Les suites arithmétiques et géométriques

Les suites sont par définition des fonctions qui n'acceptent uniquement des valeurs discrètes (en opposition aux fonctions qui peuvent admettre des valeurs continues). Ces valeurs sont déterminées en entrée par un indice (souvent $n$).

On obtiendra alors une serie de valeurs comme :

$$ \Bigl\{ u_0, u_1, u_2, \dots ,u_n\Bigr\}$$

(l'indice peut éventuellement commencer à autre chose que zéro)

On notera une suite $(u_n)_{n \hspace{0.05em} \in \mathbb{N} }$ lorsqu'on souhaite faire référence à une suite, et on la notera simplement $u_n$ lorsqu'on l'utilisera dans des calculs.

On distingue deux type principaux de suites :

les suites définies explicitement en fonction de l'indice :

$$ u_n = f(n) \qquad (suites \ explicites)$$

Exemple : $ u_n = 3n + 2 $

les suites récurrentes, exprimées en fonction du terme précédent :

$$ u_{n+1} = f(u_n) \qquad (suites \ r\textit{é}currentes)$$

Exemple : $ u_{n+1} = 3 u_n + 2 $

Les suites arithmétiques : $u_n = u_0 + nr$

Définition

Soit une suite arithmétique $(u_n)_{n \hspace{0.05em} \in \mathbb{N} }$. Cette suite est définie par :

son premier terme $u_0$
sa raison $r$

C'est une série de valeurs, à laquelle à chaque terme suivant on ajoute la valeur de la raison $r$.

Alors, une suité arithmétique s'exprime par la formule générale :

$$ u_n = u_0 + nr \qquad (suites \ arithm\textit{é}tiques)$$

On peut éventuellement l'exprimer de manière récurrente, dans ce cas :

$$ u_{n+1} = u_n + r $$

Sens de variations

Pour calculer le sens de variations d'une suite arithmétique, on pourra utiliser la première méthode et étudier le signe de $\Delta u_n$ :

$$ u_{n+1} - u_n > 0 \qquad (\Delta u_n)$$

Soit,

$$ u_n + r - u_n > 0$$

$$ r > 0$$

Alors, le sens de variations d'une suite arithmétique ne dépend que du signe de $r$.

$$\forall n \geqslant n_0, \ \Biggl \{ \begin{gather*} r > 0 \Longrightarrow u_n \ \nearrow \\ r < 0 \Longrightarrow u_n \ \searrow \\ r = 0 \Longrightarrow u_n \ \longrightarrow \end{gather*} $$

Somme de termes d'une suite arithmétique

De $0$ jusque $n$

$$ \forall n \in \mathbb{N}, $$

$$ \sum_{k = 0}^n (u_0 + kr) = \frac{\bigl(n+1\bigr)\bigl(u_0 + u_n \bigr)}{2}$$

$$ \Longleftrightarrow $$

$$ \sum_{k = 0}^n (u_0 + kr) = \frac{ \bigl(n+1 \bigr) \Bigl(\bigl[premier \ terme \bigr] + \bigl[dernier \ terme \bigr] \Bigr)}{2} $$

La somme des termes d'une suites arithmétique

On souhaite calculer la somme des termes de cette suite de $ 0$ jusqu'à $ n$:

$$ \sum_{k = 0}^n (u_0 + kr) = u_0 + (u_0 + r) + (u_0 + 2r) \enspace + \enspace ... \enspace + \enspace \Bigl[u_0 + (n -1)r \Bigr] + (u_0 + nr) $$

Soit,

$$ \sum_{k = 0}^n (u_0 + kr) = u_0(n + 1) + r \bigl(1 + 2 \enspace + \enspace ... \enspace + \enspace (n -1) + n \bigr) $$

$$ \sum_{k = 0}^n (u_0 + kr) = u_0(n + 1) + r \Biggl[ \sum_{k = 0}^n k \Biggr] \qquad (1) $$

La somme des premiers entiers naturels vaut :

$$ \sum_{k = 0}^n k = \frac{n(n + 1)}{2}$$

On peut alors l'injecter dans l'expression $(1)$ :

$$ \sum_{k = 0}^n (u_0 + kr) = u_0(n + 1) + r\Biggl(\frac{n(n + 1)}{2}\Biggr)$$

On factorise par $ (n + 1) $ et obtient :

$$ \sum_{k = 0}^n (u_0 + kr) = \bigl(n + 1 \bigr)\Biggl(u_0 + \frac{ nr}{2}\Biggr) $$

$$ \sum_{k = 0}^n (u_0 + kr) = \bigl(n + 1 \bigr)\Biggl(\frac{ 2 u_0 + nr}{2}\Biggr) $$

$$ \sum_{k = 0}^n (u_0 + kr) = \bigl(n + 1 \bigr)\Biggl(\frac{ u_0 + u_n}{2}\Biggr) $$

