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Le prêt immobilier à annuités constantes

Un emprunt immobilier dépend de trois paramètres :

• capital à emprunter : \(K_0 \ (€)\)

• durée du crédit : \(n \ (ann\textit{é}es)\)

• taux d'intérêt : \(t\)

On souhaite emprunter un certain capital \(K_0\) et le rembourser sur \(n\) années.

Lorsque l'on contracte un prêt immobilier à annuités constantes, et à taux fixe \(t\), on rembourse exactement la même annuité \(A\) tous les ans :

Mais à chaque année \(i\), le capital restant dû \((K_i)\) est recalculé par rapport au capital restant dû de l'année précédente \((K_{i+1})\), lui même soumis à intérêts.

Modélisation de l'annuité \(A_i\)

À chaque année \(i\), l'annuité \(A_i\) représente la somme du remboursement et des intérêts de l'année \(i\).

1. Exprimer \(A_i\) en fonction de \(R_i\) et \(I_i\).

$$ A_i = R_i + I_i \qquad(A_i)$$

2. Remplacer \(R_i\) par sa valeur en fonction de \(K_i\) et \(K_{i+1}\).

Le montant du remboursement \(R_i\) est la différence des capitaux restant dûs d'une année sur l'autre :

$$ R_i = K_i - K_{i+1} \qquad(R_i) $$

3. Remplacer \(I_i\) par sa valeur en fonction de \(K_i\) et \(t\).

Le montant des intérêts \(I_i\) vaut :

$$ I_i = K_i \ t \qquad(I_i) $$

4. Maintenant, injecter les valeurs respectives de \(R_i\) et de \(I_i\) dans l'expression de \(A_i\) trouvée plus haut.

Si on injecte maintenant \((R_i)\) et \((I_i)\) dans \((A_i)\), alors on a :

$$ A_i = K_i - K_{i+1} + K_i \ t $$

$$ A_i = K_i(1+t) - K_{i+1} $$

5. Enfin, exprimer alors le capital restant dû à l'année \(K_{i+1}\) en fonction de \(K_i\) et \(t\).

Si on injecte maintenant \((R_i)\) et \((I_i)\) dans \((A_i)\), alors on a :

$$ A_i = K_i(1+t) - K_{i+1} $$

En échangeant les places de \(A_i\) et de \(K_{i+1}\), on a :

$$K_{i+1} = K_i(1+t) - A_i $$

Premières années

La première année, le capital restant dû \(K_1\) équivaut à :

L'expression précédente devient alors :

La seconde année, le capital restant dû \(K_2\) équivaut à :

1. Calculer le capital restant dû \(K_2\) en y injectant la valeur de \(K_1\).

À la première année, on avait ce capital restant dû : :

$$K_1 = K_0 \times (1+t) - A$$




À la deuxième année, on aura le capital suivant :

$$K_2 = K_1 \times (1+t) - A$$

On doit réinjecter la valeur de \(K_1\) dans \(K_2\)

$$K_2 = \Bigl[ K_0 \times (1+t) - A \Bigr] \times (1+t) - A$$

On développe :

$$K_2 = K_0 \times (1+t)^2 - A(1+t) - A$$

2. Calculer le capital restant dû \(K_3\) en y injectant cette fois la valeur de \(K_2\) trouvée précédemment.

À la troisième année, on aura le capital suivant :

$$K_3 = K_2 \times (1+t) - A$$

On réinjecte la valeur de \(K_2\) (trouvée précdemment) dans \(K_3\)

$$K_3 = \Bigl[ K_0 \times (1+t)^2 - A(1+t) - A \Bigr] \times (1+t) - A$$

On développe :

$$K_3 = K_0 \times (1+t)^3 - A(1+t)^2 - A(1+t) - A$$

3. Émettre un conjecture pour le capital restant dû \(K_n\).

On voit un schéma répétitif se dessiner et on peut conjecturer qu'à l'année \(n\) on aura comme capital restant dû :

$$K_n = K_0 \times (1+t)^n - A(1+t)^{n-1} - A(1+t)^{n-2} \hspace{0.03em } - \hspace{0.03em } ... \hspace{0.03em } - \hspace{0.03em } A(1+t)^2 - A(1+t) - A$$

On peut factoriser l'expression par \(A\) :

$$K_n = K_0 \times (1+t)^n - A \Bigl[ (1+t)^{n-1} + (1+t)^{n-2} \hspace{0.03em } + \hspace{0.03em } ... \hspace{0.03em } + \hspace{0.03em } (1+t)^2 +(1+t) + 1\Bigr]$$

Maintenant, à l'intérieur des crochets, on reconnaît une somme de termes d'une suite géométrique :

$$K_n = K_0 \times (1+t)^n - A \Bigl[ \underbrace{ (1+t)^{n-1} + (1+t)^{n-2} \hspace{0.03em } + \hspace{0.03em } ... \hspace{0.03em } + \hspace{0.03em } (1+t)^2 +(1+t) + 1 } _\text{ somme des \((1+t)^k\) de \((k=0)\) à \(\bigl[k=(n-1)\bigr]\) }\Bigr]$$

$$K_n = K_0 \times (1+t)^n - A \left[ \sum_{k=0}^{n-1} (1+t)^k \right]$$

Valeur de l'annuité \(A\)

