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La suite de Fibonacci et le nombre d'or

Histoire de la suite de Fibonacci : prolifération de lapins

La prolifération de lapins a été étudiée au moyen-âge par Leonard De Pise, et il a modélisé ces évolutions par le problème suivant :

Calculer l'évolution du nombre de couples de lapins adultes sur les \(5\) mois suivants.

Modélisation de la suite de Fibonacci

La suite de Fibonacci, qu'on notera \((F_n)_{n \hspace{0.05em} \in \mathbb{N} }\), est la plus célèbre de suites de nombres.

Celle-ci a pour particularité que chaque terme de cette dernière est l'addition des deux termes précédents.

1. En utilisant les propriétés des suites récurrentes, modéliser cette suite par une expression.

2. Cette suite débute par la séquence suivante :

   $$\Bigl \{ 0,1, 1... \Bigr \} $$

   Vérifier que les prochains termes sont bien identiques à ceux trouvés à l'exercice précédent sur la prolifération de lapins.

3. Pour les \(10\) premiers termes de cette suite, étudier le rapport suivant :

$$ R_{n+1} = \frac{F_{n+1}}{F_{n}}$$

4. Que remarque-t-on pour la valeur de ce rapport à partir d'un certain rang ?

Histoire du nombre d'or

On appelle « division en moyenne et extrême raison », lorsque l'on divise un segment de sorte qu'on ait le rapport suivant :

Si maintenant on construit un carré avec le côté \(AC\), on obtient un rectangle d'or :

En remplaçant les valeurs de \((1)\) dans \((2)\), on est alors rendu à une nouvelle égalité de rapports :

1. Résoudre l'équation \((2)\).

2. En déduire quel est le seul nombre positif qui convient comme solution à cette équation.

3. À partir de la suite de Fibonacci de l'exercice précédent, effectuer les étapes suivantes.



À chaque trait tracé, on prendra l'extrémité de l'ancien trait comme point de départ pour le trait suivant.

• à partir de l'origine, tracer un trait de longueur \(F_1\) vers la droite

• tracer un trait de longueur \(F_2\) vers le haut

• tracer un trait de longueur \(F_3\) vers la gauche

• ..etc.

Propriétés du nombre d'or

Avec l'exercice précédent, on a trouvé que :

1. Vérifier l'équation \((\phi^2)\) par un calcul de fraction.

2. Calculer l'expression de \((\phi^3)\) et de \((\phi^4)\), en conservant \(\phi\) intacte.

3. On décide de modéliser la valeur de \(\phi\) par une relation de récurrence :

   $$ \phi^{n+1} = F_{n+1}\phi + F_n \qquad(\Phi_n)$$

   Montrer par une récurrence la véracité de cette expression pour tout \((n \geqslant 0)\).

4. On décide de modéliser la valeur de \(\phi\) par une autre relation de récurrence :

   $$ \phi^{n+2} = \phi^{n+1} + \phi^{n} \qquad(\Phi'_n)$$

   Montrer par une récurrence la véracité de cette expression pour tout \((n \geqslant 0)\).

5. Comparer les résultats précédents au valeurs trouvées pour \((\phi^3)\) et de \((\phi^4)\).

Propriétés du nombre d'or en sens inverse

1. À l'aide de l'expression démontrée par récurrence \((\Phi'_n)\), arranger l'expression pour mettre \(\phi^{n}\) tout seul.

2. Alors, calculer la valeur de \(\phi^{-1}\).

Propriétés bonus du nombre d'or : mises en abîme

1. Mise en abime par une racine

En reprenant notre expression \((\phi^2)\) :

$$ \phi^2 = \phi + 1 \qquad(\phi^2)$$

1. Exprimer \(\phi\) en fonction de \(\phi\).

2. Reproduire ce schéma de mise en abîme sur trois ou quatre itérations.

3. En déduire alors la formule générale de cette mise en abîme.

2. Mise en abime par une racine

De même, en reprenant notre expression \((\phi^{-1})\), on a :

$$ \frac{1}{\phi} = 1 - \phi \qquad(\phi^{-1})$$

Reproduire exactement le même processus qu'à l'exercice précédent.