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L'évolution du niveau de la marée au port de Quiberon du jeudi 05 décembre 2024 (entre deux heures et vingt heures) a pu être modélisée par la formule suivante :
$$ avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} t : temps \ \bigl[min \bigr] \\ h(t) : hauteur \ du \ niveau \ de \ la \ mer \ \bigl[m \bigr] \end{gather*} $$
Déterminer l'ensemble de définition \(\mathcal{D}_h\) de la fonction \(h(t)\).
Calculer sa dérivée \(h'(t)\).
À partir de ce résultat, déduisez-en ses variations, là où elle est définie, à l'aide de ce théorème :
Théorème :
Le signe de la dérivée indique le sens de variation de la fonction.
$$ f'(x) \geqslant 0 \Longleftrightarrow f \ est \ croissante $$
$$ f'(x) \leqslant 0 \Longleftrightarrow f \ est \ d\textit{é}croissante$$
$$ f'(x) = 0 \Longleftrightarrow f \ est \ constante$$
Toujours en vous servant de la dérivée et du théorème suivant, déduisez-en quels sont les minima et maxima de la fonction \(h(t)\) :
Théorème :
Pour tout point d'abscisse fixe \((x=a)\), et toute valeur \(\varepsilon\) proche de \(0\) :
$$ \Bigl[ f'(a) = 0 \Bigr] \ et \ \Bigl[f'(x) \ change \ de \ signe \ entre \ (a - \varepsilon) \ et \ (a + \varepsilon) \Bigr] \Longleftrightarrow f \ admet \ un \ extremum \ local \ en \ (x=a)$$
Réprésenter la fonction \(h(t)\) (à main levée) dans le graphique suivant :
en mettant en évidence les minima et maxima.
Un navigateur souhaite faire un halte au port de Quiberon.
Quel est le créneau horaire qu'il va devoir respecter pour pouvoir arriver à temps à un emplacement du port ?
Calculer \(h''(t)\), la dérivée seconde de \(h(t)\).
Grâce au théorème suivant, déterminer la convexité de la fonction \(h(t)\) là où elle est définie.
Théorème :
Le signe de la dérivée seconde indique la convexité de la fonction.
$$ f''(x) \geqslant 0 \Longleftrightarrow f \ est \ convexe $$
$$ f''(x) \leqslant 0 \Longleftrightarrow f \ est \ concave $$
Exemple : une fonction concave, puis convexe qui voit sa courbe s'infléchir en \(x_0\).
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$$ X $$
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$$ -\infty $$
|
$$ x_0$$
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$$ +\infty $$
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||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
$$f'' $$
|
$$\textcolor{#B75F5F}{-}$$
|
$$ 0$$
|
$$\textcolor{#54915C}{+}$$
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||||||
|
$$ f $$
|
$$(concave) $$
|
$$f \left( x_0 \right) $$
$$(inflexion) $$
|
$$(convexe) $$
|
||||||
Enfin, grâce au théorème suivant, déterminer en plus pour quelles valeurs de \(x\) la fonction \(h(t)\) s'infléchit.
Théorème :
Pour tout point d'abscisse fixe \((x=a)\), et toute valeur \(\varepsilon\) proche de \(0\) :
$$ \Bigl[ f''(a) = 0 \Bigr] \ et \ \Bigl[f''(x) \ change \ de \ signe \ entre \ (a - \varepsilon) \ et \ (a + \varepsilon) \Bigr] \Longleftrightarrow f \ admet \ un \ point \ d'inflexion \ en \ (x=a)$$
Est-ce que cela est cohérent avec la graphique dessiné précédemment ?