Probabilités conditionnelles

Les chances de répondre aléatoirement à un QCM

On se prépare à passer un QCM comportant à chaque fois quatre réponses possibles, dont une seule est exacte.

On admet qu'il y ait une probabilité d'un tiers pour que l'on connaisse la réponse.

On appelle les évènements :

$ C $ : "L'élève connaît la réponse"

$ B $ : "La réponse choisie par l'élève est la bonne"

Construire un arbre de probabilités illustrant cette situation.

Quelle est la probabilité pour que la réponse à n'importe quelle question soit la bonne ?

On cherche $P(B)$ :

$$P(B) = P(C \cap B) + P(\overline{C} \cap B) $$

$$P(B) = P(C) \times P_C(B) + P(C) \times P_{\overline{C}}(B)$$

$$P(B) = \frac{1}{3} \times 1 + \frac{2}{3} \times \frac{1}{4}$$

$$P(B) = \frac{1}{3}\textcolor{#6187B2}{\times \frac{4}{4}} + \frac{2}{12} $$

$$P(B) = \frac{4}{12} + \frac{2}{12} $$

$$P(B) = \frac{6}{12} $$

$$P(B) = \frac{1}{2} $$

Les spécialités des élèves de Terminale

Dans une classe de $30$ élèves de Terminale, chaque élève a choisi une seule spécialité.

Voici un tableau récapitulatif des spécialités des élèves :

	Rugby	Tennis	Basket	Danse	Théâtre
Genre
Fille	1	3	2	6	5
Garçon	3	4	4	1	1
Total

tableau des spécialités de la classe en fonction de genre de l'élève

Compléter le tableau précédent.

Construire un arbre de probabilités illustrant cette situation.

On appelle les évènements :

$ F $ : "L'élève est une fille"
$ G $ : "L'élève est un garçon"

Ainsi que :

$ R $ : "L'élève a choisi la spécialité rugby"
$ T $ : "L'élève a choisi la spécialité tennis"
$ B $ : "L'élève a choisi la spécialité basket"
$ D $ : "L'élève a choisi la spécialité danse"
$ Th $ : "L'élève a choisi la spécialité théâtre"

Et on cherche à connaitre les probabilités suivantes :

La probabilité qu'un élève soit une fille, et fasse du tennis :

$$P(F \cap T) = $$

$$P(F \cap T) = P(F) \times P_F(T) $$

$$P(F \cap T) = \frac{17}{30} \times \frac{3}{17} $$

$$P(F \cap T) = \frac{3}{30} $$

$$P(F \cap T) = \frac{1}{10} $$
La probabilité qu'un élève soit une fille, et fasse du tennis :

$$P(F \cap T) = $$

$$P(F \cap T) = P(F) \times P_F(T) $$

$$P(F \cap T) = \frac{17}{30} \times \frac{3}{17} $$

$$P(F \cap T) = \frac{3}{30} $$

$$P(F \cap T) = \frac{1}{10} $$
La probabilité qu'un élève soit un garçon, et fasse de la danse :

$$P(G \cap D) = $$

$$P(G \cap D) = P(G) \times P_G(D) $$

$$P(G \cap D) = \frac{13}{30} \times \frac{1}{13} $$

$$P(G \cap D) = \frac{1}{30} $$
La probabilité qu'un élève fasse du rugby :

$$P(R) = $$

$$P(R) = P(F \cap R) + P(G \cap R) $$

$$P(R) = P(F) \times P_F(R) + P(G) \times P_G(R) $$

$$P(R) = \frac{17}{30} \times \frac{1}{17} + \frac{13}{30} \times \frac{3}{13}$$

$$P(R) = \frac{1}{30} + \frac{3}{30} $$

$$P(R) = \frac{4}{30}$$

$$P(R) = \frac{2 \times \cancel{2}}{15 \times \cancel{2}}$$

$$P(R) = \frac{2}{15} $$
La probabilité qu'un élève soit une fille, ou fasse de la danse :

$$P(F \cup D) = $$

$$P(F \cup D) = P(F) + \textcolor{#606B9E}{P(D)} - \textcolor{#AF5F5F}{P(F \cap D)} $$

$$P(F \cup D) = \frac{17}{30} + \textcolor{#606B9E}{P(F \cap D) + \underbrace{P(G \cap D)} _\text{calculé plus haut}} - \ \textcolor{#AF5F5F}{P(F \cap D)} $$