Et finalement,

$$ \forall n \in \mathbb{N}, \enspace \forall (u_0, r) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, $$

$$ \sum_{k = 0}^n (u_0 + kr) =\frac{\bigl(n+1\bigr)\bigl(u_0 + u_n \bigr)}{2}$$

$$ (avec \enspace u_n = u_0 + nr) $$

De $a$ jusque $n$

Et pour n'importe quelle nombre entier positif $a$ :

$$ \forall (a,n) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2, $$

$$ \sum_{k =a}^n (u_0 + kr) = \Bigl(n + 1 - a\Bigr) \Biggl( \frac{u_0 + u_{n+a}}{2} \Biggr)$$

$$ (avec \enspace u_n = u_0 + nr) $$

Les suites géométriques : $v_n = v_0 \ q^n$

Définition

Soit une suite géométrique $(v_n)_{n \hspace{0.05em} \in \mathbb{N} }$. Cette suite est définie par :

son premier terme $v_0$
sa raison $q$

C'est une série de valeurs, à laquelle à chaque terme suivant on multiplie par la valeur de la raison $q$.

Alors, une suité géométrique s'exprime par la formule générale :

$$ v_n = v_0 \ q^n \qquad (suites \ g\textit{é}om\textit{é}triques)$$

On peut éventuellement l'exprimer de manière récurrente, dans ce cas :

$$ v_{n+1} = v_n q $$

Sens de variations

Par la première méthode : étude du signe de $\Delta v_n$

Pour calculer le sens de variations d'une suite géométrique, on pourra aussi utiliser la première méthode et étudier le signe de $\Delta v_n$ :

$$ v_{n+1} - v_n > 0 \qquad (\Delta v_n) $$

Soit :

$$ v_0 q^{n+1} - v_0 \ q^n > 0 $$

$$ v_0 \ q^n (q - 1) > 0 $$

Alors, plusieurs cas sont possibles :

si $ q > 1 $, alors :

$$ (q - 1) > 0 $$

De même, comme $ \bigl[ n>0 \bigr] \land \bigl[ q > 0 \bigr] $, on a :

$$ q^n (q - 1) > 0$$

Et le signe total ne dépend plus que de celui de $v_0$ :

$$ \forall n \geqslant n_0, \ \Biggl \{ \begin{gather*} v_0 > 0 \Longrightarrow v_0 \ q^n (q - 1) > 0 \Longrightarrow v_n \nearrow \\ v_0 < 0 \Longrightarrow v_0 \ q^n (q - 1) < 0 \Longrightarrow v_n \searrow \end{gather*} $$

si $ 0 < q < 1 $, alors :

$$ (q - 1) < 0 $$

De même, comme $ \bigl[ n>0 \bigr] \land \bigl[ q > 0 \bigr] $, on a :

$$ v_0 \ q^n (q - 1) < 0$$

Ensuite, selon le signe de $v_0$ :

$$ \forall n \geqslant n_0, \ \Biggl \{ \begin{gather*} v_0 > 0 \Longrightarrow v_0 \ q^n (q - 1) < 0 \Longrightarrow v_n \searrow \\ v_0 < 0 \Longrightarrow v_0 \ q^n (q - 1) > 0 \Longrightarrow v_n \nearrow \end{gather*} $$

si $ q < 0 $, alors :

$$ (q - 1) < - 1 \Longrightarrow (q - 1) < 0 $$

De même, comme $ \bigl[ n>0 \bigr] \land \bigl[ q < 0 \bigr] $, on a selon la parité de $n$ et le signe de $v_0$ :

$$ v_0 \ q^n (q - 1) $$	$$ n \ impair $$	$$ n \ pair $$
$$ v_0 \ + $$	$$ \textcolor{#9C5353}{ -} $$	$$ \textcolor{#4A8051}{ +} $$
$$ v_0 \ -$$	$$ \textcolor{#4A8051}{ +} $$	$$ \textcolor{#9C5353}{ -} $$

On a une alternance de signe positifs et négatifs pour le terme de $v_n$.

$$ $$	$$ q > 1 $$	$$ 0 < q < 1 $$	$$ q < 0 $$
$$ \textcolor{#4A8051}{ v_0 \ +} $$	$$ u_n \nearrow $$	$$ u_n \searrow $$	alternance selon la parité de $n$
$$ \textcolor{#9C5353}{ v_0 \ -} $$	$$ u_n \searrow $$	$$ u_n \nearrow $$	alternance selon la parité de $n$

Exemple :

$$ v_n = 3 \times \left( - \frac{1}{2} \right )^n $$

Alors,

$$ v_{n+1} = 3 \times \left( - \frac{1}{2} \right )^{n+1} $$

Et :

$$ v_{n+1} - v_n = 3 \times \left( - \frac{1}{2} \right )^{n+1} - 3 \times \left( - \frac{1}{2} \right )^n $$

$$ v_{n+1} - v_n = 3 \times \left( - \frac{1}{2} \right )^{n} \times \left (- \frac{1}{2} - 1 \right ) $$

$$ v_{n+1} - v_n = 3 \times \left( - \frac{1}{2} \right )^{n} \times \left (- \frac{3}{2} \right ) $$

On obtient une alternance de signe positifs et négatifs :

$$ v_{n+1} - v_n = \underbrace{3} _\text{$+$} \times \underbrace{ \left( - \frac{1}{2} \right )^{n} } _\text{ alternance de $+/-$} \times \underbrace{ \left (- \frac{3}{2} \right )} _\text{$-$} $$

Ce qui veut dire que la suite $(v_n)$ n'est pas monotone.

