Évolution de naissances d'animaux

Contexte

On souhaite observer l'évolution au cours des années de deux populations différentes d'animaux, des lapins et des chats.

On notera les deux évolutions respectives :

$L_n $ : la population de lapins au cours du temps
$C_n $ : la population de chats au cours du temps

La première année ($n=1)$, on dispose d'un couple de lapins et de trois couples de chats.

$$ ann\textit{é}e \ n $$	$$ nombres \ de \ lapins $$	$$ nombres \ de \ chats $$
$$0$$	$$2$$	$$48$$
$$1$$	$$24$$	$$60$$
$$2$$	$$46$$	$$72$$
$$...$$	$$...$$	$$...$$

Nombres de lapins et de chats recensés par année

Représentation graphique

Représenter ces évolutions respectives sur le graphique suivant.

représentation des évolutions respectives de lapins et de chats

À quelle année la population de chats va-t-elle égaler celle des lapins ?

Graphiquement, cela a tout l'air d'être au bout de 4 ans.

Déterminations des expressions

On a observé que ces deux évolutions suivent un schéma général de suite arithmétique :

$$ u_n = u_0 + nr$$

En utilisant à nouveau les valeurs du tableau 1, déterminer les expressions évolutions respectives $ L_n $ et $ C_n $.

Comme on sait que l'on travaille sur des suites arithmétiques, on cherche à déterminer pour $ L_n$ et $C_n$ le premier terme $u_0$ et la raison $r$.

- Pour $L_n$ :

En choisissant au hasard deux valeurs $L_1$ et $L_2$, on obtient $r$ :

$$ L_2 - L_1 = r$$

$$ 24- 2 = 22$$

Alors,

$$ L_n = L_0 + nr$$

$$ L_n = 2 + 22n $$

- Pour $C_n$ :

$$ C_2 - C_1 = r$$

$$ 60-48 = 12 $$

$$ C_n = C_0 + nr$$

$$ C_n = 48 + 12n $$

Déterminer alors à quel moment ces deux évolutions se croisent. On résoudra alors l'équation :

$$ L_n = C_n $$

On cherche à résoudre :

$$L_n > C_n $$

On remplace par les valeurs trouvées avant.

$$ 2 + 22n > 48 + 12n $$

$$ 22n-12n > 48 - 2$$

$$10 n > 46$$

$$ n > 4.6 $$

Soit,

$$ n > 5 $$

On retombe bien sur la même chose qu'avec la lecture graphique.

Prise en compte de la mort successive des vieux lapins

On souhaite prendre en considération que les lapins adultes meurent au bout de trois années.

On modélise alors une nouvelle suite qui prend en compte ce paramètre :

$$ \Lambda_n = L_n - L_{n-3}$$

$$ \Bigl (avec \ L_{n-3} = 0, \hspace{1em} si \ (n < 3) \Bigr) $$

Montrer qu'à partir de la troisième année, la population de lapins va rester constante.

$$ \Lambda_n = L_n - L_{n-3}$$

On remplace les expressions par leur valeur respective :

$$ \Lambda_n = 2 + 22n - \bigl(2 + 22(n-3)\bigr) $$

$$ \Lambda_n = 2 + 22n - \bigl( 2 + 22n - 66\bigr) $$

$$ \Lambda_n = 2 + 22n - \bigl( -64 + 22n \bigr) $$

$$ \Lambda_n = 2 + 22n + 64 - 22n $$

$$ \Lambda_n = 66 $$

La population sera bien constante à partir de la troisème année.