$$P(F \cup D) = \frac{17}{30} + \textcolor{#606B9E}{P(F \cap D)} + \textcolor{#606B9E}{ \frac{1}{30}} - \textcolor{#AF5F5F}{P(F \cap D)} $$

$$P(F \cup D) = \frac{17}{30} + \textcolor{#606B9E}{ \frac{1}{30}} + \underbrace{ \textcolor{#606B9E}{P(F \cap D)} - \textcolor{#AF5F5F}{P(F \cap D)} } _\text{ $= 0$ } $$

$$P(F \cup D) = \frac{18}{30} $$

$$P(F \cup D) = \frac{\cancel{6} \times 3}{\cancel{6} \times 5} $$

$$ P(F \cup D) = \frac{3}{5} $$
La probabilité qu'un élève fasse du rugby ou de la danse :

$$P(R \cup D) = $$

$$P(R \cup D) = P(R) + P(F \cap D) + P(G \cap D) $$

$$P(R \cup D) = \underbrace{P(R) + P(G \cap D) } _\text{calculés plus haut} + \textcolor{#606B9E}{P(F \cap D)} $$

$$P(R \cup D) = \frac{2}{15} + \frac{1}{30} + \textcolor{#606B9E}{P(F) \times P_F(D)} $$

$$P(R \cup D) = \frac{4}{30} + \textcolor{#606B9E}{\frac{17}{30} \times \frac{6}{17}} $$

$$P(R \cup D) = \frac{4}{30} + \textcolor{#606B9E}{\frac{6}{30}} $$

$$P(R \cup D) = \frac{10}{30} $$

$$P(R \cup D) = \frac{1}{3} $$

Les service de Novak Djokovic

Pour Novak Djokovic, on dispose des statistiques suivantes pour son service :

Pourcentage de réussite du 1 ^er service : $65 \%$

Pourcentage de victoire du point suite au 1 ^er service : $34 \%$

Pourcentage de réussite du 2 ^ième service : $90 \%$

Pourcentage de victoire du point suite au 2 ^ième service : $55 \%$

Donner des noms pertinents pour chaque évènement.

$ \hspace{4em} $ : "Réussir le 1 ^er service"
$ \hspace{4em} $ : "Réussir le 2 ^ième service"
$ \hspace{4em} $ : "Gagner le point"

$ R_1 $ : "Réussir son 1 ^er service"
$ R_2 $ : "Réussir son 2 ^ième service"
$ G $ : "Gagner le point"

Construire un arbre de probabilités illustrant cette situation.

On cherche à connaitre les probabilités suivantes (exprimées en pourcentages) :

La probabilité de réussir son premier service puis de perdre le point :

$$P(R_1 \cap \overline{G}) = P(R_1) \times P_{R_1}(\overline{G}) $$

$$P(R_1 \cap \overline{G}) = 0.65 \times 0.66 $$

$$P(R_1 \cap \overline{G}) = 0.429 $$

$$P(R_1 \cap \overline{G}) = 42.9 \ \% $$
La probabilité de réussir son deuxième service puis de gagner le point :

$$P(R_2 \cap G) = \textcolor{#606B9E}{P(R_2)} \times P_{R_2}(G) $$

$$P(R_2 \cap G) = \textcolor{#606B9E}{P(\overline{R_1}) \times P_{\overline{R_1}}(R_2)} \times P_{R_2}(G) $$

$$P(R_2 \cap G) = \textcolor{#606B9E}{0.35 \times 0.9} \times 0.55 $$

$$P(R_2 \cap G) = 0.17325 $$

$$P(R_2 \cap G) = 17.325 \ \% $$
La probabilité de gagner le point :

$$P(G) = \textcolor{#606B9E}{P(R_1 \cap G)} + P(R_2 \cap G) $$

$$P(G) = \textcolor{#606B9E}{P(R_1) \times P_{R_1}(G)} + \underbrace{P(R_2 \cap G)} _ \text{déjà calculé} $$

$$P(G) = \textcolor{#606B9E}{0.65 \times 0.34} + 0.17325 $$

$$P(G) = 0.39425 $$

$$P(G) = 39.425 \ \% $$
La probabilité de perdre le point :

$$P(\overline{G}) = 1 - P(G) $$

$$P(\overline{G}) = 1 - 0.39425 $$

$$P(\overline{G}) = 0.60575 $$

$$P(\overline{G}) = 60.575 \ \% $$