Par la seconde méthode : étude du rapport $\Phi v_n$

Si l'on sait que l'on a affaire à des termes uniquement positifs, alors on peut étudier :

$$ \frac{v_{n+1}}{v_n} > 1 \qquad (\Phi v_n) $$

À ce moment-là, on a :

$$ \frac{v_0 q^{n+1}}{v_0 q^{n}} > 1$$

$$ \frac{\cancel{v_0 } q^{\cancel{n}+1}}{\cancel{v_0} \cancel{q^{n}}} > 1$$

$$ \Longleftrightarrow q > 1$$

Alors le sens de variations ne dépend plus que du signe de $q$,

$$ \forall n \geqslant n_0, \ \left \{ \begin{gather*} q > 1 \Longleftrightarrow \frac{v_{n+1}}{v_n} > 1 \Longrightarrow v_n \nearrow \\ q < 1 \Longleftrightarrow \frac{v_{n+1}}{v_n} < 1 \Longrightarrow v_n \searrow \\ q = 1 \Longleftrightarrow \frac{v_{n+1}}{v_n} = 1 \Longrightarrow v_n \longrightarrow \end{gather*} \right \} $$

Exemple :

$$ w_n = 4 \times \left(\frac{3}{2} \right )^n $$

Alors,

$$ w_{n+1} = 4 \times \left(\frac{3}{2} \right )^{n+1} $$

Et :

$$ \frac{w_{n+1}}{w_n} = \frac{4 \times \left(\frac{3}{2} \right )^{n+1}}{4 \times \left(\frac{3}{2} \right )^n} $$

$$ \frac{w_{n+1}}{w_n} = \frac{\cancel{4} \times \left(\frac{3}{2} \right )^{\cancel{n}+1}}{\cancel{4} \times \cancel{\left(\frac{3}{2} \right )^n}} $$

$$ \frac{w_{n+1}}{w_n} =\frac{3}{2} > 1 $$

Ce qui veut dire que la suite $(w_n)$ est croissante.

Somme de termes d'une suite géométrique

De $0$ jusque $n$

$$ \forall n \in \mathbb{N}, \enspace \forall v_0 \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, \ \forall q \in \hspace{0.05em} \Bigl[ \mathbb{R} \ \backslash \bigl \{0,1 \bigr \} \Bigr] , $$

$$ \sum_{k = 0}^n (v_0.q^k ) = v_0.\frac{q^{n+1} - 1}{q-1} $$

$$ \Longleftrightarrow $$

$$ \sum_{k = 0}^n (v_0.q^k) = \bigl[premier \ terme \bigr] \times \left( \frac{ \bigl[dernier \ terme \bigr] - 1 }{\bigl[raison \bigr] - 1} \right) $$

La somme des termes d'une suites géométrique

On souhaite calculer la somme des termes de cette suite de $ 0$ jusqu'à $ n$.

$$ \sum_{k = 0}^n (v_0.q^k ) = v_0 + v_0.q + v_0.q^2 \enspace + ... + \enspace + v_0.q^{n - 1} + v_0.q^n $$

Soit,

$$ \sum_{k = 0}^n (v_0.q^k ) = v_0.\Biggl[ \sum_{k = 0}^n q^k \Biggr] \qquad (2)$$

La somme des premières puissances naturelles d'un nombre réel est connue, elle vaut :

$$\sum_{k = 0}^n q^k = \frac{q^{n+1} - 1}{q-1}$$

On peut alors l'injecter dans l'expression $(2)$ :

$$ \sum_{k = 0}^n (v_0.q^k ) = v_0.\frac{q^{n+1} - 1}{q-1} $$

Et finalement,

$$ \forall n \in \mathbb{N}, \enspace \forall v_0 \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, \ \forall q \in \hspace{0.05em} \Bigl[ \mathbb{R} \ \backslash \bigl \{0,1 \bigr \} \Bigr] , $$

$$ \sum_{k = 0}^n (v_0.q^k ) = v_0.\frac{q^{n+1} - 1}{q-1} $$

De $a$ jusque $n$

Et pour n'importe quelle nombre entier positif $a$ :

$$ \forall (a,n) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2, \enspace \forall v_0 \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, \ \forall q \in \hspace{0.05em} \Bigl[ \mathbb{R} \ \backslash \bigl \{0,1 \bigr \} \Bigr] , $$

$$ \sum_{k =a}^{n} v_0.q^k = v_0.\frac{q^{n+1} - q^{a}}{q-1} $$