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Exercices sur les fonctions et la lecture graphique

Placer des points sur un graphique

Placer les points suivants sur le graphique

$$ A(1; -2)$$

$$ B \left(-\frac{1}{2}; 2 \right)$$

$$ C(-1; 4) $$

$$ D \left(2; -\frac{1}{2} \right)$$

$$ E (3; -4)$$

Tracer la courbe qui les relie en tentant de lisser les courbes.

Lecture des points d'un graphique

Donner les coordonnées des points $(A, B, C, D, E, F)$ de la figure suivante :

courbe avec six points : $(A, B, C, D, E, F)$

Résoudre graphiquement : $f(x) \leqslant 0$
Résoudre graphiquement : $f(x) = -\frac{7}{2}$
Résoudre graphiquement : $f(x) \geqslant 2$
Quels sont les éventuels extrema de la fonction $f(x)$ ?

Courbes de croissances des filles dans le carnet de santé

Dans le carnet de santé, on a historiquement la présence de ces courbes de croissances en fonction de l'âge :

courbe de croissances des filles de $1$ à $25$ mois

Quelle est la taille moyenne d'une fille âgée de $25$ mois ?
Quel est l'intervalle dans lequel peut être compris la taille d'une fille âgée de $25$ mois ?
De combien de $\% $ la taille d'une fille de taille moyenne aura-t-elle évolué entre :

$5$ et $10$ mois ?

$10$ et $15$ mois ?

$15$ et $20$ mois ?

$20$ et $25$ mois ?

Interpétez ces résultats au vu de l'allure générale de la courbe.

Fonctions affines : $f(x) = ax + b$

Soit deux fonctions affines $f$ et $g$ tels que la figure suivante :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} f(x) = a_1 x + b_1 \\ g(x) = a_2 x + b_2 \end{gather*} $$

Calculer pour chacune leur coefficient directeur respectif $(a_1, a_2)$
En déduire leur ordonnée à l'origine $(b_1, b_2)$ ainsi que leur équation respectives
Résoudre graphiquement : $f(x) = g(x) $
Vérifier cette solution de manière algébrique

Degrés Celsius/Farenheit

En voyage aux États-unis, on a relevé des températures avec un thermomètre français mais aussi avec un thermomètre acheté sur place.

On a relevé les différentes températures dans le tableau suivant :

° Celsius	° Farenheit
$$27$$	$$80.6$$
$$8.5$$	$$47.3$$
$$32.9$$	$$91.2$$
$$15.4$$	$$59.7$$
$$22.2$$	$$71.9$$
$$...$$	$$...$$

données de température en $°F$ et $°C$

Existe-t-il un rapport de proportionnalité entre ces deux unités ?

Modélisation : on souhaite modéliser une formule qui relierai ces deux unités entres elles, pour pouvoir effectuer des conversions par la suite.

Reporter sur le graphique suivant les données du tableau.

graphique établissant un lien entre $°F$ et $°C$

Que peut-on conjecturer sur le lien entre les deux unités ?
En déduire la formule donnant la température en degrés $°F$ en fonction de la température en degrés $°C$.

$$T_{F} = f\bigl(T_{C} \bigr)$$
Grâce à la formule trouver, convertir en degrés $°F$ les températures suivantes :

$$0°C = \hspace{4em} °F $$

$$-50°C = \hspace{4em} °F $$

$$20°C = \hspace{4em} °F $$

La fonction inverse

Soit deux fonction $(f, g)$ :

$$ \left \{ \begin{gather*} f(x) = \frac{1}{x} \\ g(x) = 2 \end{gather*} \right \} $$

graphique représentant deux fonction $f$ et $g$

Donner l'ensemble de définition des deux fonctions
Résoudre graphiquement, puis algébriquement :

$$ f(x) \geqslant g(x) $$

Les fonctions paires/impaires

Pour ces différentes fonctions, indiquer leur parité.

Pour ces différentes fonctions, indiquer leur parité (paire, impaire ou aucune des deux) :

$$f(x) = \frac{1}{x} + x $$

$$g(x) = \frac{1}{x^2} $$

$$h(x) = |x| - 1 $$

$$i(x) = x^3 + x^2 $$

$$j(x) = x + x^3 - x^5 $$

Démontrer qu'une fonction somme de deux fonctions paires est une fonction paire.
Démontrer qu'une fonction somme de deux fonctions impaires est une fonction impaire.

Modélisation de la luminosité d'un océan

La luminosité d'un océan (en $\%$), d'une profondeur maximum de $250 \ m$, est modélisée en fonction de la profondeur $p$ (en $m$) grâce à la formule suivante :

$$\forall p \in \bigl[0; 250 \bigr], \ L(p) = 100 - 4 \times 10^{-1} p \qquad \bigl[ \% \bigr] $$

Quelle est la nature de cette fonction ?
Quelle est la valeur de la luminosité à la surface ?
À partir de quelle profondeur la luminosité sera inférieure à $30 \%$ ?

Modélisation de la temérature dans le désert

L'évolution de la température (en $°C$) dans un désert a été modélisée sur une journée ($t$ en $h$) par :

$$\forall t \in \bigl[0; 24 \bigr], \ T(t) = -\frac{9}{25}(t-12)^2 + 42 \qquad \bigl[ °C \bigr] $$

Représenter la courbe de cette fonction sur le graphique suivant.

graphique représentant la température (en $°C$) en fonction des heures d'une journée

À quelle heure de la journée la température semble être maximale ?
Cette fonction admet semble admettre un axe de symétrie en $(x=12)$, vérifier alors que :

$$f(12-x) = f(12 + x) $$
Quelle sont les températures à $(t = 0)$ et $(t = 24)$ ? Cela semble-t-il cohérent ?
Résoudre graphiquement :

$$ T(t) \geqslant 26$$

Puis vérifier ce résultat par le calcul.