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Évolution de la population, gamme tempérée

Évolution de la population

Une ville de \(3 \overline{M}\) d'habitants connaît une diminution de \(4 \%\) par an pendant \(3\) ans.

  1. Quelle sera cette population au bout des \(3\) ans ?

    2. On note \(P_0\) la population de départ.

    Comme on multiplie par le même nombre tous les ans, à l'année \((n=3)\) la population sera de :

    $$ P_3 = P_0 \times (1-t)^3 $$

    Application numérique

    $$ P_3 = 3 \ 000 \ 000 \times \left(1-\frac{4}{100} \right)^3 $$
    $$ P_3 = 3 \ 000 \ 000 \times \left(\frac{100}{100}-\frac{4}{100} \right)^3 $$
    $$ P_3 = 2 \ 654 \ 208 \ hab. $$

  2. Quel est le taux moyen mensuel de cette évolution au long des ces \(3\) années ?

    3. Si l'on simule la même diminution avec un taux mensuel moyen \(t_m\), on obtient :

    Comme on multiplie par le même nombre tous les ans, à l'année \((n=3)\) la population sera de :

    $$ P_3 = P_0 \times (1-t_m)^{36} $$
    $$ \frac{P_3}{P_0} = (1-t_m)^{36} $$

    On applique la racine en base \(36\) pour faire disparaître la puissance :

    $$ \textcolor{#6187B2}{\sqrt[36]{\textcolor{#4A8051}{\frac{P_3}{P_0}}}} = \textcolor{#6187B2}{\sqrt[36]{\textcolor{#4A8051}{(1-t_m)^{36}}}} $$
    $$ \sqrt[36]{\frac{P_3}{P_0}} = 1-t_m $$

    Soit un taux mensuel moyen de :

    $$ t_m = 1- \sqrt[36]{\frac{P_3}{P_0}} $$

    Application numérique

    $$ t_m \approx 0.00339 $$

    Cela représente un taux diminution mensuel moyen d'environ \(0.339 \ \%\) sur les \(36\) mois.

  3. En conservant le même taux d'évolution, à partir de combien de temps (jours + années) cette population attendra une population de \( P_m = 2 \ 000 \ 000 \) d'habitants ?

    4. La population évolue suivant :

    $$ P_n = P_0 \times (1-t)^n $$

    On cherche une date \(m\) tel que :

    $$ P_m = P_0 \times (1-t)^m $$
    $$ \frac{P_m}{\textcolor{#6187B2}{P_0}} = \frac{P_0}{\textcolor{#6187B2}{P_0}} \times (1-t)^m $$

    Ensuite, pour faire descendre un exposant, on utilise le logarithme :

    $$ \textcolor{#6187B2}{ln \Bigl(} \frac{P_m}{P_0} \textcolor{#6187B2}{\Bigr)} = \textcolor{#6187B2}{ln \Bigl(}(1-t)^m\textcolor{#6187B2}{\Bigr)} $$
    $$ ln \Bigl( \frac{P_m}{P_0} \Bigr) = m \times ln (1-t) $$
    $$ m = \frac{ln \Bigl( \frac{P_m}{P_0} \Bigr)}{ln (1-t)} $$

    Application numérique :

    $$ m = \frac{ln \Bigl( \frac{2 \ 000 \ 000}{3 \ 000 \ 000} \Bigr)}{ln (0.96)} $$
    $$ m \approx 9.993 $$

    C'est-à-dire \(9\) ans, plus \(362\) jours :

    $$ \frac{0.993}{1} = \frac{N_j}{365} \Longleftrightarrow N_j = \frac{0.993 \times 365}{1} $$
    $$ N_j = 362 \ jours $$

  4. Vérifier vos résultats avec ce simulateur d'évolution

    5. Simulation de diminution de population

    Population au départ : hab

    Population à l'arrivée : hab

    Taux : %


    Date d'arrivée :

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La gamme tempérée

En musique, on appelle un octave le fait de passer d'une note (par exemple \(Do\)), à la prochaine même note, mais plus aigüe.

Représentation des douze notes d'un octave

Toutes les notes vibrent à une certaine fréquence (en \(Hz\)), et d'un octave à un autre, la fréquence double.

La gamme tempérée a été conçue pour qu'il subsiste le même rapport de fréquence, appelons le \(\alpha\), d'une note à une autre.

Rapport de fréquences entre les notes d'un octave
$$ \frac{f_1}{f_0} = \frac{f_2}{f_1} = \ ... \ = \frac{f_{n+1}}{f_n} = \alpha $$

Quelle est la valeur de ce rapport ?

Le premier rapport entre \(f_1\) et \(f_0\) donne :

$$ \frac{f_1}{f_0} = \alpha \Longleftrightarrow f_1 = f_0 \ \alpha \qquad (1) $$

Le deuxième rapport entre \(f_2\) et \(f_1\) donne :

$$ \frac{f_2}{f_1} = \alpha \Longleftrightarrow f_2 = f_1 \ \alpha \qquad (2) $$

Mais, avec \((1)\), on avait que : \(f_1 = f_0 \ \alpha\). On remplace alors sa valeur dans \((2)\).

$$ f_2 = f_0 \ \alpha \ \alpha $$
$$ f_2 = f_0 \ \alpha^2 $$

En recommençant la même chose avec les autres on s'aperçoit que :

$$ f_3 = f_0 \ \alpha^3 $$
$$ f_4 = f_0 \ \alpha^4 $$

...etc. jusque la fréquence \(f_{12}\) où :

$$ f_{12} = f_0 \ \alpha^{12} \qquad (3) $$

Or, dans l'énoncé, on nous dit aussi que :

$$ f_{12} = f_0 \times 2 \qquad (4) $$

Les expressions \((3)\) et \((4)\) ont un membre commun, donc elles sont égales :

$$ f_0 \times 2 = f_0 \times \alpha^{12} $$

On divise tout par \(\textcolor{#6187B2}{f_0}\) pour l'éliminer :

$$ \frac{f_0}{\textcolor{#6187B2}{f_0}} \times 2 = \frac{f_0}{\textcolor{#6187B2}{f_0}} \times \alpha^{12} $$
$$ \Longrightarrow 2 = \alpha^{12} $$

Enfin, on élimine la puissance par une racine :

$$ \textcolor{#6187B2}{\sqrt[12]{\textcolor{#4A8051}{2}}} = \textcolor{#6187B2}{\sqrt[12]{\textcolor{#4A8051}{\alpha^{12}}}} $$
$$ \sqrt[12]{2} = \alpha $$

Application numérique :

$$ \alpha \approx 1.05946... $$
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