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Le prêt immobilier à annuités constantes

Contexte

On souhaite emprunter un certain capital \(K_0\) et le rembourser sur \(n\) années.

Lorsque l'on contracte un prêt immobilier à annuités constantes, et à taux fixe \(t\), on rembourse exactement la même somme \(A\) tous les mois.

À chaque année, le capital restant dû est recalculé par rapport au capital restant dû de l'année précédente.

Premières années

La première année, le capital restant dû \(S_1\) équivaut à :

La seconde année, le capital restant dû \(S_2\) équivaut à :

1. Calculer le capital restant dû \(K_2\) en y injectant la valeur de \(K_1\).

À la première année, on avait ce capital restant dû : :

$$K_1 = K_0 \times (1+t) - A$$




À la deuxième année, on aura le capital suivant :

$$K_2 = K_1 \times (1+t) - A$$

On doit réinjecter la valeur de \(K_1\) dans \(K_2\)

$$K_2 = \Bigl[ K_0 \times (1+t) - A \Bigr] \times (1+t) - A$$

On développe :

$$K_2 = K_0 \times (1+t)^2 - A(1+t) - A$$

2. Calculer le capital restant dû \(K_3\) en y injectant cette fois la valeur de \(K_2\) trouvée précédemment.

À la troisième année, on aura le capital suivant :

$$K_3 = K_2 \times (1+t) - A$$

On réinjecte la valeur de \(K_2\) (trouvée précdemment) dans \(K_3\)

$$K_3 = \Bigl[ K_0 \times (1+t)^2 - A(1+t) - A \Bigr] \times (1+t) - A$$

On développe :

$$K_3 = K_0 \times (1+t)^3 - A(1+t)^2 - A(1+t) - A$$

3. Émettre un conjecture pour le capital restant dû \(K_n\).

On voit un schéma répétitif se dessiner et on peut conjecturer qu'à l'année \(n\) on aura comme capital restant dû :

$$K_n = K_0 \times (1+t)^n - A(1+t)^{n-1} - A(1+t)^{n-2} \hspace{0.03em } - \hspace{0.03em } ... \hspace{0.03em } - \hspace{0.03em } A(1+t)^2 - A(1+t) - A$$

On peut factoriser l'expression par \(A\) :

$$K_n = K_0 \times (1+t)^n - A \Bigl[ (1+t)^{n-1} + (1+t)^{n-2} \hspace{0.03em } + \hspace{0.03em } ... \hspace{0.03em } + \hspace{0.03em } (1+t)^2 +(1+t) + 1\Bigr]$$

Maintenant, à l'intérieur des crochets, on reconnaît une somme de termes d'une suite géométrique :

$$K_n = K_0 \times (1+t)^n - A \Bigl[ \underbrace{ (1+t)^{n-1} + (1+t)^{n-2} \hspace{0.03em } + \hspace{0.03em } ... \hspace{0.03em } + \hspace{0.03em } (1+t)^2 +(1+t) + 1 } _\text{ somme des \((1+t)^k\) de \(0\) à \((n-1)\) }\Bigr]$$

$$K_n = K_0 \times (1+t)^n - A \left[ \sum_{k=0}^{n-1} (1+t)^k \right]$$

Valeur de l'annuité \(A\)

Étant donné que par hypothèse, à l'année \(n\) on aura fini de tout rembourser, on aura :

1. Avec la formule trouvée précédemment, determiner le montant théorique de l'annuité \(A\).

La somme des premiers termes d'une suite géométrique se calcule par la formule :

$$ \sum_{k=0}^n q^k = \frac{q^{n+1}-1}{q-1}$$

À partir du résultat précédent :

$$K_n = K_0 \times (1+t)^n - A \left[ \sum_{k=0}^{n-1} (1+t)^k \right]$$

On calcule la somme des termes non pas jusque \(n\) mais jusque \((n-1)\), donc il faut adapter :

$$K_n = K_0 \times (1+t)^n - A \left[ \frac{(1+t)^{n}-1}{1+t-1} \right]$$

$$K_n = K_0 \times (1+t)^n - A \left[ \frac{(1+t)^{n}-1}{t} \right]$$




Et comme par hypothèse, à l'année \(n\) on a : \(K_n = 0\). Alors,

$$K_n = 0 \Longleftrightarrow K_0 \times (1+t)^n - A \left[ \frac{(1+t)^{n}-1}{t} \right] = 0$$

$$K_0 \times (1+t)^n - A \left[ \frac{(1+t)^{n}-1}{t} \right] = 0$$

Ensuite, on arrange l'expression :

$$K_0 \times (1+t)^n \times t = A \Bigl[ (1+t)^{n}-1 \Bigr] $$

$$\frac{K_0 \times (1+t)^n \times t }{(1+t)^{n}-1} = A $$

$$A = \frac{K_0 \times (1+t)^n \times t }{(1+t)^{n}-1}$$

Application numérique

Établir le montant de l'annuité \(A\) pour un prêt du même type, avec les valeurs suivantes :

• capital à emprunter : \(300 \ 000 \ €\)

• durée du crédit : \(25 \ ans\)

• taux d'intérêt : \(4 \%\)

Comparatif de crédit

Grâce à cet outil de comparatif de crédit, vérifiez le résultat trouvé précédemment.