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Activité sur les équations du second degré : champs avec une surface variable

Contexte

Un agriculteur dispose d'un champ rectangulaire de dimensions \(100 \times 150 \) mètres sur lequel vivent des chevaux.

1. Que vaut la surface totale de son champ, en hectares ?

Dans ce champ, il souhaite mettre en place un poulailler carré, ainsi qu'un verger qui sera formé par le prolongement des dimensions du poulailler.

On appellera \(\textcolor{#B25F5F}{X}\) la longueur variable déterminant directement la taille du poulailler, telle que sur la figure suivante :



2. Exprimer l'intervalle (en mètres) dans lequel \(\textcolor{#B25F5F}{X}\) sera défini (sachant que le poulailler et le verger doivent tous deux avoir une surface minimum que vous déterminerez).

3. Exprimer la surface du poulailler et celle du verger, toutes deux en fonction de \(\textcolor{#B25F5F}{X}\).

Détermination de la valeur de \(X\)

L'agriculteur souhaite que la surface additionnée de ces deux parcelles (verger + poulailler) fasse au moins \(60\%\) de la surface totale.

1. Vérifier alors que l'inéquation correspondante à ce besoin est bien :

   $$2X^2 - 250 X + 6000 \geqslant 0 \qquad (I)$$

2. Calculer le (ou les) intervalle(s) pour le(s)quel(s) \(\textcolor{#B25F5F}{X}\) vérifie l'inéquation \((I)\).

   On pourra suivre les étapes suivantes :

   • trouver les racines du polynôme

   Pour calculer les racines d'un polynôme de la forme \(ax^2 + bx + c\), on calcule d'abord le discriminant \(\Delta\) :

   $$\Delta = b^2 - 4ac$$

   Ensuite, si \(\Delta \geqslant 0\), on obtient deux racines :

   $$ X_1 = \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a} $$

   $$ X_2 = \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a} $$

   • le factoriser

   Après calcul des racines, on obtient une forme factorisée du polynôme suivante :

   $$ a(X - X_1)(X - X_2)$$

   • établir un tableau de signes

   Dans notre cas, le tableau de signes va permettre de résoudre :

   $$ a(X - X_1)(X - X_2) \geqslant 0 $$

3. Finalement, dans quel intervalle doit être compris \(\textcolor{#B25F5F}{X}\) pour que le projet réponde au besoin ?