Exercices sur les fonctions puissances/logarithmes : évolution de la population, gamme tempérée

Évolution de la population

Une ville de $3 \overline{M}$ d'habitants connaît une diminution de $4 \%$ par an pendant $3$ ans.

Quelle sera cette population au bout des $3$ ans ?

On note $P_0$ la population de départ.

Comme on multiplie par le même nombre tous les ans, à l'année $(n=3)$ la population sera de :

$$P_3 = P_0 \times (1-t)^3$$

Application numérique

$$P_3 = 3 \ 000 \ 000 \times \left(1-\frac{4}{100} \right)^3$$

$$P_3 = 3 \ 000 \ 000 \times \left(\frac{100}{100}-\frac{4}{100} \right)^3$$

$$P_3 = 2 \ 654 \ 208 \ hab. $$

Quel est le taux moyen mensuel de cette évolution au long des ces $3$ années ?

Si l'on simule la même diminution avec un taux mensuel moyen $t_m$, on obtient :

Comme on multiplie par le même nombre tous les ans, à l'année $(n=3)$ la population sera de :

$$P_3 = P_0 \times (1-t_m)^{36}$$

$$\frac{P_3}{P_0} = (1-t_m)^{36}$$

On applique la racine en base $36$ pour faire disparaître la puissance :

$$\textcolor{#6187B2}{\sqrt[36]{\textcolor{#8bb18f98}{\frac{P_3}{P_0}}}} = \textcolor{#6187B2}{\sqrt[36]{\textcolor{#8bb18f98}{(1-t_m)^{36}}}}$$

$$ \sqrt[36]{\frac{P_3}{P_0}} = 1-t_m$$

Soit un taux mensuel moyen de :

$$ t_m = 1- \sqrt[36]{\frac{P_3}{P_0}}$$

Application numérique

$$t_m \approx 0.00339 $$

Cela représente un taux diminution mensuel moyen d'environ $0.339 \ \%$ sur les $36$ mois.

En conservant le même taux d'évolution, à partir de combien de temps (jours + années) cette population attendra une population de $ P_m = 2 \ 000 \ 000 $ d'habitants ?

La population évolue suivant :

$$P_n = P_0 \times (1-t)^n$$

On cherche une date $m$ tel que :

$$P_m = P_0 \times (1-t)^m$$

$$\frac{P_m}{\textcolor{#6187B2}{P_0}} = \frac{P_0}{\textcolor{#6187B2}{P_0}} \times (1-t)^m $$

Ensuite, pour faire descendre un exposant, on utilise le logarithme :

$$\textcolor{#6187B2}{ln \Bigl(} \frac{P_m}{P_0} \textcolor{#6187B2}{\Bigr)} = \textcolor{#6187B2}{ln \Bigl(}(1-t)^m\textcolor{#6187B2}{\Bigr)} $$

$$ln \Bigl( \frac{P_m}{P_0} \Bigr) = m \times ln (1-t)$$

$$m = \frac{ln \Bigl( \frac{P_m}{P_0} \Bigr)}{ln (1-t)} $$

Application numérique :

$$m = \frac{ln \Bigl( \frac{2 \ 000 \ 000}{3 \ 000 \ 000} \Bigr)}{ln (0.96)} $$

$$ m \approx 9.993 $$

C'est-à-dire $9$ ans, plus $362$ jours :

$$ \frac{0.993}{1} = \frac{N_j}{365} \Longleftrightarrow N_j = \frac{0.993 \times 365}{1}$$

$$ N_j = 362 \ jours $$

Vérifier vos résultats avec ce simulateur d'évolution

Simulation de diminution de population

Population au départ : hab

Population à l'arrivée : hab

Taux : %

Date d'arrivée :

La gamme tempérée

En musique, on appelle un octave le fait de passer d'une note (par exemple $Do$), à la prochaine même note, mais plus aigüe.

Toutes les notes vibrent à une certaine fréquence (en $Hz$), et d'un octave à un autre, la fréquence double.

La gamme tempérée a été conçue pour qu'il subsiste le même rapport de fréquence, appelons le $\alpha$, d'une note à une autre.

Le premier rapport entre $f_1$ et $f_0$ donne :

$$ \frac{f_1}{f_0} = \alpha \Longleftrightarrow f_1 = f_0 \ \alpha \qquad (1) $$

Le deuxième rapport entre $f_2$ et $f_1$ donne :

$$ \frac{f_2}{f_1} = \alpha \Longleftrightarrow f_2 = f_1 \ \alpha \qquad (2) $$

Mais, avec $(1)$, on avait que : $f_1 = f_0 \ \alpha$. On remplace alors sa valeur dans $(2)$.

$$f_2 = f_0 \ \alpha \ \alpha $$

$$f_2 = f_0 \ \alpha^2 $$

En recommençant la même chose avec les autres on s'aperçoit que :

$$f_3 = f_0 \ \alpha^3 $$

$$f_4 = f_0 \ \alpha^4 $$

...etc. jusque la fréquence $f_{12}$ où :

$$f_{12} = f_0 \ \alpha^{12} \qquad (3) $$

Or, dans l'énoncé, on nous dit aussi que :

$$f_{12} = f_0 \times 2 \qquad (4) $$

Les expressions $(3)$ et $(4)$ ont un membre commun, donc elles sont égales :

$$f_0 \times 2 = f_0 \times \alpha^{12} $$

On divise tout par $\textcolor{#6187B2}{f_0}$ pour l'éliminer :

$$\frac{f_0}{\textcolor{#6187B2}{f_0}} \times 2 = \frac{f_0}{\textcolor{#6187B2}{f_0}} \times \alpha^{12} $$

$$ \Longrightarrow 2 = \alpha^{12} $$

Enfin, on élimine la puissance par une racine :

$$ \textcolor{#6187B2}{\sqrt[12]{\textcolor{#8bb18f98}{2}}} = \textcolor{#6187B2}{\sqrt[12]{\textcolor{#8bb18f98}{\alpha^{12}}}} $$

$$ \sqrt[12]{2} = \alpha $$

Application numérique :

$$\alpha \approx 1.05946... $$