infty} \ \left[ \frac{n + 1}{n+1} - \frac{1}{n+1} \right]$$

$$ lim_{n \to +\infty} \ \bigl[ S_n \bigr] = lim_{n \to +\infty} \ \left[ 1 - \frac{1}{n+1} \right]$$

$$ lim_{n \to +\infty} \ \bigl[ S_n \bigr] = 1 $$

$$avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} lim_{n \to +\infty} \ \left[\frac{1}{n+1} \right] = 0^+ \end{gather*}$$