Étant donné que par hypothèse, à l'année \(n\) on aura fini de tout rembourser, on aura :

1. Avec la formule trouvée précédemment, determiner le montant théorique de l'annuité \(A\).

La somme des premiers termes d'une suite géométrique se calcule par la formule :

$$ \sum_{k=0}^n q^k = \frac{q^{n+1}-1}{q-1}$$

À partir du résultat précédent :

$$K_n = K_0 \times (1+t)^n - A \left[ \sum_{k=0}^{n-1} (1+t)^k \right]$$

Le terme attaché à \(A\) est une suite géomtrique avec :

$$ \sum_{k=0}^{n-1} (1+t)^k = \sum_{k=0}^{n-1} v_0 \ q^k, \hspace{3em} avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} V_0 = 1 \\ q = (1+t) \\ \end{gather*} $$

On calcule la somme des termes, non pas jusque \(n\) mais jusque \((n-1)\), donc il faut adapter la formule :

$$K_n = K_0 \times (1+t)^n - A \left[ \frac{(1+t)^{n}-1}{1+t-1} \right]$$

$$K_n = K_0 \times (1+t)^n - A \left[ \frac{(1+t)^{n}-1}{t} \right]$$




Et comme par hypothèse, à l'année \(n\) on a : \(K_n = 0\). Alors,

$$K_n = 0 \Longleftrightarrow K_0 \times (1+t)^n - A \left[ \frac{(1+t)^{n}-1}{t} \right] = 0$$

$$K_0 \times (1+t)^n - A \left[ \frac{(1+t)^{n}-1}{t} \right] = 0$$

Ensuite, on arrange l'expression :

$$K_0 \times (1+t)^n \times t = A \Bigl[ (1+t)^{n}-1 \Bigr] $$

$$\frac{K_0 \times (1+t)^n \times t }{(1+t)^{n}-1} = A $$

$$A = K_0 \times \frac{(1+t)^n \times t }{(1+t)^{n}-1}$$

Application numérique

1. Établir le montant de l'annuité \(A\) pour un prêt du même type, avec les valeurs suivantes :

• capital à emprunter : \(300 \ 000 \ €\)

• durée du crédit : \(25 \ ans\)

• taux d'intérêt : \(4 \ \%\)

À partir de l'annuité théorique en fonction du capital \((K_0)\), de la durée de crédit \((n)\) et du taux d'intérêt \((t)\) :

$$A = \frac{K_0 \times (1+t)^n \times t }{(1+t)^{n}-1}$$

$$A = \frac{300 \ 000 \times (1+\frac{4}{100})^{25} \times \frac{4}{100} }{(1+\frac{4}{100})^{25}-1}$$

$$A \approx 19 \ 203.58 \ €$$

2. Quelle est la somme totale remboursée ?

Appelons \(S_T\) la somme totale remoursée à l'issue des \(n\) années.

$$S_T = nA $$

$$S_T = 25 \times 19 \ 203.58 $$

$$S_T \approx 480 \ 089.50 \ €$$

3. Calculer la part que représente le montant des intérêts par rapport à la somme empruntée.

Pour calculer la part des intérêts, on utilise la formule :

$$Part_{int\textit{é}r\textit{ê}ts} \approx \frac{S_T - K_0}{K_0}$$

$$Part_{int\textit{é}r\textit{ê}ts} \approx \frac{480 \ 089.50 - 300 \ 000}{300 \ 000}$$

$$Part_{int\textit{é}r\textit{ê}ts} \approx 60 \ \%$$

4. Démontrer que la part des intérêts ne dépend pas de la somme empruntée, mais uniquement des deux autres paramètres.

$$Part_{int\textit{é}r\textit{ê}ts} = \frac{S_T - K_0}{K_0}$$
Mais, on a vu plus haut que \(S_T = nA\) :
$$Part_{int\textit{é}r\textit{ê}ts} = \frac{nA - K_0}{K_0}$$
Et, on a calculé plus haut la valeur de \(A\) :
$$Part_{int\textit{é}r\textit{ê}ts} = \frac{n\left[ K_0 \times \frac{(1+t)^n \times t }{(1+t)^{n}-1} \right] - K_0}{K_0}$$
$$Part_{int\textit{é}r\textit{ê}ts} = \frac{K_0 \left[ n \times \frac{(1+t)^n \times t }{(1+t)^{n}-1} \right] - K_0}{K_0}$$
Puis on factorise par \(K_0\) :
$$Part_{int\textit{é}r\textit{ê}ts} = \frac{K_0 \left[ n \times \frac{(1+t)^n \times t }{(1+t)^{n}-1} - 1\right]}{K_0}$$
$$Part_{int\textit{é}r\textit{ê}ts} = \frac{\cancel{K_0} \left[ n \times \frac{(1+t)^n \times t }{(1+t)^{n}-1} - 1\right]}{\cancel{K_0}}$$
Soit finalement,
$$Part_{int\textit{é}r\textit{ê}ts} = n \times \frac{(1+t)^n \times t }{(1+t)^{n}-1} - 1$$

Comparatif de crédit

Grâce à cet outil de comparatif de crédit, vérifiez le résultat trouvé précédemment.