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Activité : le record du monde de 0 à 100 km/h

La voiture la plus rapide du monde, l'Aspark Owl, passe de \(0\) à \(100 \ km/h\) en seulement \(1.9 \ s\).

La distance parcourue

L'équation modélisant la distance (en \(m\)) par rapport au temps (en \(s\)), répond à l'équation suivante :

1. Quelle est la distance parcourue à \(t=0.5 \ s\), \(t=1 \ s\) et \(t=1.5 \ s\) ?

2. À quelle distance \(d_r\) la voiture atteint-elle le record ?

Calcul de la vitesse moyenne

Pour calculer une vitesse moyenne, on calcule le taux de variation entre un point \(A(t_1; d_1)\) (le départ) et \(B(t_2; d_2)\) (l'arrivée).

$$ V_{moy} = \frac{d(t_2) - d(t_1)}{t_2 - t_1} $$

Calculer cette vitesse moyenne sur la durée du trajet \(AB\).

Calcul de la vitesse instantanée

Pour plus de précision, il est possible de calculer une vitesse "moyenne" mais sur des distances beaucoup plus rapprochées.

On parlera alors de vitesse instantanée, lorsque ces deux distances seront quasiment confondues.

Méthode : pour générer deux points quasi confondus autour d'une certaine valeur de temps \(t\), on peut prendre un petit pas (exemple \( p = 0.01\)), et faire :

$$A' \Bigl[ (t-p); \ d(t-p) \Bigr]$$

$$B' \Bigl[ (t+p); \ d(t+p) \Bigr]$$

1. Calculer les vitesses instantanée pour \(t=0.5 \ s\), \(t=1 \ s\) et \(t=1.5 \ s\).

2. Vérifier que la vitesse instantanée à \(1.9 \ s\) correspond bien à la vitesse de \(100 \ km/h\).

Modélisation de la vitesse instantanée

On peut modéliser la vitesse instantanée en fonction du temps, en calculant la dérivée de la distance \(d(t)\).

1. Déterminer l'expression de la fonction dérivée \(d'(t) = v(t)\), modélisant la vitesse instantanée en chaque instant du trajet.

2. Établir un graphique de cette fonction en fonction du temps \(t\).

   

3. Quel sens physique donnez-vous à ce résultat ?

4. Avec cette fonction dérivée, calculer les images :

   $$d'(0.5)$$

   $$d'(1)$$

   $$d'(1.5)$$

   $$d'(1.9)$$

   et comparer ces valeurs aux valeurs de vitesses trouvées précédemment avec la méthode par itération.

5. Déterminer l'équation tangente à la courbe au point \((t=1 \ s)\), qu'on appellera \(T_1(x)\), et construire sa représentation sur la courbe de \(d(t)\) suivante.

Pour rappel, l'équation générale de la tangente au point \((x=a)\) vaut :

$$T_a(x) = f'(a) (x-a) + f(a)$$

Modélisation de l'accélération instantanée

De la même manière que la vitesse est la dérivée de la position par rapport au temps, l'accélération est la dérivée de la vitesse.

1. Déterminer l'expression de \(a(t)\).

2. Établir un graphique de cette fonction en fonction du temps \(t\).

   

3. Que peut-on affirmer sur l'évolution de l'accélération en fonction du temps ?

4. Est-ce en accord avec l'interprétation physique faite dans l'exercice précédent ?