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La marée au port de Quiberon

L'évolution du niveau de la marée au port de Quiberon du jeudi 05 décembre 2024 (entre deux heures et vingt heures) a pu être modélisée par la formule suivante :

$$ avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} t : temps \ \bigl[min \bigr] \\ h(t) : hauteur \ du \ niveau \ de \ la \ mer \ \bigl[m \bigr] \end{gather*} $$

Étude de la fonction \(h(t)\)

1. Déterminer l'ensemble de définition \(\mathcal{D}_h\) de la fonction \(h(t)\).

La fonction \(h(t)\) est définie partout, car elle n'admet pas de valeur interdite.

$$ \mathcal{D}_h = \mathbb{R}$$

2. Calculer sa dérivée \(h'(t)\).

$$ h(t) = 3.90 \times 10^{-8} \ t^3 -7.65 \times 10^{-5} \ t^2 + 4.06 \times 10^{-2} \ t - 1.68 $$
$$ h'(t) = 3 \times 3.90 \times 10^{-8} \ t^2 - 2 \times 7.65 \times 10^{-5} \ t + 4.06 \times 10^{-2} $$
$$ h'(t) = 11.70 \times 10^{-8} \ t^2 - 15.30 \times 10^{-5} \ t + 4.06 \times 10^{-2} $$

3. À partir de ce résultat, déduisez-en ses variations, là où elle est définie, à l'aide de ce théorème :

Théorème :

Le signe de la dérivée indique le sens de variation de la fonction.

$$\forall x \in \hspace{0.03em} \mathcal{D}_f,$$

$$ f'(x) \geqslant 0 \Longleftrightarrow f \ est \ croissante $$

$$ f'(x) \leqslant 0 \Longleftrightarrow f \ est \ d\textit{é}croissante$$

$$ f'(x) = 0 \Longleftrightarrow f \ est \ constante$$

Pour calculer les variations, on doit étudier le signe de la dérivée :

$$ h'(t) = 11.70 \times 10^{-8} \ t^2 - 15.30 \times 10^{-5} \ t + 4.06 \times 10^{-2} $$

$$\Delta = (- 15.30 \times 10^{-5})^2 - 4 \times 11.70 \times 10^{-8} \times 4.06 \times 10^{-2} $$

$$\Delta = 234.09 \times 10^{-10} - 4 \times 11.70 \times 10^{-8} \times 4.06 \times 10^{-2} $$

$$\Delta = 4.4082 \times 10^{-9} $$

\(\Delta > 0\), donc on a deux racines distinctes :

$$ t_1 = \frac{15.30 \times 10^{-5} - \sqrt{ 1.07418 \times 10^{-8}}}{2 \times 7.80 \times 10^{-8}} $$

$$ t_1 \approx 370.11 \ min $$

$$ t_2 = \frac{15.30 \times 10^{-5} + \sqrt{ 1.07418 \times 10^{-8}}}{2 \times 7.80 \times 10^{-8}} $$

$$ t_2 \approx 937.58 \ min $$

$$ X $$	$$ -\infty $$	$$ \hspace{3em}$$	$$ t_1 $$	$$ \hspace{3em}$$	$$ t_2 $$	$$ \hspace{3em}$$	$$ +\infty $$
$$( t-t_1) $$	$$ \textcolor{#9C5353}{-}$$		$$ 0$$	$$\textcolor{#4A8051}{+}$$
$$ (t-t_2) $$	$$ \textcolor{#9C5353}{-}$$				$$ 0$$	$$\textcolor{#4A8051}{+}$$
$$h'(t) = 7.80 \times 10^{-8} \times (t - t_1)(t-t_2) $$	$$\textcolor{#4A8051}{+}$$		$$ 0$$	$$\textcolor{#9C5353}{-}$$	$$ 0$$	$$\textcolor{#4A8051}{+}$$
$$ h(t) $$			$$h(t_1) $$		$$h(t_2) $$

4. Toujours en vous servant de la dérivée et du théorème suivant, déduisez-en quels sont les extrema locaux de la fonction \(h(t)\) :

Théorème :

