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Activité sur les fonctions affines : l'évolution de naissances d'animaux

Contexte

On souhaite observer l'évolution au cours des années de deux populations différentes d'animaux, des lapins et des chats.

On notera alors :

• \(L(x) \) : la population de lapins au cours du temps

• \(C(x) \) : la population de chats au cours du temps

La première année (\(x=1)\), on dispose d'un couple de lapins et de trois couples de chats.

Représentation graphique

1. Représenter ces évolutions respectives sur le graphique suivant.





2. À quelle année la population de chats va-t-elle égaler celle des lapins ?

Graphiquement, cela a tout l'air d'être au bout de 5 ans.

Déterminations des équations

On souhaite retrouver ce résultat par le calcul.

On admettra que ces évolutions sont régies par des fonctions affines répondant à l'équation générale :

1. En utilisant à nouveau les valeurs du tableau 1, déterminer les équations des évolutions respectives \( L(x) \) et \( C(x) \).

Comme on sait que l'on travaille sur des fonctions affines, on cherche à déterminer pour \(L(x)\) et \(C(x)\) les coefficients \(a\) et \(b\).

- Pour \(L(x)\) :

En choisissant au hasard deux points \(A\) et \(B\), on applique la formule pour \(a\) :

$$ a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$$

$$ (la formule du cours comporte $$

$$ a = \frac{6 - 2}{2 - 1} = 4$$

Ensuite, on remplace avec n'importe quel point, par exemple le premier :

$$ y_A = 4x_A + b$$

$$ 2 = 4 + b \Longrightarrow b = -2 $$

Alors,

$$ L(x) = 4x-2$$




- Pour \(C(x)\) :

On fait la même chose.

$$ a = \frac{9-6}{2 - 1} = 3$$

$$ 6 = 3 + b \Longrightarrow b = 3 $$

$$ C(x) = 3x+3$$

2. Déterminer alors à quel moment ces deux évolutions se croisent. On résoudra alors l'équation :

   $$ L(x) = C(x) $$
$$ L(x) = C(x) $$

On remplace par les valeurs trouvées avant.

$$ 4x-2 = 3x+3 $$

$$ 4x-3x = 3+2 $$

$$ x = 5 $$

On retombe bien sur la même chose qu'avec la lecture graphique.