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Activité : le record du monde de 0 à 100 km/h

La voiture la plus rapide du monde, l'Aspark Owl, passe de $0$ à $100 \ km/h$ en seulement $1.9 \ s$.

Calcul de la distance parcourue jusque 100 km/h

L'équation modélisant la distance (en $m$) par rapport au temps (en $s$), répond à l'équation suivante :

$$ d(t) = \frac{15.34 \ t^3}{6} $$

graphique modélisant la distance parcourue sur le record du monde de vitesse $0$ à $100 \ km/h$

À quelle distance $d_r$ la voiture atteint-elle ce record ?

Calcul de la vitesse moyenne

Pour calculer une vitesse moyenne, on calcule le taux de variation entre un point $A(t_1; d_1)$ (le départ) et $B(t_2; d_2)$ (l'arrivée).

$$ V_{moy} = \frac{d(t_2) - d(t_1)}{t_2 - t_1} $$

vitesse moyenne entre deux points $A(t_1; d_1)$ et $B(t_2; d_2)$

Calculer cette vitesse moyenne sur la durée du trajet $AB$.

Calcul de la vitesse instantanée

Pour plus de précision, il est possible de calculer une vitesse "moyenne" mais sur des distances beaucoup plus rapprochées.

On parlera alors de vitesse instantanée, lorsque ces deux distances seront quasiment confondues.

vitesse instantanée entre deux points rapprochés $A(t_1; d_1)$ et $B(t_2; d_2)$

Méthode : pour générer deux points quasi confondus autour d'une certaine valeur de temps $t$, on peut prendre un petit pas (exemple $ p = 0.01$), et faire :

$$A' \Bigl[ (t-p); \ d(t-p) \Bigr]$$

$$B' \Bigl[ (t+p); \ d(t+p) \Bigr]$$

Calculer les vitesses instantanée pour $t=0.5 \ s$, $t=1 \ s$ et $t=1.5 \ s$.
Vérifier que la vitesse instantanée à $1.9 \ s$ correspond bien à la vitesse de $100 \ km/h$.

Approfondissement possible

Modélisation de la vitesse instantanée

On peut modéliser la vitesse instantanée en fonction du temps, en calculant la dérivée de la distance $d(t)$.

$$d'(t) = v(t) = \frac{15.34 \ t^2}{2}$$

Construire un nouveau graphique représentant la vitesse $v(t)$ en fonction du temps $t$.

graphique modélisant la vitesse instantanée sur le record du monde de vitesse $0$ à $100 \ km/h$

Vérifier que les résultats précédemment obtenus avec les temps $t=0.5 \ s$, $t=1 \ s$, $t=1.5 \ s$ et $t=1.9 \ s$ sont cohérents avec les résultats précédemment trouvés.

Modélisation de l'accélération instantanée

De la même manière que la vitesse est la dérivée de la position par rapport au temps, l'accélération est la dérivée de la vitesse.

$$v'(t) = a(t) = 15.34t$$

Que peut-on affirmer sur l'évolution de l'accélération en fonction du temps ?