Pour tout point d'abscisse fixe \((x=a)\), et toute valeur \(\varepsilon\) proche de \(0\) :

$$ \Bigl[ f'(a) = 0 \Bigr] \ et \ \Bigl[f'(x) \ change \ de \ signe \ entre \ (a - \varepsilon) \ et \ (a + \varepsilon) \Bigr] \Longleftrightarrow f \ admet \ un \ extremum \ local \ en \ (x=a)$$

La fonction \(h(t)\) admet un maximum local en \((t = t_1)\) :

$$A \bigl(370.11 ; \ 4.84\bigr)$$

et un minimum local en \((t = t_2)\) :

$$B\bigl(937.58; \ 1.28 \bigr)$$

5. Réprésenter la fonction \(h(t)\) (à main levée) dans le graphique suivant :



en mettant en évidence les minima et maxima.

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Halte au port de Quiberon

Un navigateur souhaite faire un halte au port de Quiberon. Il faut qu'il y ait une hauteur de \(2 \ m\) minimum pour pouvoir atteindre l'emplacement.

Quel est le créneau horaire qu'il va devoir respecter pour pouvoir arriver à temps à un emplacement du port ?

Étude de la convexité de \(h(t)\)

1. Calculer \(h''(t)\), la dérivée seconde de \(h(t)\).

$$ h'(t) = 7.80 \times 10^{-8} \ t^2 - 15.30 \times 10^{-5} \ t + 4.06 \times 10^{-2} $$
$$h''(t) = 2 \times 7.80 \times 10^{-8} \ t - 15.30 \times 10^{-5} $$
$$h''(t) = 15.60 \times 10^{-8} \ t - 15.30 \times 10^{-5} $$

2. Grâce au théorème suivant, déterminer la convexité de la fonction \(h(t)\) là où elle est définie.

Théorème :

Le signe de la dérivée seconde indique la convexité de la fonction.

$$\forall x \in \hspace{0.03em} \mathcal{D}_f,$$

$$ f''(x) \geqslant 0 \Longleftrightarrow f \ est \ convexe $$

$$ f''(x) \leqslant 0 \Longleftrightarrow f \ est \ concave $$




Exemple : une fonction concave, puis convexe qui voit sa courbe s'infléchir en \(x_0\).

$$ X $$	$$ -\infty $$				$$ x_0$$	$$ +\infty $$
$$f'' $$	$$\textcolor{#9C5353}{-}$$				$$ 0$$	$$\textcolor{#4A8051}{+}$$
$$ f $$	$$(concave) $$				$$f \left( x_0 \right) $$ $$(inflexion) $$	$$(convexe) $$

Pour étudier la convexité, il faut étudier le signe de la dérivée seconde.

$$h''(t) = 15.60 \times 10^{-8} \ t - 15.30 \times 10^{-5} $$

C'est une fonction linéaire, alors on sait qu'elle est monotone. Calculons l'endroit où elle s'annule :

$$h''(t) = 0 $$

$$15.60 \times 10^{-8} \ t_0 - 15.30 \times 10^{-5} = 0 $$

$$15.60 \times 10^{-8} \ t_0 = 15.30 \times 10^{-5} $$

$$ t_0 = \frac{15.30 \times 10^{-5}}{15.60 \times 10^{-8}} $$

$$ t_0 = \frac{15.30 }{15.60 } \times 10^3 $$

On fait un tableau de signes :

$$ t $$	$$ -\infty $$				$$ t_0$$	$$ +\infty $$
$$f'' $$	$$\textcolor{#9C5353}{-}$$				$$ 0$$	$$\textcolor{#4A8051}{+}$$
$$ f $$	$$(concave) $$					$$(convexe) $$

3. Enfin, grâce au théorème suivant, déterminer en plus pour quelles valeurs de \(x\) la fonction \(h(t)\) s'infléchit.

Théorème :

Pour tout point d'abscisse fixe \((x=a)\), et toute valeur \(\varepsilon\) proche de \(0\) :

$$ \Bigl[ f''(a) = 0 \Bigr] \ et \ \Bigl[f''(x) \ change \ de \ signe \ entre \ (a - \varepsilon) \ et \ (a + \varepsilon) \Bigr] \Longleftrightarrow f \ admet \ un \ point \ d'inflexion \ en \ (x=a)$$

La courbe admet un point d'inflexion à \((t = t_0)\).

4. Est-ce que l'étude de convexité reste cohérent avec la graphique dessiné précédemment ?